La fonction

peut s'exprimer simplement : si l'on pose

x= hcosy, elle devient ,

h" ( ces v -I- v' — « sin <f)" -h h" (cos? — y/ — • sin<p)" A"cos«if

et en remplaçant tp par sa valeur, arc cos ^ ? on a

A'.cos ( re arc cos t )

Telle est la fonction entière et rationnelle de x, de degré n, qui, lorsque .r varie de —h -à -f-A, s'écarte le moins possible de zéro.

491. M. Tchebitchefa appliqué le résultat précédent à la théorie de l'interpolation. Soit F(x) une fonction que l'on cherche k représenter, pour des valeurs de la variable comprises entre — A et -h h, par un polynôme de la forme

(i) \-\-Bj:-hCa!'-h- -.-hUx—';

on détermine, comme on sait, les coefficients A, B, C,..., H, par la condition que pour n valeurs x,, a;,,..., x„ de x, comprises entre — A et -+-h, la fonction soit égale au polynôme. Le choix des valeurs a;,, x^ x„ est regardé comme indifférent, et l'on trouve plus simple habituellement de les prendre équidistantes; mais le raisonnement suivant montre qu'il est plus avantageux de les choisir autrement.

La fonction V (x) étant égale au polynôme (i) pour les valeurs x,, x x„

(If .T. si l'on pose

(,, F(x)-A-Bx-Cx'...-Hx"- = P^^~^-^^^~f^---^"^~^-'.

le facteur P sera, pour chaque valeur de x, égal à l'une des valeurs que prend la «"""■ dérivée de F (x), lorsque x varie de — hl\ -h A; supposons, en elTet, (|ue l'on

attribue à P une valeur telle, que l'équation (2) soit exacte pour une valeur x„^,

de oc, comprise entre — h et -h h, l'équation

Admettant les n -f- 1 racines ce,, x^,..., a;„+, , toutes comprises entre — A et + h,, la dérivée du premier membre s'annule n fois entre les mêmes limites; la seconde dérivée s'annule n— i fois et la n'*'"" dérivée une fois au moins. On a, par

conséquent, pour une valeur de x comprise entre — h et -h h,

Pest donc, comme nous l'avons annoncé, l'une des valeurs que prend F" (a?), lorsque X varie de — h a -\-h.

L'erreur commise en remplaçant la fonction F (x) par le polynôme ( i j peut, d'après ce qui précède, être représentée par

a désignant une valeur inconnue, variable avec x, mais toujours comprise entre

— A et -h h.

Lorsque h est très-petit, si la dérivée ¥"'^'.(x) a pour x~ o une valeur finie et

F" (a) déterminée, le facteur varie peu, et le rapport de ses valeurs extrêmes

est peu différent de l'unité; on doit donc, pour obtenir la meilleure représentation possible, choisir les valeurs de x,, x.,,..., x„ de telle sorte. que le produit

s'écarte le moins possible de zéro, et l'on prendra par conséquent pour x,, x.,,..., x„ les racines de l'équation

{ 3 ) {x-\r \/'x' — /?)" -+-{x — slx' — /l') " = o.

Ces racines sont d'ailleurs faciles à obtenir; si l'on fait :c = Acosç, l'équation (i) devient *

ces «0 = 0, et l'on en tire *'