I — COS X

I — sin X est tout à fait indéterminé.

y^ litres formes indéterminées.

456. Lorsqu'une fonction prend pour une valeur particulière de la variable l'une des formesoc", 1"°, 0°, o x 20 , il est toujours facile de ramener aux deux cas précédents la reclierche de la véritable valeur. En effet, le logarithme de la fonction se présente évidemment sous la forme o x ce qui se ramène immédiatement à - ou à ~. Il n'y a donc pas là de question véritablement nouvelle.

Quel(jnes exemples.

457. Il nous reste à donner quelques exemples du calcul de la véritable valeur d'une fonction, en les choisissant de manière à montrer comment dans un grand nombre de cas il est avantageux de substituer, aux méthodes générales, des artifices suggérés par l'habitude du calcul.

Déterminer la valeur de- — cot - x pour a; => o. — On a

a — X cot - X 2-1 •>

col - X = •

Or X cot - a; = qui, poura;=o, a évidemment pour limite 1. La fonction

lang - X

prend donc la forme " ; le rapport des dérivées est

col - X -{

sin- - X

Le dénominateur ayant une valeur finie, il suffit de chercher, pour x = o, la véritable valeur du numérateur qui se présente encore sous la forme indéterminée ■x. — 3c . Or on a

1 2 X — siii X — col - X -{ = — — :

sin= - X 1 sm' - X

et sans recourir à l'emploi des dérivées on voit que a- — sin j;- ayant pour valeur

approchée -tt' '^ numérateur est infiniment petit par rapport au dénominateur; la véritable valeur est donc zéro, et, pour x = o', la différence cot - j:; se réduit

il zéro.

K-o n: ■ , . 1 1 I I sla-^(ix-^x' — sja'—ax-^x- Tos. IJeterminer, pour x =o, la véritable valeur de , , •

\J(t-irX — sja — X

— Au lieu de prendre les dérivées des deux termes, il est plus simple de les développer par la formule du binôme en séries ordonnées suivant les puissances de x, dont l'inspection fera immédiatement connaître la valeur cherchée. On a

\fa' -^-ax + x' =al/n \- — z= a iH ^-«-:î^~••■ )'

Va' — ax-hx' =a\/ i H— #t«i ^-«^7 "'"•■■'

V a a'^^ \ 2(1 ofO !

\la + x=\J7i\/. \-\--—\f7i( \^ ——§- + ... ]■>

V a \ la oà' j

\/fi — X --)/7i \/ i — - =\/â ( i— —-\- -^ ■+-...]■ .

V a \ 2rt 8a' y

La fonction proposée devient donc, en réduisant les séries ià leurs premiers termes,

fa et la véritable valeur est par conséquent y'a.

l(l -t-^-t-X^) + l(l JT-f-X'