QO, — PP, PQ.PP
La courbure de l'arc PP, est égale à la différence des côtés opposés divisée par la surface du rectangle.
Lorsque les lignes du second système sont droites, - est nul, et l'on a par conséquent QQ, =:??, ; on saiten effet que des courbes normales aux mêmesdroites (85) interceptent sur doux quelconques d'entre elles des longueurs égales.
.511. Les expressions trouvées pour les rayons de courbure conduisent à un théorème remarquable relatif à la loi de variation des courbures dans un système quelconque de courbes orthogonales.
Soient, comme au paragraphe précédent, AA', BB', CC, DD', quatre courbes infiniment voisines formant le rectangle infiniment petit PQ P, Q,, et'correspon-
liant aux valeurs a^, a, -^ </«,, «j, aj-t-t/a, des deux paramètres.
yjg.
au PREmÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Soit, en outre, p, le rayon de courbure de AA' et p^ celui de CC au point P; doc, eida.2 étant supposés positifs, la figure est telle que, d'après nos conventions, p, etjSa sont l'un et l'autre positifs.
Soit PT la tangente à AA' au point P, et 9 l'angle qu'elle forme avec l'axe des X positifs; on a, d'après nos conventions,
on aura de même
or on a
par conséquent
ou
(IB de
I , de
d'B d-'B d Xi don.-, d ai d x,
«2 pi , «,pl
I pi I P2 I «2 I «1
Ti+Ti^-^ r--i 7-^ = 0.
ii,uot.i II, a a.% p, a a, p2 da.^
En multipliant cette équation par A, h^ , en ayant égard aux valeurs de - et de - i elle devient
dl d'- ^ ^
/«i -r^ + lu -7^ )- -L + -i = o ; ««1 aas pj Pj
-j-^ est l'arc infiniment petit PP, et -?^ l'arc PQ ; en les désignant par rfsa et par ds^ , on a enfin
d'- dl
us, ds, p; P2
Cette équation a été découverte par M. Lamé.
Quoique la démonstration précédente fixe nettement le sens qu'il faut attacher
d- dl aux quotients -^5 rf^' ^' ^^^ peut-être utile de l'indiquer explicitement.
Ces quotients ne sont pas en effet des dérivées et ne peuvent évidemment pas en être, car il n'existe pas de variables s,, s^, dont p, et p^ soient fonctions. Dans
dl
li' rapport -^, d- est l'excès de la courbure de QQ, au point Q sur celle de PP, au point P, et ds, est l'arc infiniment petit PQ qui mesure la distance des deux courbes;
-j^ a une signification analogue.
512. L'équation précédente ayant une grande importance, nous en donnerons une seconde démonstration plus exclusivement géométrique.
Soit, comme précédemment, PQ P,Q,, le rectangle infiniment petit formé par les courbes des deux systèmes qui correspondent aux paramètres «,,«, -t-rf«, ,
Kj, «j -4- rf^j : menons par cliacun des points P, Q, P,,Q, des tangentes aux deux cotés qui s'y croisent, nous formerons un octogone PIQO'Q, l' P, 0, dans lequel la somme des huit angles est égale à douze angles droits, et comme les angles en P,Q, l'i.Qi, sont droits, la somme de ceux qui ont leurs sommets en I, 0, 1', 0', est égale 1 huit droits; or en nommant £,, 3, + dî, les angles de contingence des arcs PQ, l'i Qi. hf h+- dii ceux des arcsPP,, QQ, , on a, en désignant les angles de l'octo- ^ione par les lettres placées à leurs sommets,
il*
t'I, [)ar conséquent, l'équaiion
