COURBURE DES LIGNES PLANES
Sens^de la courbure.
492. Le mot courhure indique la déviation de la forme rectilignc. Lorsqu'une; ligne n'est pas droite ou composée de lignes droites, elle est courbe el a en chaque point une courbure dirigée vers l'une des deux portions du plan qui sont séparées par la tangente. On dit que la courbe tourne sa concavité vers cette région,' ti sa convexité vers l'autre : la détermination du sens de la courbure est le premier problème que nous devons résoudre.
Si nous rapportons les points du plan à deux axes de coordonnées rectangulaires, une courbe a sa concavité tournée dans le sens des Y positifs lorsque, dans le voisinage du point de contact, son ordonnée est plus grande que celle de la tangente; dans le cas contraire, elle tourne sa concavité dans le sens des Y négatifs.
Soit j= f [x) l'équation de la courbe considérée : x et/ étant les coordoonécs il'un de ses points, celles d'un point voisin sont a: + A et 9(074- A); or on ;i
o(x+/0 = ?,(jr)-+-A<?-'(x)+ — 9"(^-l-e/0; i
, xj -f- A9' (a;) étant l'ordonnée de la tangente, et A* étant toujours positif, on viiit que le sens de la courbure dépend du signe de (f"^x -{-Oh), c'est-à-dire, purstjue A est très-petit, du signe de "/ [x). Lorsque f" [oc) est positif, l'ordonuéedo la courbe est, dans le voisinage du point de contact, plus grande que celle de la tangente, la courbe tourne sa concavité dans le sens des Y positifs. Lorsque . r r>t négatif, la concavité est tournée d^uis le sens des Y négatifs; dans le cas parti- I nlier où if [x) est égal à zéro, la oifférence <f{x-h h) — <f{x)—hff\{jje), eniv^' l'iinlonnée de la courbe et celle de la tangente, change en général de signe îr\e(! //, la tangente traverse la eourbe, et la courbure change de sens au point considérr <|ni rst un point d'inflexion.
r,ii PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Définition de la courbure et du rayon de courbure.
493. On nomme courbure totale d'un arc plan sans inflexion, l'angle formé par ses tangentes extrêmes. Il faut entendre par là la somme des angles infiniment petits dont la tangente tourne successivement quand son point de contact passe d'une extrémité à l'autre, en parcourant l'arc tout entier. Si, par exemple, les extrémités coïncident, et que l'arc considéré forme une courbe convexe fermée, les tangentes extrêmes se confondent, mais la courbure totale est égale à quatre angles droits et non à zéro.
La courbure moyenne d'un arc est le rapport de la courbure totale à la longueur de l'arc.
La courbure d'une courbe en un point, est la courbure moyenne d'un arc infiniment petit pris sur la courbe à partir de ce point. Elle est égale par conséquent à l'angle formé par les tangentes aux extrémités de l'arc infiniment petit, que l'on nomme angle de contingence, divisé par la longueur de l'arc.
D'après ces définitions, la courbure d'un arc de cercle est égale au rapport de cet arc au rayon, et la courbure moyenne, indépendante de la longueur de l'arc, est égale à l'inverse du rayon; telle est aussi par conséquent la courbure d'un cercle en un quelconque de ses points.
Lorsque le rayon d'un cercle varie de zéro à l'infini, la courbure varie de l'infini à zéro; elle peut, par conséquent, prendre toutes les valeurs, et il existe toujours, pour cbaque point d'une courbe, un cercle qui a même courbure qu'elle. Le rayon de ce cercle se nomme rayon de courbure, et le cercle lui même, placé de telle sorte qu'il toucbe la courbe au point considéré, en ayant sa concavité tournée du même côté, se nomme cercle de courbure.
494. Le centre de courbure est le centre du cercle decourbure.il estle point d'in- • tersection de deux normales infiniment voisines. Pour le démontrer, considérons **3^t"" ^i'*^ infiniment petit MM', et soient MO, M' 0 les normales à ses extrémités.
L anglp 0 est égal évidemment à l'angle de contingence de l'arc MM', et le rayon
h-lU
MM'
de courbure de celui-ci est par conséquent la limite du rapport —rr-- D'un autre
côté, si du point 0 comme centre, avec OM pour rayon, on décrit un arc de cercle MP, on a
Or MP et MM' sont des infiniment petits du premier ordre; chacun de ces arcs dilfere de sa corde d'un infiniment petit du troisième ordre, et la différence des tordes, moindre que M'P, est tout au plus du second ordre; MP et MM' peuvent donc être remplacés l'un par l'autre, et par conséquent la limite OM est é^a\e au ravon de courbure.
Expression du rayon de courbure.
495. Soit 7 = ? (.r) l'équation d'une courbe rapportée à des coordonnées rectiingulaires : en nommant « l'angle formé par la tangente avec l'axe des X, on a
et par conséquent
dr tang«=^,
« = arclang(g).
L'angle de deux tangentes infiniment voisines, que l'on nomme angle de contingence, est la différence des angles qu'elles forment avec l'axe des X ; il a donc
pour expression
(Jix = d arc lang ( ^ 1 =
dr dx
dy
dXL ^ -*-
La courbure de la courbe au point considéré est, par définition^. le rapport d l'angle d« à l'arc correspondant «fe : or on a
J,=:rfxy/.+ (g)'^.
la courbure est donc égale à
dx'
'El»*
bim'
.•;-2« l'REMIÉRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
et le rayon do courbure p, qui est l'inverse de la courbure, est par conséquent
dx-
Le cercle de courbure traverse la courbe.
496. Après avois prouvé (474) que les distances niaxima et minima d'un point à une courbe sont l'une et l'autre normales, nous avons cberché, sur une normale donnée, le point dont la distance à la courbe comptée sur cette normale n'est ni maxima ni minima, et tel, par conséquent, que le cercle tangent à la courbe, et dont le point est le centre, soit intérieur d'un côté et extérieur de l'autre, traversant la courbe en même temps qu'il la toucbe. La distance d'un tel point à la courbe est précisément (474) le rayon de courbure dont nous venons de trouver l'expression, et par conséquent : le. cercle de courbure traverse la courbe.
Il est facile de s'expliquer, à priori, pourquoi la courbe est traversée par' son cercle de courbure. Le cercle et la courbe ont en effet même courbure au point qui leur est commun; mais, à partir de ce point, la courbure du cercle est constante, et celle de la courbe variable. C'est pour cela que les deux lignes se séparent; si la courbure de la courbe va en augmentant, celle-ci s'écarte de la tangente plus rapidement que le cercle auquel elle est par conséquent intérieure. Si au contraire la courbure va en diminuant, la courbe est extérieure au cercle. Or il est clair qu'à partir d'un point quelconque, la courbure augmente, lorsqu'on se déplace dans un sensj«^t diminue lorsqu'on suit la direction opposée. Làl courbe est donc intérieure d'un côté et extérieure de l'autre à son cercle de courbure. Il y a exception pour les points où la courbure est maxima ou minima ; de quelque côté qu'on s'en éloigne, en effet, la courbure varie dans le même sens, et par conséquent le cercle de courbure est, dans ce cas, intérieur ou extérieur à la courbe : c'est ce qui a lieu, par exemple, au sommet d'une ellipse; à l'extrémité du petit axe, la courbure est minima, (itle-cercle de.courbure est extérieur à la courbe; à l'extrémité du grand axe, au (!ontraire,,la courbure est maxima jj,.et le cercle de courbure est intérieur; en tout
autre point, le cercle de courbure traverse la courbe.
Diverses- expressions du rayon de courbure .
497. Dans* la formule -trouvée pour expression du rayon de courbure, on a regardé l'abscisse X comme la variable indépendante. Pour s'affrancbir de cette sup-
position il suf^t (109) de remplacer -r-i par
f ■■ (}j:d\y — drd-.r %
LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES, et l'on a, par conséquent, quelle que soit la variable indépendante.
dx d^y — dyd^x
Cette formule s'applique commodément lorsque les coordonnées x et j sont données en fonction d'une troisième variable.
498. Lorsque la variable indépendante est l'arc même de la courbe considérée, l'expression du rayon de courbure peut être transformée à l'aide de la formule
et de
dx^ + dy-— ds\ dx d- X ->r dr d'y = o ,
qui s'en déduit par la différentiation; nous avons donné (174) le détail de cette transformation qui conduit à la formule remarquable
\ ds'
Cette formule est susceptible d'une interprétation géométrique élégante et souvent utile.
\ partir du point donné M portons, sur la courbe et sur la tangente, deux longueurs infiniment petites M.M', Mï, dont g désigne la longueur commune. Les coordonnées du point M' sont, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre,
dx I d'x
ds ■?. <is-
celles du point T sont rigoureusement
dx
Ml il, par conséquent,
dy
et par conséquent ,d'où l'on déduit
rtfVrV 4-M'T
aM'T
199. La première expression trouvée pour le rayon de courbure conduit à un théorème équivalent au précédent, et qui, dans certains cas, est d'une forme plus commode. Si l'on prend pour axe des x la tangente en un point, et pour axe des j la normale, l'équation
['-mi
devient
(d'x \dx'
y et -r- étant nuls, pour j? = o, si l'on nomme ^ l'ordonnée correspondant à une
abscisse infiniment petite /«, le théorème de Maclaurin donne, en négligeant les infiniment petits du troisième q^rdre,
et par conséquent
2 dx^
dy
dx'
(^ette formule diffère de la précédente en ce que l'ordonnée k y remplace la distance M'T. Orces deux lignes, dont les directions forment un angle infiniment petit, ont à la limite un rapport égala l'unité, et la substitution de l'une à l'autre ne change pas la limite du rapport dans lequel elles figurent.
L'équation ( i ) est équivalente au théorème suivant :
Le rayon de courbure, en un point M d'une courbe, est égal au carré d'une longueur infiniment petite MP portée sur la tangente à partir de ce point, divisé par
■ le double de la ligne PQ perpendiculaire à MP, et comprise entre le point F et la courne. '
500. Le théorème précédent conduit à une expression analytique du rayon de courbure équivalente à celle que nous avons déjà obtenue, et quelquefois plus^ commode, parce qu'elle ne suppose pas l'équation de la courbe résolue par rapport à l'une des coordonnées. Soit ip (a;, j) = o l'équation d'une courbe. Prenons pour axes de coordonnées la tangente et la normale au point M, dont les coordonnées actuelles sont x et y, et soient u, v, les coordonnées infiniment petites d'un point voisin de M; le rayon de courbure est, d'après ce que l'on vient de voir,
représenté par — ;; pour le déterminer, remarquons qu'en nommant 0 l'angle de
la tangente avec l'ancien axe des x, c'est-à-dire celui que forment les nouveaux axes avec les anciens, les coordonnées du point voisin de .r, y, sont, dans le premier système,
