FIT

I X) étant un polynôme de degré^'supérieur à p+ i, et dont nous supposerons

luus les facteurs inégaux ; x a étant l'un de ces fadeurs, le résidu correspondant 0

A x = a est 1 436 j . . ^ < -■

im PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Si donc, a, b, c,..., k, l, sont les racines de l'équation Y [x ) = o, la formule (4, ('(juivaut à

('(juivai

ita

al' bP

Cette équation suppose, il ne faut pas l'oublier, que l'exposant p soit inférieur de deux unités au moins au degré du polynôme F (a;). Si la différence entre/; et le degré du polynôme F [x) est une unité seulement, le premier membre n'est plus

nul, et sa valeur est la limite de fr^ — ,-, c'est-à-dire l'inverse du premier coefficient

de F (a;).

443. Cauchy a complété le théorème précédent en donnant l'expression de la

somme des résidus d'une fonction rationnelle, qui n'est pas nulle pour une valeur

infinie de la variable. On a, quelle que soit la fonction rationnelle © {x),

'^■'^'^ = ^Kk

la détermination de la somme de tous les résidus, quel que soit leur nombre, étant par là ramenée au calcul d'un résidu unique relatif, comme l'indique la manière dont il est écrit, à la valeur zéro de la variable z. \, '

,** On a en effet (439)

C7 (:;) ne devenant pas infini pour z = o. On a d'ailleurs

Ul'

donc

p \ul l

iH h -

La fonction ç [x) devenant infinie avec x, l'équation

admet la racine u — o. Soit m son degré de multiplicité: les termes qui dans la f parenthèse ont un exposant plus grand que m + i , ne sont pas infinis pour « = o,

et n'influent par conséquent pas sur le résidu; on peut donc écrire

^ \z) p '^[ul \ t un' «'-+' \

z' ~ *^ {{u'}j ly'^'z'^'z''^''"^ i™*' / ■

ou, ce qui revient au même

Si l'on pose - = a; et z'srf z) = F (a;), il viendra, en divisant les deux membres

par x'^, * '"

Prenons maintenant les résidus des deux membres de cette équation par rapport à x, et pour toutes les racines de l'équation —, — r = o, il viendra, en ayant égard

aux équations évidentes t[^-='> é^ ' = o> •> c^ •*' = °' ^£,^" = 0,

()rF(a;) désigne ici z''is{z), le produit xF{x), est par conséquent égal à zw(z), et s'évanouit par conséquent lorsqu'on suppose x infini, c'est-à-dire z égal à zéro; on a donc (442)

et par conséquent enfin . «#

comme on l'avait annoncé.

Changement de la variable indépendante.

444. Lorsque l'on cbange la variable au moyen de laquelle une fonction est exprimée, les résidus de la fonction cbangent en général de valeur. Que l'on con- I. 5H

sidère, par exemple, la fonction - dontle résidu relatif à a7=o est l'unité; si l'on pose

x — z-, la fonction devient —i et le résidu correspondant à z = o est nul. Les ré-

sidu's dépendent donc du choix de la variable. Cauchy a démontré le théorème suivant :

Si la fonction f {oc) devient infinie pour œ=^a, et que l'on pose x = ^(z.. z, étant la valeur de z qui correspond h x=a, on ;\

- p 9(x) jx — a) p ?(^)f (g)(^ — 3,)

Supposons d'abord que le produit [x — a) f (a;) ait, pour x = a, une valeur finie,

on a (436)

mais

[X - a)^[x)=.\^[z)-ii[z:)\^\^{z)\=.^^]\~\^^'\\il[z)\[z-z,).

Lorsque a; tend vers a, z tend vers s,, et le rapport

■*^ il{z)-.\[z^)

a pour limite 4»' (z,), et le produit

a pour limite le résidu de ^' (z) î>[4'(^)] relatif à z=.z,; on a donc

On doit remarquer toutefois que le raisonnement précédent serait en défaut, si pour la valeur z, de z, tj;' {^) était nul ou infini. Dans ce cas, en effet, tj/' (z) et

Yl-g) yl^i J devenant nuls tous deux, pour z = z,, ne sont pas pour cela

des infiniment petits égaux, et il n'est pas permis de les remplacer l'un par l'autre. Si, par exemple, (^ (z) = z'", et z, = o, on a,

et il faut, pour que la formule (3) reste exacte, diviser le second membre par p..

Supposons en second lieu que, m étant un nombre entier, le produit » [x] (x—a)"' ait, pourx=:a, une limite finie; posons

nous aurons

F(ff) , F'(a) , fia) "

[x — aj" {x — «)— ' 1.1. tx — a)'-' (5)

Le terme en étant ici celui qui nous importe, désignons par zs {x) la somme de tous les autres, et écrivons

Celte équation devient, par l'introduction de la variable z,

F— (fl) ' I

Multiplions les deux membres par ^' {z), et prenons les résidus relatifs -d z — z,,

nous aurons

, p f[Mz)]V{z).iz-z,) ^ p o[^!,(^)]^|,'(^).(^ — z,) F— '(a) j. • f (z)

'' C iiz — z,)] «^ ((2-2,)) "^ ..2.3...(/« — i)«-((,J,(z),|,(z,))"

Le premier terme du second membre est égal à zéro. Le résidu de ar (x) relatif à la valeur a de la variable est en effet égal à zéro, car pour former o {x) on a retranché

(lu développement de <p (x) le terme en —-^ — H en résulte quew {x) est la dérivée

d'une fonction développable suivant les puissances de a; — a, et par conséquent le |)roduit

rj[^{z)][^'{z)]

est la dérivée par rapport k z de la même fonction qui sera, en général, développable en série ordonnée suivant les puissances de - — Zi, et par conséquent le • résidu de cette dérivée est (314) égal à zéro. L'équation précédente se réduit donc à

i60 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

F"-' (a) — est précisément (436) le résidu de ^ [x) relatif k œ^a, et par 1 . 2 . 3 ... m — I '

conséquent le théorème sera démontré si nous prouvons que l'on a

Pour y parvenir, posons

et par conséquent

Le résidu de — ^ — est égal à l'unité. Quant à celui de #' [z), il est nul, car en dé-

veloppant ^ {z) suivant les puissances de — — — , la dérivée d'aucun terme ne sera

de la forme -, on a donc

et l'équation (8) se réduit à

elle prouve que le résidu de ç {x) relatif à la valeur x = a, est égal à celui de la fonction transformée 9 [tj> (-s)] multipliée par la dérivée <j>' (z).

Nous devons remarquer toutefois que cette formule est en défaut, comme la formule (3), lorsque y{z,) est nul ou infini; dans ce cas, en effet, la fraction

devient également nulle ou infinie pour z =: z, , et son logarithme n'est pas développable en série ordonnée suivant les puissances de (z — z,). Cherchons comment on doit alors modifier la formule (10).