I- T, P„ {x 4- \lx^— h}) — A»P„

<Jx^ «' = -, ; ?

par conséquent

\Jx^—h'

Q" Q„ [Qn{x + \lx^ — h') — A» Q„,]

Or le dénominateur du second membre est évidemment comparable à jr^"*', et le numérateur est constant, parce que les équations

donnent

et comme P, Qa — PoQi est indépendant de x, cette relation prouve que les différences analogues, relatives aux valeurs successives de n, le sont également. Le pro-

duit de j^ par un facteur constant étant la fraction cherchée, la valeur trouvée pour P„

Vn

représente le numérateur f{x), c'est-à-dire le polynôme qui, entre les limites — A et -h A, s'écarte le moins possible de zéro, et la solution du problème proposé est

T (x) = C[{x -^ s/x^ —fi')" -h{x — ^f^^^^^'}"].

Il est aisé de voir que les termes en \lx'' — h^ se détruisent dans la somme des deux développements, et que F (x) est, comme l'exige l'énoncé, un polynôme entier et rationnel de degré n. Pour que le coefficient du terme en af soit l'unité, il faut

donner à C la valeur — > et l'on a enfin

La valeur maxima que prend F [x] entre les limites —A et -i-A de la variable est atteinte, nous l'avons dit, pour x = ±h; cette valeur est par conséquent égale

UVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. K19 à -;^,ï et tout autre polynôme de degré n dont le premier terme est j^'" doit par conséquent sortir des limites —^ et H — —, entre lesquelles F (x) reste compris.