I. * ti

Or il est permis de supprimer cette condition relative à la petitesse des accroissements. En mettant en effet en facteur la quantité positive A% on voit que le signe

kl.

du polynôme ne dépend que des rapports t et y- qui sont entièrement arbitraires et

peuvent varier de — oo à + oo . Cela posé, la condition cherchée se trouvera de la manière suivante. Soit le polynôme

(r) A/«- + BÂ=-|-C/^ + 2D/i/r-+-2E/t/H-3.F/,7.

Pour exprimer que son signe reste invariable, quelles que soient les valeurs attribuées à h, k, l, on commencera par réunir tous les termes qui contiennent A, auxquels on ajoutera les termes nécessaires pour compléter un carré, lesquels bien entendu seront ensuite retranchés; l'expression (i) devient ainsi

On réunira ensuite dans les termes qui suivent le premier, tous ceux qui contiennent h, en leur ajoutant les termes nécessaires pour compléter un carré. L'expression (u) devient ainsi

elle est par conséquent mise sous la forme

(4 ) A ( A + mk + nlY + A' (/+p/f)' + S!' k\

A, A', A", m, n,p, étant des constantes connues. Il est clair qu'une condition suffisante pour que le signe.de (4) soit invariable, est que A, A', A", soient de mêmes signes; cette condition est en même temps nécessaire, car, A, li,l étant arbitraires, on peut réduire à zéro deux quelconques des trois carrés qui multiplient A, A', A", sans y réduire le troisième, dont le coefficient donnera par conséquent son signe à la somme totale, et si ces trois coefficients n'ont pas le même signe, la somme peut, suivant les valeurs de h, k, l, prendre des signes différents.

483. La théorie précédente s'étend sans difficulté aux fonctions d'un nombre quelconque de variables. La condition commune au maximum et au minimum est que les dérivées de la fonction par rapport à chacune des variables dentelle dépend soient toutes égales à zéro; ilfaut en outre que le polynôme homogène formé par les termes du second ordre dans le développement de l'accroissement de la fonction ait un signe invariable quels que soient les accroissements des variables; cette con-

LURE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. SOl

dition s'exprimera comme dans le cas de trois variables, en mettant le polynôme sous la forme d'une somme de carrés multipliés par des coefficients constants qui devront avoir tous le même signe. 11 y a maximum lorsque tous sont négatifs, et minimum lorsqu'ils sont tous positifs. S'ils sont de signes différents, il n'y a ni maximum ni minimum.

Au lieu de dire que les dérivées de la fonction sont toutes nulles pour les valeurs des variables qui correspondent au maximum ou au minimum, on peut dire que la différentielle totale de la fonction est égale à zéro. Cette différentielle étant la somme des produits des dérivées par les accroissements arbitraires attribués aux variables, les deux énoncés sont évidemment équivalents. Le second est pourtant, dans certains cas, d'une application plus facile.

Maxiina et mlnima des fonctions implicites.

484. La théorie précédente s'applique sans changement aux fonctions implicites; on peut concevoir en effet que des opérations algébriques les transforment en fonctions explicites; les conditions relatives au maximum ou au minimum s'exprimeront alors au moyen de dérivées que l'on peut calculer à l'avance par la méthode connue pour la difl'érentiation des fonctions implicites. La manière la plus commode de former dans ce cas les conditions communes au maximum et au minimum consiste à égaler à zéro la différentielle totale de la fonction considérée.

Soito (x^, x-i, Xf. . . x,„+„) une fonction de m-t-n variables entre lesquelles ou donne n relations, L, = o, Li=:o, . . , L„ = o. La condition commune au maximum et au minimum est

, . dv , (I f , d'i , d <i ,

I ) -jT- dx, ■+- -r^ rtx, -f- ->-^ dxs + . . . -1- -, — — </x.„+„ = o.

dXy dx, (IXi <ix„,+„

Les variables x,, x^,..., x,„^„, étant liées par n équations, leurs différentielles satisfont à n équations du premier degré:

dh, , dL, , dL, ,

-j— dx, ■+- -j— dx,-h.. .-f- T dx„+, = o,

dx, dx, dx„+„

dLi , dL, , dL, ,

dL. , dL, .

-r— dx, -h -j— dx, ■ dx, dx, .

Si par le moyen de ces «équations, on élimine du premier membre de l'équation (i)

un nombre égal de différentielles, rAr,, dx^ dx„ par exemple, toutes celles

qui resteront pourront alors ètpe considérées comme arbitraires, et l'on égalera ensuite à zéro les coefficients de chacune d'elles. On obtiendra ainsi m équations

qui, jointes aux n équations données, détermineront les valeursdes m + n inconnues pour lesquelles il peut y avoir maximum ou minimum.

485. Pour éliminer les différentielles rfa;, , dir2,-..,dx„, on peut ajouter les équations (r) et (2) après avoir multiplié les dernières par des facteurs X, , X2, . . . , X„, que l'on déterminera de manière à rendre nuls les coefficients de ces différentielles : on devra ensuite, comme il a été dit. égaler à zéro les coefficients des différentielles restantes, en sorte que, pour des raisons différentes il est vrai, tous les coefficients auront été égalés à zéro, et l'on aura m-\-n relations entre les n multiplicateurs et les inconnues primitives, sans que le choix arbitraire des différentielles éliminées ait altéré en rien la symétrie des formules. Les équations ainsi obtenues sont

dXi ' dXi ' dx, ' " dx^

da , dL, , JLj , r/L„

dx^i dx-i dx, dx,

'^" du , ^ du , , . dhn

(l^m-hn ^-^m-i-n ^•^m-i-n ^'^m

Il faudra leur adjoindre les n équations données L, = o, L^ = o , . . . , L„ = o^ et le nombre total des équations se trouvera égal à celui des inconnues auxquelles il faut adjoindre les multiplicateurs X,, X2, . . . , X„.

486. Comme application de la théorie des maxima des fonctions implicites, nous chercherons le polygone de plus grande surface que l'on puisse faire avec des côtés donnés.

Soient a;,, j,, x^, fi, . . . , oc„, y„, les coordonnées inconnues des sommets du polygone, la surface qu'il s'agit de rendre minima a pour expression

(i) 8=- {x,—x,){x,-\-y\)-{-- (xj— a;,) (j3+j7)+. ..-(--(•«•»— ■r,){.r,+.r«),

c'est-à-dire

(2] - [ j, [x„ — x,)-hy,{x, — x,)-hX,{x, — Xi)-h. . .+)-„(x„, — X,)].

Les relations données entre les 2/1 variables x, , 0^2, . . . , x„, y^, yt,..., y„, sont

al^(x. — x,Y+{y„—y,f.

La condition du maximum, rfS = o, est ici

les différentielles qui y figurent étant liées par les n équations

(x,—x,)dix, — x,) + {X,—y\)d{f,—x,} = o,

{x„ — x,)d{x„—x,)+{X„—y\)d{Xn—r<) = °>

au moven desquelles on peut éliminer de l'équation (4) les différentielles «te,, rf^2. • • • . dxn'': chacune d'elles figurant dans trois équations seulement, les multiplicateurs qu'il faut adopter pour que l'élimination se fasse par addition sont faciles à trouver, et l'on obtient une équation de la forme

(6) ■ K,dx^-i-K,df,-\-. . .-\-K„d}„ = o,

ou 1 on a

L'application de la règle générale conduirait à égaler maintenant à zéro chacun des coefficients A,, k^, . . ., k,,, mais ce serait commettre une grave erreur. Les n équations données entre a?,, j,, x^, y^, . . . , x„,y„, ne laissent pas en effetj,, Vj,..., v„

entièrement arbitraires, et les différentielles dy,, dy^ dy„ sont liées par une

relation nécessaire, en sorte que l'équation (6) ^eut être satisfaite sans que chacun de ses cocIVieients soit nul. Si en effet on déduit des équations (3) les valeurs de X, — X2,X2 — Xj,..., x„ — X,, leur somme doit être nulle, el cette condition donne une relation entre /,,/;,,...,>'„. La relation correspondante entre rf>',, dy^,.-. , dy„, s'obtiendra en ajoutant les différences dx, — dx^ , dx^ — dx^ ..... dx„ — d.r, . déduites des équations (5). L'équation ainsi obtenue est

:) H, rf/, + H,rf/,-<- ..-f-H»f//.=io,

51ft PREMIÈRE PARTIE. - CAIjCUL DIFFÉRENTIEL.

oh

M .>■'— .r= r»— Ti

,T'n """.'Kl t'i»— t — — ,V)i

L'équation (6) devant avoir lieu pour toutes les valeurs de rfj, , dy^, . . . , dy„ , qui satisfont à l'équation (7), il est nécessaire et suffisant que l'on ait

, o , Kl K, Kj K„

Telles sont les conditions nécessaires pour que la surface du polygone soit maxima. Il est facile de les interpréter géométriquement. Si l'on écrit en effet que les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés, {x„,y„) {w,,y,), [ce,, y,) (a^j.Vj), i^i-'yi) (■^3-73)' concourent en un même point, on retrouvera l'équation

et l'on voit aisément que l'équation continue (8) exprime que toutes les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés concourent en un seul et même point, et que par conséquent le polygone est inscriptible dans un cercle.

487. Cherchons, comme seconde application, le polygone de plus grande surface entre tous les polygones isopérimètres d'un nombre donné de côtés.

En désignant, comme dans la question précédente, les coordonnées des sommets

par x,, V,, 373,72 ^«.7«. l'expression de la surface qu'il faut rendre maxima

est

(') . S= - [7, (x„ — x,)-f-n(jr, — jr,)+. ..4->-,(.r„, — jr„)],

et si l'on pose encore

aj = ( ^. — X3 )' + (;■, — >gS

ai — {x„—x,y + {r„— j; y,

la seule .équation de condition donnée entre les an coordonnées est

{^) a,-ha,-^.. . .~ha„ = l,

d'où l'on déduit

(4) da,-\-da,-h- ■ -+-</«„ = 0,

c'est-à-dire, en remplaçant da, , da^,..., da„ par leurs valeurs,

o = i-^'—^') d{x,— x-,)-Jr{r,—x^) d{r, — y-:, ) {x, — x,)tl{T,—x,)-hi:y\—Xi)d{yj~r,)

L'équation dS = o, qui exprime la condition du maximum, est, comme dans le problème précédent,

o = </j,(x„ — x,) + dy;{x,—x,)+:..-hdy„{x,^,—x,] — d.r, {)\—}-i) — dx,(x, — y;)—... (6)

—dx.(x^,—r>)-

Si l'on écrit l'équation ( 5) sous la forme

(7) A,(/jr, -)-A,rfx,-t-.. .-t- \.dx.-hB,dy,-+-B,dx2-h- ■ .-f-B,</>-. = o,

il faut évidenunenl, pour que l'équation (6) en soit une conséquence, (|ue lescoefticients des an diflerentielles soient proportionnels dans l'une et dans l'autre, et les équations qui expriment le maximum sont par conséquent

ri

Si y.p est l'inclinaison sur l'axe des X du côté Up, et /3p, l'angle formé avec le même axe par la diagonale qui joint les points (a?p, , J>-i), i^p+i . Vp+, ), l'équation

devient, en y remplaçant A, et B, par leurs valeurs, , , sina, — sin », cos9,

est-à-dire

ces a, — cos «, sin p,

cosp, sin p,

ou eritin,

51 î PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

La direction déterminée par l'angle |3, forme donc des angles égaux avec les côtés a„ et a, ; cette direction est celle de la base du triangle dont a„ et a, sont les côtés, celui-ci est donc isocèle, et l'on a

ou verra de même que tous les côtés sont égaux. En les regardant comme donnés, le problème rentre dans le précédent, le polygone doit donc être inscriptible dans un cercle, et est par conséquent régulier. On prouverait aisément que les équations dont nous n'avons pas fait usage expriment qu'en admettant l'égalité des côtés, les angles aussi doivent être égaux; mais il est inutile d'insister sur ces développements élémentaires qui ne peuvent offrir de difficulté.

Recherche de l' expression, déforme donnée, qui, entre certaines limites, s'écarte le moins possible d' une fonction donnée.

488. M. Ttchebitcheff a appliqué la tbéorie des maxima et minima à la solution d'un problème très-intéressant en lui-même, et qui donne lieu à des artifices analytiques remarquables.

Une fonction ip [x) étant donnée, on propose de la représenter approximativement par une expression P de forme donnée, et contenant un certain nombre de paramètres qu'il faut déterminer par la condition que la plus grande valeur que prend entre des limites données la différence ç [x) — P s'écarte le moins possible de zéro.

Soient — A et + A les limites données entre lesquelles reste comprise la variable X. Nommons L la plus grande valeur que prenne, entre ces limites, la différence çi(a;) — P, et supposons qu'elle réponde à a; = aj, : il faut évidemment que a; = a;, rende cette différence minima, à moins que a;, ne soit précisément l'une des deux limites —A et -t-A. Si donc on pose

a;, doit vérifier l'équation

et toutes les valeurs de a;, qui font acquérir à F (a;) sa valeur maxima ±: L, satisfont à l'équation (2). Si l'on désigne ces valeurs para:, , a:,,..., a;„ , elles sont solutions communes des deux équations

Y(xY—\J, {x^ — h')¥'(x) = o.

Soient/),, p^,. ■.,])„, les paramètres arbitraires qui figurent dans P, et qu'il faut déterminer de manière à rendre L un minimum ; nous allons démontrer que les va-

leurs de ces paramètres doivent être telles, que les équations du premier degré

dFjx,) d¥{x,) </g(^.)F,,,

dp, dp, dp,

d?{x ) rfF(.rJ ^ d?{x

dp, dp-, dp„

soient incompatibles et ne puissent être satisfaites par aucun système de valeurs

de /| , /q • ■ • ■> ^n-

Supposons en effet que le problème soit résolu, et que l'on ait trouvé des valeurs (\ep,, Pi,--., p„, telles, que la fonction F {x), égale à ±:L pour x — x^,x = X2,-.-, x=^Xu, soit moindre que L pour toute autre valeur de a; comprise entre les limites, et que pour toute autre valeur des paramètres, elle puisse au contraire surpasser!.. S'il est possible de satisfaire aux équations (3), les conditions précédentes ne sauraient être satisfaites. Admettons en effet que F {x) devienne égale à it L pour

X =:x,, x = Xi x = Xn, et qu'il soit moindre que L pour toute autre valeur de

la variable. Je dis que l'on pourra cbanger les paramètres de manière à rendre le maximum de F {x) moindre que L: il suffira de remplacer p,, pi,..., p„, respectivement par />, — ),w,/?2 — y.^h>,...,p„ — ),„w,w étant infiniment petit et positif. La variation infiniment petite de F {x) est en effet

d?ix). d?{x)^ rfF(x).

dp, dp-, dp„

et pour a; = a?, ,x = x.i,..., x^=x„, elle se réduit, en vertu des équations (3), à

elle est donc de signe contraire à la fonction, dont par conséquent la valeur absolue diminue. La valeur absolue de V [x) diminuant poura^ = a;,, et pour les valeurs voisines, devient plus petite que L; il est clair d'ailleurs que la fonction variant iiitiniment peu , elle reste aussi moindre que L pour les valeurs de a;, dont la différence avec .r, , aij,..., a;^ est finie; Y {x) est donc, après la variation des paramètres, moindre queL, pour toute valeur de x comprise entre les limites—/» et 4-/«, et par conséquent les valeurs/;, , />!,...,/>„, qu'on leur avait attribuées primitivement, ne sont pas celles qui rendent le maximum de la fonction le plus petit possible.

Il est donc démontré que les équations (3) doivent être incompatibles pour (jue les conditions proposées soient satisfaites.

489. Appliquons les considérations qui précèdent à la solution du problème suivant : Trouver le polynôme de degré n de la forme

^{x) = x"-\- p,x"-'hp,x"-''-^-. . .-hp„-,x + [j„,

qui, entre deux limites données — A et -h h, s'écarte le moins possible de zéro, c'est-à-dire dont la plus grande différence avec zéro ait la moindre valeur possible. En nommant L la plus grande valeur absolue de cette fonction, lorsque x varie de — Aà -f-A, les valeurs x, , X2,...,x,j (]e x, auxquelles correspond cette valeur h, satisfont aux deux équations

^{xy—v = o,

ix'—h')F'{x) = o.

Le nombre p. de ces solutions communes est aii moins égal à « -h i ; on a vu en effet que les équations

dp, dp, dp,,

dF{x,)^ dF{x,} dFjx,} p, ,

dp, dp^ dp„

<lF[x^)^ dF(x^) , dF(x^)

dp, dp-, dfn

doivent être incompatibles. Or ces équations deviennent, quand on y remplace la fonction F par sa valeur:

\,X"-'-h'y7 Xl-'^. . .-\-l„-,X,-h'>: = F(x,),

,,, y,x"f-' -irhx"r' + - .. + À„,.r,+ >.„ = F{xO,

\ X'—' -\- ).., X"- ' + ...+ >„ x,^ -h À,. = F{x ). fi « '' "

Or un polynôme de degré n—i peut, par un cboix convenable des coefficients, prendre des valeurs données pour des valeurs données de la variable, en nombre égal ou inférieur ara; les équations (4 ) sont donc compatibles toutes les fois que ^j. est moindre que n + i, et pour que le problème soit résolu il faut par conséquent que jx soit égal ou supérieur à ra -t- 1 . Les solutions communes aux équations

(5) F(x)'— I,' = o, ix' — h')F'(x) = o

sont nécessairement racines doubles de l'équation

(6) {x —h'}[F{xy—L'] = o;

X, désignant en effet l'une d'elles, œ — jc, annule évidemment le premier membre de (6), et il annule aussi la dérivée

car on a, en vertu des équations (5),

Le nombre des racines auxquelles s'applique la remarque précédente étant n-hi au moins, le produit

{x' — h')[F{xy — L']

est divisible par (n-i- i) facteurs de la forme

et comme ce produit est précisément de degré 2n+2, il est égal à une constante multipliée par le produit de ces facteurs, et l'on a

{x'— /i')[F {x)' —V] = C{x— X,)' {x — X,)' . . . {x — Xn+,y.

Cette équation exige évidemment que jc= — het.T = -hh soient l'un et l'autre au nombre des racines x,,X2,..., x„+,. En supprimant les facteurs correspondants, l'équation (7) devient

(8) F(xy — L'=i(x'-~h'),{xY, OÙ

f(x)=\/C{x — X,)(x—Xt].. (X — X.+,).

L'équation (8) donne #

(9) [f{^) — -?{x) >Jx' — h'][Fix)-h.f(x)^/x' — /i']=^L', et par suite

ou

¥{x)-hf{x)s'x'—h'

^{x)[F{x)-hf{x)^x' — J']

La différence ^-—' — Va'" — A' tend donc vers zéro lorsque a: augmente, et, poui de très-grandes valeurs dex, elle est de l'ordre -^■. sachant d'ailleurs que les

deux termes de la fraction ; , étant deux polynômes entiers, l'un est de degré n

et l'autre de degré n — i , cette condition suffit pour les déterminer l'un et l'autre ; il est impossible en effet que deux fractions différentes

F(x) ¥,{x) fix)' ?,(*•)'

dont les dénominateurs sont de degrés A et A', aient, pour .r infini, une différence

infiniment petite d'ordre supérieur à celui de ^^- Si donc 9 {x)ei<f,(x) étaient, l'un

et l'autre, dedegré/î— i, la différence desdeux fractions serait, au plus, de l'ordre— ^.

et il serait par conséquent impossible que toutes deux eussent avec \j.t'^ — h^ une différence de même ordre que -^^ •

Le problème est donc ramené à trouver une fraction -4^' dont le numérateur

soit de degré n, et le dénominateur de degré n — r , et dont la différence avec V.^^ —h^ soit, pour une valeur infinie de x, un infiniment petit de même ordre que -^^r;-

Pour résoudre ce problème, il faut réduire \lx'^ — h^ en fraction continue, «t celle des réduites dont le numérateur est de degré n est la fraction chercbée qui, nous l'avons démontré, est unique.

\Jx* — A'=.r —=^^ ■

X + \Jx'' — /i=

donc

\lx' — A» — .r = ^

on en conclut