t-0'-t-l-Hr=:4r iMjuivaut à

i) — dt, — rf £.. = {). •

Les différentielles dz,, di^ se rapportent, la première à l'accroissement rfa, du paramètre «,, et la seconde à l'accroissement </«., de a,. On a évidemment

et, par conséquent, l'équation ( i ) peut s'écrire

(2) VPi-Z,/^, 4-Jy£i A,/a, = o,

c'est-à-dire

or on a (507) par conséquent

lu II,

J{PQ) <l /(laA . h,

— ' ' — a Xi

dx, (I X, \ Ih } ' d X,

djVP,) ^ d /dx,\ ^^j^ ^ .

dx, dxi \ II, I ^" dx, '

on en conclut (508)

d(PQ) , I •

—j = dxi -j—,- ■ - 1

a X, II, Ih p,

'rf(PP,) , . I

dxi II, Iti Pi

et l'équation (3) devient

.;. dx,dxi p, I dx,dxt dx,dx^ p, i dx,dx,

^^' TT'd^,'^?^, h,lh "' h7~d7,'^^,1^hr'^°'

et en supprimant le facteur da, dx.,, et multipliant par /i,/*,,

dx, dx, p\ PI

c'est-à-dire enfin, à cause de —^ =z ds.2, -^ = ds,,

II, Ih

dl d'-

ds ds, p] p\

513. La formule précédente peut être transformée de manière à ne plus contenir que les fonctions A,, h.^, et les paramètres a,, a.,, dont elles dépendent. Reprenons en effet l'équation

rfi dl

dx, dxi o' Q-,

fl'

en remplaçant 7 et - par leurs valeurs ,

ou. en effectuant les différentiations, d' (^) dy .,

on a nlentiquement,

,/'//, dh, iM l'équation se réduit, en supprimant le facteur A, A^, à

, ' Â", , ' Âl' d/h II; , dlh A,

ou enfin,

, II, , lii ,, li< I12 /, «I «ï

lia', da.\ </a, ««, «a, dx,

ôl i. Les fonctions 7- et -j- faisant connaître (507) la loi de variation de la dis-

tance entre deux courbes voisines appartenant à un même système, on con)prend <|ue ré(|uation (8j, qui a lieu entre ces fonctions et leurs dérivées, exprime iiiiplieilenient la loi suivant laquelle peuvent varier les côtés des rectangles intiniment petits dans lesquels un plan peut être décomposé par deux systèmes de lignes orilio- ;çonales. Pour obtenir cette loi explicitement, il suffira de remplacer dans la formule

PUKMIÈRE PARTIE. - CALCUL UIITÉIŒNTIEL.

j- et j- par leur oxpression en fonction des côtés infiniment petits de ces rectangles. Représentons-nous sur le plan la série des lignes de l'un et l'autre système correspondait aux valeurs «,, a^ des paramètres, et à celles que l'on obtient en leur attribuant une série d'accroissements infiniment petits, égaux à r/a, pour le premier, et à dy.^ pour le second.

Nommons x ety les côtés PQ, PP, du premier rectangle, et convenons de représenter par le signe rf la variation qui correspond à l'accroissement d<x, de «,, c'est-à-

dire à un déplacement effectué sur les lignes PP,, QQ,,..., et par le signe ô* celle qui, correspondant à l'accroissement dc/.2 de «2, exprime un déplacement effectué sur les lignes de l'autre système. On a (507)