CHAPITRE IX

ÉTUDE DES EXPRESSIONS DONT LA FORME EST INDÉTERMINÉE ET THÉORIE DES POINTS SINGULIERS.

Fractions qui se présentent sous la forme -•

451. Lorsque les deux termes d'une fraction, étant fonctions d'une même variable X, deviennent en même temps nuls ou infinis, la fraction prend une forme indéterminée, et il importe souvent de savoir calculer sa véritable valeur, c'est-àdire la limite vers laquelle elle converge lorsque x approche de la valeur particulière pour laquelle la difficulté se présente.

Soit

la fraction considérée, et x^ la valeur particulière pour laquelle on a on a (273) dans cette hypothèse

<f{x, + li) ^ f (X. + &A)

Q et Q, étant l'un et l'autre moindres que l'unité; on en conclut, en faisant tendre h vers zéro,

lim y^^' + ^O y'(^o)

La limite cherchée est donc égale au rapport des dérivées des deux termes de la fraction considérée.

Si les dérivées 9' [x^] et f [x^) étaient nulles en même temps que ip (^0) et 4* [x^], on devrait, pour calculer la limite de la fraction

<f[x^-\- h) ^K^-o + ZO'

employer un plus grand nombre de termes de la série de Taylor. Soient pour les

deux fonctions 9 [x] et 1^ [x], a,'' [x) et t}'' {^') 'es premières dérivées qui ne s'annulent pas pour x = .ro. Le théorème de Taylor donnera

^p{x,-hB/i]

J/(x.-i-/0 hi . , „, ,

et il est clair que, h tendant vers zéro, la limite du second membre est nulle si/> surpasse q, infinie si p est moindre que q, et égale à

si l'on »p = q. '

De là nous déduirons la règle suivante : Lorsqu une fraction —■ — ' se présente sous

la forme - quand on y suppose x = Xo, sa véritable valeur est égale au rapport des

dérivées ; " ; si ce rapport se présente lui-même sous la forme -? il faut y substituer

le rapport des secondes dérivées p- — - ? et ainsi de suite, jusqu'à ce quon obtienne deux

dérivées qui ne soient pas nulles toutes les deux, leur rapport , qui peut être nul ou infini,

est 1(1 véritable valeur de 7-I — ;•

l.a démonstration précédente suppose que. la valeur x„ pour laquelle la fraction considérée prend la forme indéterminée soit une quantité finie ; s'il en était autrement, on ne pourrait pas en effet substituer à la fraction proposée le rapport

jy^° — —■, et faire tendre ensuite Avers zéro, cara;„ étant infini ne peut pas figurer

dans les calculs comme une quantité déterminée. Pour éviter cette difficulté, il

suffit de changer de variable. Si l'on pose x= --, la fraction 7-7— devient , . t

et c'est alors pour j = o qu'elle prend la forme indéterminée. On peut alors lui appliquer le théorème général dont la démonstration n'est plus en défaut, et l'on a

Il la règle ne subit par conséquent aucun changement.

4.Î2. Lorsqu'une fraction prend l;i forme - pour des valeurs attribuées simulta- I. 60

i74 PREiMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,

nément à deux variables a? et j, elle est, en général, absolument indéterminée, et sa limite dépend de la loi suivant laquelle les deux variables s'approchent des valeurs pour lesquelles la difficulté se préscHte. Soit en effet

une fraction qui, pouvx=:Xo,y=yo prend la forme -> i^osonsa;=jCo + h,y=yo+k, nous aurons, en remarquant que 9 {aco, yo) et i|/ (^o» /o) sont nuls ,

<f[x,f) <f (x„ + /t. n + /f) \axj„ \ dyj „

■i/{x,r)~' ■i/{x, + li,y;-V-lf)~ ld^\ 1^^ ld^\ 1^^^^ '

\dx/„ \dx/i' '

Lorsque A et ^ sont infiniment petits, R et R, peuvent être négligés, et l'on a

lim

= lim

d tf /r dif dx lidy

dx dy dx h dr

k et cette expression dépend du rapport ^ qui est entièrement arbitraire.

Fractions qui se présentent sous la forme

.orsque les deux termes d'une fraction 5ii^ deviennent infinis pour une valeur ^ = £Co delà variable, on peut écrire cette fraction sous la forme

et alors les deux termes devenant nuls, on rentre dans le cas précédent. En appliquant la règle on trouve

lim "tll) = lin, 1M^ = ,im tA^ . ^-All. I ^'(x) ^' [X) ^(xf

t{x) ^{xy

Soit A la limite cherchée de la fraction ||^, l'équation précédente équivaut à

A = AMim

on on conclut

et par conséquent la fraction ~~ qui se présente sous la forme ^, peut être remplacée par le rapport des dérivées tt-M-

Le raisonnement précédent est en défaut lorsque la quantité désignée par A est nulle ou infinie: il n'est pas permis en effet, dans ce cas, de supprimer'le facteur commun aux deux membres de l'équation (3), on peut s'assurer cependant que la règle reste exacte.

Soit 77 — {une fraction qui, pour.T — a-,,, prend la forme §-, et dont la limite est

égale à zéro.

(Considérons l'expression . •

qui évidemment se présente aussi sous la forme g-; il est clair qu'elle a pour limite le nombre arbitraire a; la règle lui est donc applicable et l'on a

<f'(x)-^ay{x)__

lim L^ —

et par conséquent

lim

Yix)-

ce qui prouve l'exactitude de la règle.

Si le rapport 77^ devient infini, le rapport inverse ^^^-7 — • a pour limite zéro, il

«r |(j.j ri ^(^) I

in est par conséquent de même de , , > et 777 — devient infini.

i5i. On doit remarquer que la règle précédente donne seulement le moyen de substituer une difficulté à une autre. En effet, si poura; = ir„, une fonction ^{x) devient infinie, sa dérivée devient en même temps infinie, et lorsque le rapport de deux fonctions se présente sous la forme ^, pour une valeur finie .r = a:„ de la variable, le rapport des dérivées prend nécessairement la même forme indéterminée.

Soit en effet Xq — h une valeur fixe de a;, aussi voisine que l'on voudra de x„, et ' „ —h' une valeur variable que nous ferons tendre vers x^; on a

Si h' teud vers zéro, h restant fixe, le premier membre augmente indéfiniment; il doit donc en être de même du second, et la dérivée 9' (a:) devient par conséquent aussi grande que l'on veut pour une valeur de x comprise entre rg — h et x„, et il en résulte évidemment qu'elle est infinie pour a:- — j;o-

455. La démonstration que nous avons donnée suppose l'existence d'une limite

déterminée pour la fraction considérée ^~- ; elle cesse d'être applicable lorsque la

quantité désignée par A (453) est en réalité indéterminée. Il peut arriver aussi que le rapport des dérivées soit indéterminé, lors même que la, fraction a une limite déterminée. Par exemple

X — sin .%•