THÉORIE DES MAXIMA ET MINIMA
Maxima et minima des fonctions d'une seule variable.
472. Lorsqu'une fonction 9 [x), pour une valeur a de la variable, est plus grande que pour toute valeur infiniment voisine, plus grande ou plus petite que a, on dit (|u'elle est maxima. Si au contraire la fonction est moindre que pour toute valeur de la variable infiniment peu différente de a, on dit qu'elle est minima. Nous avons déjà remarqué que la variable croissant d'une manière continue, la dérivée de la fonction, positive lorsque celle-ci est croissante, négative lorsqu'elle est décroissante, est égale à zéro pour les valeurs qui correspondent aux maxima et aux minima. C'est là le tbéorème fondamental de la théorie qui nous occupe, mais il doit être complété par l'étude des caractères qui distinguent le maximum du minimum et des cas dans lesquels, la dérivée étant nulle, il n'y a cependant ni maximum ni minimum.
473. Soit 9 {x) une fonction continue de la variable x; en nommant h un petit accroissement attribué à x, on a
OÙ 5 est un nombre compris entre zéro et l'unité. Si f' {oc) n'est pas nul, et que f" [x] reste fini pour les valeurs considérées de la variable, il est clair que, h étant infiniment petit, le terme du premier degré en h donne son signe au second membre de l'équation (1), la différence f (x-i-h) ~ f{x) change par conséquent de signe avec h, et la v?ileur de x ne correspond ni à un maximum ni à un minimun». La condition commune au maximum et au minimum est donc, comme nous le savions, que la dérivée f' (x) soit égale à zéro. En supposant cette condition remplie pour la valeur particulière .r ■= a, le théorème de Taylor donne
Si 9" (a) n'est pas nul, le premier terme, pour de petites valeurs de h, donne son signe au second nombre, et la différence ip (a-h A) — 9 (a) est par conséquent, quel
que soit le signe de h, de même signe que o"{a). Il y a donc minimum si f{a) est
positif et maximum dans le cas contraire.
Lorsque 'f(a) est nul en même temps que ^'(a), le théorème de Taylor donne
si y'" (a) n'est pas nul, le premier terme donnant pour de petites valeurs de h son signe au second membre, le signe de la différence o (a + h) —o (a) change avec celui de h, et il n'y a ni maximum ni minimum.
Le même raisonnement montre que si y'" (a) est nul en même temps que (p"{a) et a)'(a), il y a maximum lorsque (o" [a) est négatif, et minimum lorsqu'il est positif.
En général, pour que la fonction <p (x) soit maxima ou minima pour la valeur x = a de la variable, il faut que dans la suite des dérivées y' (a), f"{a), '/'(a),..., la première qui ne s'annule pas soit d'ordre pair; si cette dérivée est négative, il y a maximum, et si elle est positive, minimum.
Appliquons la règle qui précède à la solution de quelques problèmes.
474. PuOBLÈME I. — Trouver la plus courte dislance d'une courbe plane donnée par son équation y ^= (f {x), à un point donné dans son plan par les coordonnées (a, |3). Le carré de la distance que l'on veut rendre minima est
y étant donné en fonction de x, cette expression ne dépend que d'une seule variable. La règle précédente est donc applicable. En égalant sa dérivée à zéro , on a
Cette condition commune au maximum et au minimum exprime que le point donné, dont les coordonnées sont a et /3, est situé sur la normale menée à la courbe par le point dont les coordonnées sont x etj. Pour distinguer le maximum du minimum, il faut examiner le signe de la seconde dérivée
Il y a maximum si cette expression est négative, et minimum si elle est positive. Lorsqu'elle est nulle, il n'y a, en général, ni maximum ni minimum.
Si le point représenté par les coordonnées c/., /3, se meut sur une normale de la courbe donnée, a^ et y étant les coordonnées du pied de cette normale, l'expression (2) tie changera de signe qu'une seule fois, et ce sera pour la valeur de ]3 qui
la rond nulle. Il existe donc sur chaque normale un point qui sépare ceux dont la distance à la courbe comptée sur cette normale est un minimum, de ceux dont la distance est un maximum. La normale comptée à partir de ce point n'est ni maxima ni minima, en sorte que le cercle tangent à la courbe décrit de ce point «omme centre n'est ni complètement intérieur dans le voisinage du point de contact, car la distance serait minima, ni complètement extérieur, car elle serait maxima; mais les distances de son centre aux points de la courbe étant les unes plus grandes, les autres plus petites que son rayon, il traverse la courbe, à laquelle il est cependant tangent, puisque son centre est situé sur la normale au point qui leur est commun. Ce cercle remarquable, que l'on nomme cercle osculateur, joue un grand rôle dans la théorie des courbes, et nous aurons à l'étudier sous d'autres |)oinls de vue.
475. Les résultats précédents s'étendent aisément aux courbes à double courbure. Soient Y—<f[x), z = <h[x), les équations d'une telle courbe, et a, /3, y les coordonnées d'un point quelconque de l'espace, le carré de la distance de ce point à un point de la courbe ayant pour coordonnées x, y, z, est
(ar — a)=-f-{j— p)' + (z— y)'.
Pour que cette distance soit maxima ou minima, il faut que la dérivée soit nulle, la condition commune aux deux cas est donc
Cette équation exprime que le point a, |3, 7 est situé dans le plan normal à la courbe menée par le pointer,/, z. La ligne maxima ou minima est par conséquent une normale comme dans le cas précédent. Le signe de la seconde dérivée
[dy-y I dzy , ^,'f'r , ^ d'z
apprendra si la distance est maxima ou minima. Le pied de la normale étant donné, les points du plan normal dont la distance à ce pied est un minimum, sont séparés de ceux pour lesquels elle est minimum par une droite dont l'une des équations ^ obtient en égalant!) zéro l'expression (a). L'autre équation est évidemment celle ilii plan normal. Le caractère des points de cette droite est que leurs dislances au point j?, r, z, quoique normales à la courbe, ne sont ni maxima ni minima; elle est, comme nous le verrons plus tard, l'axe du cercle osculateur de la courbe à dciuble courbure.
470. Le piobli-me <|iic nous venons de résoudre présente dans un cas particulier I. 6i
une difficulté qu'il est bon de signaler; supposons que la courbe donnée soit un
cercle ayant pour équation
et que le point donné, situé sur l'axe des X, ait a pour abscisse, le carré de la distance considérée est
En égalant sa dérivée à zéro, on trouve
équation impossible. Faut-il conclure de là, contrairement à l'évidence, que la distance considérée n'est pas susceptible de minimum? La méthode générale est évidemment en défaut dans le cas actuel. La démonstration même que nous en avons donnée rend raison de ce cas d'exception. Nous avons admis en effet que, 9 (a) étant minimum, la différence ç (a +A) — ç) [a) est positive, quel que soit le signe de la quantité très-petite h. Or dans le cas actuel, la variable x désignant l'abscisse d'un point du cercle, est comprise entre — R et +R. Si donc ou lui attribue une de ces valeurs extrêmes, le signe de son accroissement est déterminé, et le raisonnementfondé sur ce que ce signe est arbitraire, cesse d'être applicable. 11 peut donc, dans ce cas, y avoir maximum ou minimum de la distance, sans que la dérivée soit nulle, et c'est ce qui a lieu pour les points où la courbe rencontre l'axe des X , et dont les abscisses sont ±R.
477. PaOBLÈWE IL — Deux portions d'un plan sont séparées par une ligne droite
indéfinie OX ; la lumière se meut en ligne droite dans chacun des deux milieux, avec
une vitesse qui varie, suivant une loi connue^ avec la direction du rayon. On demande
quel chemm elle doit suivre pour parvenir d'un point A du premier milieu, à un
point B du second, dans le moindre temps possible.
Soit a l'a distance du point A au-dessus de la ligne OX, et b celle du point B audessous de cette même ligne. Si M est le point où le rayon de lumière doit traverser OX, de telle sorte que la route la plus rapidement parcourue soit AMB, on a, en nommant d la distance PQ comprise entre les projections des points A et B sur OX, et 9 et (|> les angles formés par MA et MB avec la normale à OX,
(') a tangip + ftiang^ = ^/;
de plus, uQlv désignant les vitesses de la lumière lorsqu'elle suit les directions AM et MB, le temps employé à passer de A en B est
U COSy l'COsJ/ '
c'est cette somme qu'il faut rendre minima. Elle ne dépend évidemment que d'une seule variable, car 9 et <]^ sont liés par l'équation ( i ), et u et v en sont des fonctions données. On trouve en différentiant l'équation ( i )
ad <? bd -i^
COS'f COS'ij'
et puisque la différentielle de l'expression (2) est nulle quand il y a minimum, on doit avoir en même temps
arfysinç adu Mtj/sin\(( bdv
''*' H ces' « M' ces ^ l'COS'>I< ^''COS'^J/ '
ce qui, en vertu de l'équation (3), se réduit à
sin tp rosç s\n-if ces ij'
u dm f , dîf
du dv
Cette équation, jointe à la relation ( i ), détermine les angles 9 et ^ ; elle est susceptible d'une interprétation géométrique remarquable. L'inverse du premier membre est
du
— f< -T-î- sm <p 4- coss
Si l'on considère m et 9 comme les coordonnées polaires d'un point, le pôle étant placé en M, et l'axe polaire perpendiculaire à OX, le lieu des points correspondants aux diverses valeurs de 9 est une courbe que l'on peut considérer comme donnée, et dont la tangente fait avec le rayon vecteur un angle V défini par l'équation
langV = «j5^^
l'expression (6) devient alors
— MlangV — MsiiiV
-*liiiit; V sini)>+ cosf cos(V-f-?)
< )r " ^' iCSt la portion de la perpendiculaire à l'axe polaire comprise entre
le pôle et la tangente à la courbe, c'est-à-dire la dislance du point M au point oii la droite XX' est coupée par la tangente menée à la courbe parle point où clic reiiconlre le rayon MB.
Si l'on construit de même et du même côté de la ligne de séparation la courb»;
500 PREMifeRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,
dont les rayons vecteurs sont proportionnels à la vitesse do propagation dans le second milieu, le second membre de l'équation (6) représente la distance comprise entre le point M et le point où la tangente à cette seconde courbe coupe XX'; il résulte de là que les deux tangentes doivent se rencontrer sur XX', et l'on est conduit au théorème suivant :
En admettant que la lumière se propage suivant une loi telle, que le temps du trajet soit un minimum, pour connaître le rayon réfracté correspondant à un ravon incident AM, on prolongera AM jusqu'à la rencontre de la courbe dont les rayons vecteurs représentent les vitesses dans le premier milieu, puis parle point d'intersection, la tangente à cette courbe, du point où cette tangente perce la ligne de séparation, on mène enfin une tangente à la seconde courbe dont les rayons vecteurs représentent les vitesses de propagation dans le second milieu. Le point de contact de cette tangente est situé sur le rayon réfracté.
478. Problème III. — Trouver les deux axes de la section d'un ellipsoïde par un plan donné passant par son centre, en les considérant comme les rayons vecteurs maxima et minima de cette section.
Soit
l'équation de l'ellipsoïde. Le rayon vecteur r qui forme avec les axes les angles «, /3, y, est donné par la formule
/ , j l CCS' g cos^p COS^ 7
Il ne dépend que d'une seule variable, car en nommant /, m, n, les angles formés avec les axes par la normale au plan de la section considérée, on a évidemment
COS' a -1- COS' 8 -f- COS' 7 = 1, (3)
COS a CCS l + COS ^ COS m -f- CCS 7 COS « := o.
- étant maximum lorsque r est minimum et réciproquement, nous résoudrons le
problème en égalant à zéro la ^différentielle de \, et considérant cos ]3 et cos 7 comme des fonctions de cos a, définies par les équations (3); on aura
(^j cos g rf COSa COSprf COS P C0S7 rf COS 7
LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. La (lifférentiation des équations (3) donne d'ailleurs
rm
ces a d COS a + COS ^ d COS p -+■ ces 7 rf CCS 7 ^ o ,
cos/rfcosa-f-cosmrfcosp-f-cosnr/ (-087 = o.
Il faut de ces deux dernières équations déduire d cos ^ et d cosy et les substituer dans (4) ; celle-ci se réduira alors au produit de d cos a par un coetticient qu'il faudra égaler à zéro; or ce calcul revient évidemment à éliminer dcosct, rfcosjS, dcosy, entre les équations (4) et (5). Pour y parvenir, la méthode la plus simple consiste à ajouter ces équations après avoir multiplié deux d'entre elles par deux facteurs indéterminés >,, Xj, puis à égaler à zéro les coefficients des trois différentielles; deux des équations ainsi obtenues servent à déterminer les multiplicateurs X, et Xj, tels, que l'addition fasse disparaître deux des différentielles, et la troisième équation est alors précisément le résultat de l'élimination. On obtient ainsi les relations
COS g a'
■+- X, COS a -I- X, COS / = o ,
cos S ■ ^ +>i cos p -f- X, cos /n = <),
cos 7
— — ^ -+- >i cos 7 -f- X, cos n = o.
En éliminant entre elles X, et Xj, on obtiendra la relation qui convient aux rayons vecteurs maxima et minima.
En ajoutant les équations (6) après les avoir respectivement multipliées par cos a, cos^, cos y, il vient, en ayant égard à (i) et (3),
et les équations deviennent, en remplaçant X, par -i
«^03 7 (3; — p)-^^''OS«=«.
COSi
cos
d'où l'on déduit, en ayant égard à la seconde équation (3),
ces'/ COS'ffl cos'/i
Cette équation, qui est du second degré en — , détermine les longueurs des deux
axes; r étant regardé comme connu, les équations (8) font connaître cos a, cos/3, C0S7; elles donnent en effet
cos / cos m cos n
cos a cos P cos '/
et la somme des carrés des trois cosinus étant égale à l'unité, ils peuvent être regardés comme connus.
Solution géométrique de quelques problèmes .
479. Lorsqu'une fonction devient maxinia ou minima, sa différentielle est nulle, et la variation correspondante à un accroissement infiniment petit de la variable dont elle dépend, se réduit à zéro quand on néglige les infiniment petits du second ordre. Cette considération peut s'appliquer directement dans un grand nombre de cas et fournir souvent une réponse très-simple aux questions de maxima et de minima.
Reprenons, par exemple, le problème déjà étudié (474): Trouver la plus courte distance d'un point à une courbe.
Soit 0 le point donné, et OM la distance minima. Si l'on nomme M' un point infiniment voisin de M, situé sur la courbe, il faut que la différence OM' — OM soit nulle, lorsqu'on néglige les infiniment petits du second ordre. Or cette différence est égale (21 ) au produit de MM' par le cosinus de l'angle formé par OM avec MM': ce cosinus doit donc être nul, et par conséquent la ligne de longueur minima ou maxima est une normale.
Cherchons pour second exemple un point situé sur une courbe donnée, et tel que la somme de ses distances à deux points donnés soit minima ou maxima.
M étant le point cherché, et A, B les points donnés, il faut que la somme AM + BM soit égale, en négligeant les infiniment petits du second ordre, à la' somme AM' + BM', relative à un point infiniment voisin. Or les accroissements de AM et de BM sont égaux (21) aux produits de MM' par les cosinus des angles formés par sa direction avec les lignes AM et BiNI; ces cosinus doivent donc être égaux et de signes contraires, et par conséquent la somme AM + BM est minimum lorsque les deux lignes AM et BM forment des angles égaux avec la courbe donnée sur laquelle se trouve le point M.
UVRE SEœND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. S03 a
Maxima et minima des fonctions de deux variables .
480. Soit o[x, y) une fonction de deux variables indépendantes xaiy, les valeurs maxima et minima sont telles, que la différence
conserve le même signe, quelles que soient les valeurs très-petites, positives ou négatives, attribuées à A et à ^. Le théorème de Taylor donne
(.) ^(x + A, j-l-/.) — ?(x,j) = A^-^ + A-^-hU,
il pour des valeurs infiniment petites de h et de k, R est négligeable par rapport aux deux premiers termes, toutes les fois que ceux-ci sont différentes de zéro. Or ces termes, qui déterminent les signes du second membre, changent de signe sans ibanger de valeur quand on change A en —A et A en —A-; l'accroissement de la fonction ne peut donc avoir un signe invariable que si l'on a à la fois
ce sont les conditions communes au maximum et au minimum.
On peut remarquer que la fonction y (x, y), étant maximum ou minimum lorsque x et y sont l'un et l'autre variables, doit l'être à fortiori si on laisse l'une de ces quantités constantes. La règle relative aux fonctions d'une seule variable devient alors applicable et permet d'écrire immédiatement les équations (2). Mais <es deux équations ne sont pas suffisantes; en les supposant satisfaites, le théorènu- (le Taylor donne
R étant pour de petites valeurs de h et de k, négligeable par rapport aux trois
i)remiers termes du second membre. Si donc les trois dérivées -j-~» -5 — 7-» y-i ne ' ax' dxdy dy'
sont pas nulles, le signe du second membre, pour des valeurs infiniment petites de
fi et de k, sera le même que celui du trinôme
^^' ,. dx'^'"' dxdx^" dr*^
il y aura maximum ou minimum si cette somme reste toujours négative ou touj(uirs
positive pour toutes les valeurs très-petites attribuées à A et à A; or, en écrivant
l'expression (4) de la manière suivante :
'^Idx^'^ h dx dy ^ \li) dy^\ '
on voit que son signe dépend seulement du second facteur, lequel est une fonction du rapport j^ qui peut varier de — oo à -i- oo , et pour que le trinôme conserve toujours le même signe, on doit avoir /
<=) (;!#.) -(è)fê)<°- ' .
Cette condition exige évidemment que -t~^ et -t-| aient le même signe; s'ils sont négatifs, le trinôme (4) est négatif, et il y a maximum; il y a minimum, au con-
traire, lorsque, l'inégalité (5) étant satisfaite,-^-! et -^ sont positifs.
Lorsque les valeurs de x et de y qui annulent -r- ^\ -ri donnent
/■ </=9 \' l d^'j\ I il'
\dxdyj \dx^J \dy
le trinôme (4) ne peut pas changer de signe, mais il peut devenir nul, et si l'on
k donne au rapport t- une valeur convenable, les termes du second ordre disparaissent dans le second membre de l'équation (3), et ce sont ceux du troisième dont la somme impose son signe au développement; or ces termes changent de signe sans
changerde valeur, lorsque, laissant j- invariable, on change A en —h, et k en —k:
il n'y a donc ni maximum ni minimum si, pour la valeur considérée du rapport 4 •.
leur somme est différente de zéro; lorsque la somme des termes du troisième ordre est nulle en même temps que celle des termes du second, ce sont ceux du quatrième
ordre qui, pour celte valeur du rapport ji imposent leur signe au développement,
et comme ils ne changent pas de signe lorsque h se change en — A et ^ en — / . il suffira, pour qu'il y ait maximum ou minimum, que ce signe soit le même que
celui que conserve la somme des termes du second ordre pour les valeurè de 4
qui ne l'annulent pas.
481. Si les trois dérivées du second ordre -r^^ -—■, -, — %~: sont nulles en même
dx' dy' dxdy
temps que celles du premier, il faut, pour qu'il y ait maximum ou minimum, que les quatre dérivées du troisième ordre soient nulles aussi pour les mêmes valeurs (les vaiiables, et qu'en outre l'ensemble des termes du quatrième degré en A et Adans le développement de Taylor ait un signe invariable : cette dernière condition sera remplie si, en égalant à zéro la somme de ces termes, l'équation du
quatrième degré en 4 qui en résulte a toutes ses racines imaginaires.
Fonctions d'un plus grand nombre de variables.
482. L'étude des maxima et minima d'une l'onction d'un plus grand nombre de variables repose sur des considérations entièrement semblables aux précédentes. Soit f» (a?, y, 2 ) Une fonction de trois variables indépendantes;- pour qu'elle soit maxima ou minima, il faut qu? la difféfence
<^{x -\-li, y+ k, z-\-l] — t^{x,y, z)
conserve le même signe, quelles que soient les valeurs très-petites attribuées aux accroissements A, k, l. Or on a (395)
R étant, pour de très-petites valeurs de h, k, l, aussi petit que l'on veut par rapport à la somme des trois premiers termes, qui par conséquent influent seuls sur le signe du second membre. Ce signe ne peut être invariable que si l'on a
dif do da
Os conditions étant supposées remplies, le théorème de Taylor donne
<f{x-+-/i,x-^lt-,z-^-l) — <f{x,};z)
h'd'o l.'d'tf l'd'f ,, d'y ,, d'^i, </'<p
2 dx^ 2 dy' 2 dz' dxdy dxdz dydz
R étant, pour de très-petites valeurs de A, k, l, aussi polit ([ue l'on voudra par rapport aux termes qui le précèdent. 11 faut donc, pour qu'il y ail maximum ou minimum, que le polynôme
h'd'o 1,'d'm l'd'f ,, d'o lid'f ,, <^'<f ■^ + - -A -h - -A -h filf -7-4- -+- lil -r-rr: + ^ '
2 t/x' 2 d)'- 7. dz^ dxdy dxdz dydz
conserve le même signe, quelles que soient les valeurs très- petites attribuées à /».
k cl /. '* ■
