Si l'équation

qui lie la variable primitive à celle que l'on veut lui substituer, fournit, pour chaque valeur de x, plusieurs valeurs différentes de z, , il est clair que dans les formules précédentes, z, représente seulement l'une d'entre elles, que l'on pourra d'ailleurs choisir arbitrairement. Si donc on veut transformer le résidu intégral

(«) Lf(^)'

on ne devra pas le regarder comme égal au résidu intégral

relatif à toutes les valeurs de z , mais au quotient de ce résidu par le nombre des valeurs distinctes de 2 qui correspondent à une même valeur de a;.

Si pour une des racines a; = a de l'équation —, — : = o, a valeurs de z deviennent

égales entre elles, le résidu correspondant n'entre qu'une seule foig dans l'expression (2); mais alors, en vertu du paragraplu; précédent, il est égal au produit par fi du résidu relatif à a; = a qu'il remplace, et la relation entre les expressions (i) et (2) reste par conséquent la même.

Quehiues applications de la théorie des résidus.

447. Cauchy a retrouvé plusieurs formules célèbres et importantes en appliquant à des fonctions quelconques les théorèmes démontrés pour les fractions rationnelles. Malgré le peu de rigueur d'une telle extension, nous en donnerons ici quelques exemples. ,

Considérons la fonction cot - , et appliquons-lui la formule démontrée au § 443. Les racines de l'équation

col -

sont

et le résidu relatif à

— est (437

le résidu de

cotz

relatif

on en

conclut

n'Tz' '

c'est-

a-dire

La formule du paragraphe (443), appliquée à la même fonction cot - , donne

r (cot 1)1

(3) coti = /kA iLl+r

cotz

x — z ^\[z)\{i—xz)

Or on a pour la valeur ,

nr.

cot -

X — z ii't:' I

n ts

(5) r cot ^

La formule (3) devient par conséquent, en réunissant les résidus relatifs à

z =: — et» z =

nit m:

col

ce qui est d'accord avec la formule déjà trouvée (409).

Calcul des Jonctions symétriques .

448. Soit 7i — [ une fraction rationnelle quelconque, et x^, x.^,---, a;,, les racines, supposées distinctes, de l'équation ^ {x) = o. Si l'on pose

on aura, pour une racine quelconque Xp,

et par conséquent

(3) F(:r,)-f-F{;r,)+...+ F(x-.)=^r,î4fî-

Le second membre étant la somme de tous les résidus de la fraction tM' peut (443)

être exprimé par un résidu unique, et l'on obtiendra ainsi l'expression d'une fonction symétrique des racines de l'équation <^ {x) = o. St)it, par exemple,

^{x)z=x"-\-\,x'"-' -t- AiX--'-!-. . •+ A„, ¥{x)=zx"i

il faudra prendre

f{x) = x'[mx-^' +{m—i)\,x'"-'-h. . .-|-A„,] =x"y (.r),

et la formule (3) devient Mais on a (443)

m (m — i) Al .

'^'"^ i(^)]"-Mi) '"[(^-')i(f+A+---+^+a.)

que l'on peut écrire

c'est-à-dire (436)

w4-(w — i)AiZ+. ■.+ A„,,^'"- [{z"-*-')](i-f-A,z + ...-(-A„2'") '

I 1 .3. . . n dz" \ I

la variable z devant être remplacée par zéro après les différentiations effectuées.

449. La formule précédente serait d'une application fort pénible, mais on peut la transformer et la remplacer par une autre beaucoup plus élégante. On a trouvé

x'^-hxi+.-.-hx" = r

KJ)

Pour transformer ce résidu, remarquons que, pour z — o, l'expression

a pour limite m; or on a identiquement

et comme on a évidemment cette équation se réduit à

mais

•Hj' '

donc

ni

r ii— = )

Pour calculer la valeur que prend, pour :: = o, la dérivée n'^""' de 1 ='"<{; (-j.ilsurtil de développer en série la fonction

et de multiplier par i .2.3. . . r le coefficient de z"; or, en posant

u = \„ z'" -+- A„, z'"-' -<- . . . -I- A, ; , on a

Or en nommant/», q, r,..., des nombres entiers inférieurs à n, le coefficient de z"

dans — \^ — est la somme des fractions de la forme ff

/.- (i.2.3.../7)(..2.3...7)...{i.2.3... /) '^' ^»•••^'"' dans lesquelles on a

/J-+-2(/ -f-. . .-\- mt = n, et par conséquent le résidu clierclié, c'est-à-dire

X", +x",-^-...-hxl,

est exprimé par la somme

tf,6 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

/),//,..., t étant m nombres entiers tels, que

j> -\-iq -\-. . .-h ml = II.

450. La théorie des résidus peut aussi s'appliquer au calcul de quelques fonctions symétriques des solutions d'un système de deux équations à deux inconnues. Soient 9 (^, j) = o, (]; {x, y) = o, deux équations données entre x et j. Cherchons la somme des valeurs que prend la fonction

d <t d-i/ d-\i </n> dx dy dy dx

pour tous les systèmes de valeurs de a; et de j qui satisfont aux deux équations. Le numérateur ^ {x, y) étant une fonction quelconque de x et de j, il est digne de remarque que cette somme est toujours nulle, quelle que soit la fonction ^ , pourvu que son degré soit inférieur de plus de deux unités à la somme des degrés des fonctions y et 4'-

Si nous attribuons en effet à x une valeur déterminée, l'équation 9 [x, y) =0 fournira pour y un certain nombre de valeurs correspondantes y,, y^,..., y,,- Posons

On sait que F {x) est une fonction rationnelle de x; cherchons le résidu intégral de cette fonction Y[x): nous aurons

Les résidus doivent être pris pour toutes les valeurs de x qui rendent les fonctions infinies, soit en annulant le dénominateur, soit en rendant le numérateur infini.

Les valeurs de a; qui annulent les dénominateurs tj^ (a;,^,), 41 (a;, jj),..., <]f{x, y,) forment avec les valeurs correspondantes de j,, 7,2..., j„ toutes les solutions du système

Calculons d'abord les résidus qui leur correspondent. Soit ex. l'une de ces valeurs de X, et |3 la valeur correspondante de j, on a

(4) r .f[x,rp){x—y.] ^ ./•(«, P)

\ dx \x

Dans le calcul de la dérivée -^S^iltJ , il faut observer que/p est une fonction dea:^^ définie par l'équation f{a;,y) =o; on a par conséquent

(ix dx il r dx

-j- étant fourni par l'équation

oh en conclut

«/-y d's/ dy dx dy dx

dif d-if d 1/ d-l

d^ dr dx dx dy

dx d<f

et le résidu relatif à a- = « devient

f^i r f{x,rp){x-o.) ^ ^^ '^^ \dy)„.,

'-^(x,rp)[{^ — '^-)] /d^d^(hdj>

\dr

•dx dxdy)y.,ft

Les lettres a, |3, placées à droite des parenthèses, indiquent que l'on doit, après les opérations, remplacera; par a et/ par |3. La fonction/ (a?, j) est jusqu'ici arbitraire; si nous posons

dy

le résidu deviendra

<fy d-\i df <l^ \ dy dx dx dy) y, ^

et la somme de ces résidus est précisément la fonction symétrique que l'on veut calculer.

Le second nombre de l'équation (3) contient encore les résidus relatifs aux valeurs de X qui rendent infini l'un des numérateurs. D'après le choix fait pour la

fonction/(a7, y) ces valeurs sont celles pour lesquelles on a t- = o, et pour les-

i|uellespar conséquent deux racines de l'équation if[x,y) — o deviennent égales '•ntre elles. Or nous allons montrer que les fractions qui répondent à ces deux lacines, et qui toutes deux deviennent infinies, ont une somme finie; il ^era évi-

468 PREMIÈRE PARnE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

dent alors que la somme de leurs résidus est égale à zéro, et par conséquent le second membre de l'équation (3) se réduit à la somme des résidus déjà calculés, c'est-à-dire à la fonclion symétrique dont nous cherchons la valeur. Soient

'^' lu ~^ di '

les deux termes de (2) qui, pour une même valeur de a;, x = x' , deviennent infinis en même temps. Si l'on pose x=x' -\-i, z étant infiniment petit, les racinesj, et y^ , qui, par hypothèse, deviennent égales pour x = x', différeront infiniment peu. Soit

y,, y2,...,yn étant déduites de l'équation (p{x, y) =0, on aura

cp(a;'4-s, / + -/,j) = o,

et puisque t, ri, etyja sont infiniment petits, et que l'on a par hypothèse

d(ti

ces équations se réduisent à

dy = '''

d^''-^ldy^'"='''

dx'°^9.dy"'''—°'

par ou l'où voit que v), et yj-, peuvent être regardés comme égaux et de signes contraires et infiniment grands par rapport à s. qui est comparable à leur carré. Il résulte

de là que les facteurs^ et ~^^, qui figurent aux dénominateurs des formules (6),

sont proportionnels à yj, et à yjj ; ^ étant nul en effet pour .r = a-', j=j', lorsque a;' devient x' + e, ely' y' -+- n, il prend la valeur

dj' dx ^df ''

qui, en négligeant le ternie en £, se réduit à

d)'- Si donc on désigne par j3, et /S^ les fractions

la somme des deux fractions (6) se réduit k

|5, et §2 sont des fonctions de x, qui, pour a: = a;', prennent la même valeur, et si leur différence est de même ordre que 5fj,, la somme (6) a une limite finie. Or il en est évidemment ainsi, car, pour obtenir /3, et /Sa, il faut, dans une même fonction, remplacer x par .r' et y par j'-f- /;, , j' — 'îi . et il est clair que la différence des valeurs obtenues est proportionnelle à vj, .

Nous pouvons donc réduire le second membre de (3) à la somme des résidus relatifs aux valeurs de x, qui annulent les dénominateurs, et l'on a enfin

d <f d-i/ d 9 d^ 'd]:,dlL~'<Fx'dp

On sait (442) que le résidu total £^ F (a;) est nul pourvu que le produit xF {x) se

réduise à zéro pour une valeur infinie de x; cbercbons dans quel cas cette condition est remplie. On a

d a . , do . , , «Il

^'l'(-r,r,) ^^^(^.rO ^, + (^'r"

Lorsque x augmente indéfiniment, y^, y-i,---,y„, s'approchent d'être les racines d'une équation homogène en x et y, et leurs rapports à x tendent, en général, vers des limites finies, en sorte que l'ordre de grandeur des diverses fractions qui composent le second membre est celui d'une puissance de x, ayant pour exposant l'excès du degré du numérateur sur celui du dénominateur. Si m est le degré de <]/, et n celui de «p, le dénominateur est de degré w + n— i . Si donc-^cst de degré m+n — Z,

le second membre est comparable à — , i et son produit par x tend vers zéro lors-

que a; augmente; on a donc

et par conséquent

■jbdds) d\ di/ d\ 'dp'(n~d^.7r^

EKERCICES.