CHAPITRE VIII

THEORIE DES KÉSIDUS.

43i. Lorsqu'une fonction 9 (a;) devient inftîiie pour une valeur particulière a <le la variable a:; dont elle dépend, Caueby a nommé résidu de cette fonction par

rapport au nombre a, le coefficient de — — - dans le développement de la l'onction en série ordonnée suivant les puissances de x — a.

Cette définition exige quelques explications. Il peut arriver en effet qu'une même fonction soit représentée par plusieurs séries différentes, toutes ordonnées suivant les puissances positives ou négatives de a; — a, et dont la convergence corresponde à des limites différentes. Soit, par exemple.

on a

et le développement est applicable à toute valeur de x donl le module surpasse l'unité. Mais on a aussi , . <

cette seconde série étant convergente pour les valeurs de x dont le module est moindre que l'unité, f.ors donc qu'on parle sans autre explication du coefticiont

de - dans le développement de la fonction——^ .. on doit hésiter crilre o et — i,

qui multiplient- dans les deux développements; l'indétermination dans d'autres

cas pourrait être beaucoup plus grande.

Nous ajouterons donc, pour compléter la définition, que le développement auquel elle se rapporte doit être convergent pour de petites valeurs de la différence » (t. suivant les puissances de laquelle il est ordonné. Dans l'exemple précédent, le second développement est seul convergent pour de petites valeurs de x, et par consécpient

le résidu de — 7— ' , relatif à a; = o, est —1, et non pas o.

435. En'général nous admettrons que la fonction considérée ^{x) devenant infinie pour x — a, il existe un nombre entier m tel, que le produit {œ — a)"' (p (x) ait une limite finie lorsque x tend vers a. Le tliéorème de Tavlor permet alors de développer ce produit en série ordonnée suivant les puissances positives dea; — a et* ' convergente pour de petites valeurs decetie différence. Cettesérie divisée par [x—a)'" i

Hera le développement dans lequel ———a pour coefficient le résidu de 9 [x) re- f

lalif à la ïaleur adea?. i ■

Il faut remarquer que, d'après ces explications, il peut arriver qu'une fonction devienne infinie pour x = a, sans avoir un résidu correspondant. Ainsi, par exemple, la fonction la? devient infinie pour a; = o. Cependant le produit x"'\x n'est pour aucune valeur de m, développable en série ordonnée suivant les puissances positives de x, car la (m-i- i}'*"" dérivée de ce produit devient infinie pourri o. 1 X n'admet donc pas de développement ordonné suivant les puissances positives "^u négatives de x, et la définition des résidus ne lui est pas applicable. Nous pouvons en dire autant de la fonction -^ pour ic = o, de , pour x= i , et d'une

infinité d'autres. Tous ces cas sont supposés exclus dans les démonstrations données dans ce cbapitre. Nous verrons d'ailleurs qu'ils ne peuvent se présenter quand il s'iigit d'une fonction bien définie ayant pour chaque valeur de la variable

une valeur unique et déterminée, la^ et -^^ ne remplissent pas cette double condi-

tion, et (377) il est impossible de la leur faire remplir en restreignant le sens que l'on \ attache.

JDétcrmination d' un résidu. , .

'i36. Les explications qui précèdent rendent facile la solution du problème suivant : Trouver le résidu d' une fonction donnée, pour une valeur de la variable qui la rend infinie.

Soit x — a une racine de l'équation

Soit m son degré de multiplicité, en d'autres termes, soit m le nombre entier tel, que le produit {x — a)'" ç> [x] ait, pour x=a, une valeur finie. Posons

F .r), ne devenant pas infini pour a-— a, peut en général être développé en série

ordonnée suivant les puissances entières et positives de {x — a). Soit

F(^) = F(fl+x-fl) = F(«) + (^-«)F'(«)+ 1:^IZ^ F'i(«) +...+ If-.iL'.: F- («)-(-*. . . : on en déduit

, F"-' (a) , èF-Ca)

•^ >- '•2-3-..(m — i)ta:— o) 1 .2.3... ni~^ ' ' \

et le coefficient de —3-^ > c'est-à-dire le résidu de (p (a?) relatif à la valeur a dea?, est

i.'?.3...(m — 1) 1 .2.3... (m — 1) / dx"-' ]^,,'

Lorsque le nombre /w se réduit à l'unité, le résidu de ç {œ) prend la forme "* ^

Supposons que, dans ce cas, la fonction ©(a?) soit une fraction A^. dont l'hypothèse x = a annule le dénominateur ij^ {x). Le résidu est la limite du produit

lorsque a; tend vers a, et cette limite est évidemment ^ . *

le résidu est donc égal au numérateur divisé par la dérivée du dénominateur, mais ^

cette règle n'est applicable qu'au cas où a est une racine simple de l'équa-

lion/(x)=^^ ^

437. Pour appliquer les règles précédentes, cherchons le résidu de la fonction cot - pour la valeur a: ;;=* — qui la rend infinie. l.i^ produit *•*-!•

\ X , rol-

a, pour X — — ■> une limite finie. Si l'on pose en ellol

, ino PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

h étant infiniment petit, cot - peut être remplacé par j^, et le produit

A \ n TT + /( H jr

a évidemment pour limite j-^» qui est par conséquent le résidu demandé.

Cherchons encore le résidu de

x' tang X

relatif à a; = o. Le produit de la fonction par x^ ityant dans ce cas une limite finie, le résidu est la valeur que prend, pour a? = o, l'expression

i .2 dx' \lang^

Or on a

tang X

Il X eus' X sm.rco.sj: — x

dx langor taiig^x siii'o;

d' X (cos'.r — sin'jc — i)sin'jr — 2siii.rcosa:(sin xcosj; — x)

dx'' langA- 'A\W X

— asin'.r — asin'ar cos'x + ix sinxcosa:

sin'x

Lorsque x est très-petit, on a, en négligeant les infiniment petits du cinquième ordre,

sin' .r = x' , • «

,. sin'.r cos'.r = ( j; — -^ i =i .r' — x^ =^ x- — \xi

X sin X ces x = x \ X — -^1 li =x= -^ =^ x- — ■^■^'.

et par la substitution de ces valeurs, la fraction (2) se réduit à — , (jui est sa limite; le résidu est donc égal à — ^•

Notations de Cauchy.

438. Cauchy a représenté le résida d'une fonction o [x) par le signe ^ ; mais, comme il importe d'indiquer à quelle racine de l'équation — ^ = o se rapporte le

résidu considéré, il a proposé de moUre le facteur en évidence en le plarnni entre doubles parenthèses.

(St. d'après cela, le résidu de la fonction ç. (x) relalif à la valeur cr = a, pour laquelle cette fonction devient infinie.

Kn l'absence de toute indication analogue, ^(pi'i^) désigne la somme des résidus relatifs à toutes les racines de l'équation — ^, =0. Cauchv le désignait sous le nom de résidu intégral. Pour indiquer la somme des résidus relatifs à quelquesunes seulement des racines de l'équation — — = o, on place entre parenthèses les facteurs correspondants à ces racines.

désigne, d'après cela, la somme des résidus de la fonction 0 {x), pris successivement par rapport à a, b, c.

Pour indiquer la somme des résidus relatifs à celles des racines dont les parties

réelles sont comprises entre deux limites « et a' et les coefficients de y — i entre ^ it fj' , on écrit "^

mais, en adoptant cette notation, on convient de ne compter que la moitié des résidus relatifs aux racines pour lesquelles une des limites est atteinte, et le quart seulement de ceux pour lesquels la partie réelle et le coefficient de y'— 1 atteignent l'un et l'autre la limite indiquée.

Le but de ces dernières conventions est de permettre l'emploi de la formule suivante, <]ui sans cela serait soumise i» des restrictions :

a ./ ': ■, 'in h '/ I' 'I

OÙ a est supposé conipris entre « et a , et h ciilro [-, cl (';'.

Si l'on représente, en effet, une expression imaginaire «+/V— '» par l* poi^t du plan dont les coordonnées sont x et y, le premier membre de cette égatité est la somme des résidus relatifs aux racines correspondantes à des points situés dans l'iii-

io-2 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

térieur d'un certain rectangle, et le second membre est la somme des résidus relalils aux racines qui correspondent à des points intérieurs respectivement à quatre rectangles plus petits, dans lesquels on peut décomposer le premier. L'égalité est (lon( évidente, pourvu que l'on ne compte que la moitié des résidus relatifs aux points ^situés sur les lignes de partage, et qui évidemment figurent deux fois dans la somme, et si la fonction devient infinie pour a7=a+ b\ — i, le résidu relatif à cette valeur se trouvant quatre fois dans la somme, devra dans chaque terme, conformément à notre

convention, être multiplié par j- a,

♦ " Théorèmes relatifs aux résidus.

439. Si la fonction o [x) devient infinie pour x=^ a, la différence

,s , , p <ciz)(z—a) . t

a toujours une valeur finie quand on y suppose a; = a. a, «MUt ^

En d'autres termes, pour faire disparaître d'une fonction ip [x) la partie qui devient infinie pour x = a, il suffit d'en retrancher le résidu de ^ relatif à Supposons la fonction © {x) développable en série de la forme

on a, en remplaçant x par s, et divisant par x — z,

^z — aY[x—z) [x — z) (x—z) '^•■■'

'—^ est, pour des valeurs de z peu différentes de a, développable en série ordonnée suivant les puissances de z — a, et l'on a

X — » [^x--u) — [zi~a)'"' x — (i{' x — H'^{^ — af '^ ' ' '^ {x — ay'^' ' \'

en remplaçant —~~ par ce développement dans chacun des termes du second membre de l'équation (3), on obtiendra une série dans laquelle le coefficient

* ,* LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. t:i;i

(le — ! — est évidemment

- — rt •*

oii l'on reconnaît la somme des termes qui dans le développement de (p(a;)Kle-; ^

viennent infinis pour a; = «2, et puisque cette somme est le résidu de . , le

théorème est démontré. r'" - *

- iiO. D'après la formule qui exprime (436) le résidu d'une fonction, il est aisé de

voir que le résidu de ^

relatif à z = a est une somme de fractions de la forme t- — '^—- : le théorème de

(-auchy fait donc connaître une fraction rationnelle qui, retranchée 4'une fonction donnée de x, fait disparaître, pour a;=^a, la partie de cette fonction qui devient infinie. Cherchons, par exemple, la fraction rationnelle qui, retranchée de

— :' laisse une différence finie lorsqu'on y suppose x — o. Cette fraction csi,

d'après le théorème précédent,

i-'est-à-dire le résidu de ; —, ;' relatif à z = o. z est une racine dou-

{x — z) {i — ces z )

hie de l'équation i — coss = o; le résidu est donc (i36j la valeur que prend, pour z = o, la dérivée,

Uz jjc-r— z 7(4

(ir (iri a » "^ *

■af

-ftcosz)(j? — 2)%-;'siftî2 ; ' '- 2^.— «oà-) •

\r^*-. — ; -.r—vt^ . * — ^^« »

dz{x — z)[\ — i:vsz) ' K«#-%!'^i!('*'

i- CCS z )-f-y'«in

# I \ 2 2(fctcos2)-f'^«ins : »

l.(; premier ternir- du second membre a pour limite zéro, parce que le dénomma- ' ^

leur est un infiniment petit du quatrième ordre, et eu rempla(;ant les sinuset ( nsiims «,'

qui figurent au numérateur par les séries qui les représentent, on voit qur l<s |,i ( ^ -^ *, miers termes qui sultsistent après les réductions sont du cinquième ordre, yail- #

ISi * PREMltUE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL. ^

fleurs I — cos s étant égal à 2 sin- - z, ^ ^^^^^ ^ a pour limitie 7, et le second terme '

se réduit, pour 2 = 0, à — ; telle est la fonction qui, retranchée de - — ' , laisse I

^ ' I — cos X ^

un reste dont la valeur est finie pour x = o. On dit quelquefois, d'une manière |

expressive mais peu correcte, que — est la partie infinie de '- '

i41 . Décomposition des fractions rationnelles en fractions simples.— Si l'on retranche d'une fraction rationnelle (p(a;), le résidu intégral ^ '^'^^^^j^. relatif à toutes les |

i-acines de l'équation ^— , = o, la différence

r ii9{z))]

ne devient infinie, d'après le théorème précédent, pour aucune des valeurs de x qui rendent infinie la fonction ç (a;); etcomme un résidu n'est jamais infmi, cette différence, qui évidemment est une fonction rationnelle dex, ne devient infinie pour aucune valeur finie de la variable : elle se réduit par conséquent à une fonction entière, et le résidu intégral

est pat" suite la somme des fractions simples qui figurent dans la décomposition deçfic). Lorsque dans ç) (a?) le degré du dénominateur surpasse celui du numérateur, l'expression n'a pas de partie entière, et l'on a

Soit, par exemple,

( j;' — I ;= ( JT -t- I ;

on aura

^ *^ ^ BJais on â (456)

|jar conséquent

Somme des résidus d\ine fonction rationnelle . 442. Reprenons l'équation

(|ui -suppose seulement que la fonction rationnelle 9(0;) s'annule pour une valeur intiriic de x. Multiplions les deux membres para; et remarquons que les résidus dont la somme forme le second membre étant pris par rapport aux valeurs de la lelire z qui rendent 9(2) infini, la multiplication par x peut s'effectuer sous

le signe ^ ; nous aurons

et si l'on fait croître x indéliniment, cette équation devient « ^

Si le produit 07^5(0;) s'annule comme 9(0;) pour une valeur infinie de a-, ou, en d'autres termes, si le degré du dénominateur de y [x) surpasse de plus d'une unité celui du numérateur, on aura donc

(4) ^ . ^\{z)^iy, . •« ♦ •

c'est-à-dire que la somme de tous les résidus de la fonction 9 (z) est égale azéro. Ce théorème ne diffère que par la forme d'une formule importante duc à Euler.^ Soit