X -ir u cosO — f sin
7 + j<sin 0 + «'cos 0, et l'on a par conséquent "
[i) 9(x-|-acosO — fsinO, y-\-u?,\nO-\-v co^0) = o.
cosO — t'sin 6P-f- 2 -; — 7- (mcosô — t-sinôltt/sinS-f-fCOSÔ) ilxdy
-1- -7-^ (« sin 9 4- i» cos 0 )» •
Le coefficient de u est nul, parce que l'on a
, ftx
de plus, les termes en v'^ et en uv peuvent être supprimés comme infiniment petits du <|uatrii'ino et du troisième ordre, et il reste
(3) „ = .(^cosô-gsin9)-t-i«.('^cos'S + ,.^,sinOcosO + ^.sin.<j), I. «7
Le nouvel axe des x étant tangent à la courbe, si l'on considère u comme infiniment petit du premier ordre, v est infiniment petit du second ordre ; nous devons I donc, en développant le premier membre de (i) par le théorème de Taylor, con- *" server les termes du second ordre, car le facteur «', qui multiplie quelques-uns d'entre eux, est comparable au facteur c qui se trouve dans les termes du premier ordre. L'équation ( i ) peut donc être remplacée par
o = T^ ( H COS 9 — csin0)+-7^{MsinO + i' cos 0 )
et par conséquent
rfcp
cos 9 'î^ dx
sin 9
dx'
■ ■ -, sin 0 c dx dy
os 9 -4- -4 S dy'
in» 9
on a
, d'ailleurs,
cos 9 =
dcf) dj
sin9 = —
di
\^mH
dr)
vm'-
et par conséquent
[(d9\ \dxl
\dyl ,
P~ d'(f /û?cp\-
dx' \dr)
d' dx
1 d±d9^ dy dx dy
(/j^ \dx)
Cette formule se déduirait aisément de celle qui a été donnée (490) et dont elle n'est qu'une transformation. Nous avons préféré la démontrer directement pour appeler l'attention sur un théorème souvent utile. La méthode précédente a d'ailleurs l'avantage de conduire à l'expression du rayon p, dans le cas où le point considéré
étant singulier, les dérivées -t-'' » -r deviennent nulles (4-63), et la formule (4) est
illusoire.
Reprenons dans ce cas l'équation (i) en remarquant que l'on a, outre
(f {x,y) = o, -p =o, ~ =o. Dans le développement du premier membre par le
théorème de Taylor, les termes du premier ordre sont nuls, ainsi que les termes en u^, dont le coefficient est précisément l'expression qu'il faut égaler à zéro pour obtenir (463) la direction de la tangente. Les termes de l'ordre le moins élevé, par rapport auxquels les autres sont négligeables, seront donc ici ceux qui contiennent le facteur uv et le facteur m% et, par la suppression des autres, l'équation (i) pourra être réduite à la forme
(5) PMf-f-PM' = 0.
On en déduira donc
P et Q contenant l'angle Q qui est connu, et les dérivées du second et du troisième ordre du premier membre de l'équation.
501. La considération de l'expression explicite de P conduit à une conséquence remarquable. Ce coefficient étant le multiplicateur de uv dans l'équation (5), on a
(7) ? = — 2 j-2sin9cos9-H2 -r— J-feos'0 — sin'9) + 2 -^-^ sînO cos6;
il est aisé d'en conclure que, lorsque le point singulier considéré est un point de rebroussement, on a P = o, et par conséquent le rayon de courbure est nul, et la courbure infinie. L'angle 5 est donné en effet (463) par l'équation
—, cos' 0 -J- 3 -j—-— sin 9 cos 9 + -j-r sin» 0 = o. dx' dxdf df'
Dans le cas qui nous occupe, cette équation a deux racines égales; la dérivée de son premier membre par rapport à 0 est donc nulle, et l'on a par conséquent
o = — 2 sin 0 cos 9 -j-^^ + 2 J ( cos' 0 — sin' G ) -+- 2 -7-^ sin 0 cos 9 ,
c'est-à-dire P = o.
La courbure d'une courbe en un point de rebroussement est donc infinie. Il peut y avoir exception lorsque, en même temps que P = o, on a Q=o; c'est ce qui arrive dans le cas du rebroussement de seconde espèce. Nous laissons au lecteur le soin de faire cette vérification qui, si l'on se reporte aux formules. (46&), n'offre aucune difficulté.
502. En se rappelant ce qui a été dit (464) sur la distinction des points singuliers, on peut démontrer plus directement qu'çn un point de rebroussement de première espèce, le rayon de courbure est égal à zéro. Si l'on nomme en effet u l'angle formé par la tangente à la courbe avec l'axe des x, et m, l'angle formé avec le même axe par le rayon vecteur qui réunit le point considéré avec le point où la courbe est coupée par un cercle de rayon R ayant ce point pour centre, on a trouvé, dans le cas d'un rebroussement de première espèce,
A cos' u ( lang u — lang m, )' -+- Mi R = o ,
M, ayant une valeur finie. Cette équation prouve que tang i^— tang m,, et par suite ti — M|, est de même ordre que ^H, et l'angle de la corde avec la tangente est de même ordre que la racine carrée de la corde. La distance de la tangente à l'extré-
mité de la corde est le produit de R par sin (« — «,), et par conséquent d'ordre -;
elle est donc infiniment grande par rapport à la distance analogue dans un cercle de rayon quelconque qui est du second ordre. La courbe s'éloignant par consé-
quent de sa tangente infiniment plus rapidement que ne le fait un cercle, elle a une
courbure infinie.
503. L'expression du rayon de courbure d'une courbe rapportée à des coordonnées polaires se déduit aisément de la formule
"^ dxd^f — dyd'^x
En calculant dx, dy, d'^x, d'y, à l'aide des formules
X = r ces 6 , j- = r sin 9 ,
^ [dr' + r'dB'Y l\dQ ) ^ J
^ ■idr'dQ — rd'rdO+r^dB^~ I drV d' r
on a
'[d6)-''d6-^-^' application à quelques exemples.
