IX -h (Jx^ — h' — x

Si l'on nomme j^^ ?t ' ' " ' rT ' '^^ réduites de la fraction continue

chaque réduite se déduisant comme on sait de deux précédentes, on a, en général.

"n-f-l 2X "n II "n — l

0^, 2XQ„— /j'0„,

et si, dans le calcul de j=r^!=^» on remplace 2 X par 2 a- + {yj'x'^ — h^ —x), c'est-à-dire

Vn+i

par JT ■+- v'jr" — A% la réduite deviendra la fraction terminée qui représente y ï'^ — ^^on a donc

Q„(.r-{-v^x» — A') — /i"0„, En chassant les dénominateurs et transposant, cette équation peut s'écrire

on en déduit, en remplaçant successivement n par 2, ^, /|,...,

V, — Q,^x' — h'={x — '^x' — h'){P, — Q,^x'—h-'), p, Q3 v'x'— A' = (x— y/jT' — A') ( P, — 0, \lx'—h') ,

P,— Q„ Vx' — A'= ix — ^x'— A') (P.,— Q., y/x'—h').'- .. On déduit de ces équations, en les multipliant membre à membre.

P- — Q« \/^' — A' = ( ^ — V^' — A')"-' ( P. - Q' S^'^' - /'" i • La première réduite ^ étant égale à - > on a enfin

En changeant le signe de V-a:^* — A", ce qui est évidemment permis, puisqu une équation telle que la précédente exige l'égalité des parties rationnelles et des par- , lies irrationnelles dans les deux membres, on aura

et par conséquent

La fraction r& est la fraction cherchée , , dont le numérateur est de degré n, et la différence avec \Jx^ — h^ d'ordre -^;;^^ lorsque x est infini. On a trouvé en effet