PQ

dx = -j — ( -j-^ ) da, = doL, dx, ~^f ax, \ h, j dx,

d idx, dx, \ /(,

dy=-j— [-Zpl] dx, = dx

' dx, '

, d l dxA , , , A2

^^=-j— -7— dxi= dx:. -r-% dxA lu ■ dx.

d /dx,\ , , , fi,

d'x^-j- [dx)dx, = dx\dx,^, dx, ' ' ' dx'.

dx]

En substituant dans l'équation (8) à h^, h., et à leurs dérivées les valeurs déduites decesforniules, elle devient, après la suppression du dénominateur commun dx, dy.^.

dy dx

or (5x

c'est-à-dire

(9) x*/rf'jr 4-j-'xo'r — x-dydx — j 'dj-dx= o.

Les variables a,, a,, dont les accroissements constants ont déterminé la loi d'espacement des courbes qui forment les rectangles, sont arbitraires. Cette loi est donc t'ile-mcme arbitraire : quels que soient en elTel les accroissements successifs attribués à une variable, on peut trouver une nouvelle variable, fonction de la première, et dont les accroissements correspondants soient égaux entre eux. L'équation (9) exprime donc la loi générale qui régit les côtés des rectangles curvilignes infiniment petits que l'on peut juxtaposer sur un plan. Si l'on suppose quatre rec-

tangles contigus représentés sur la figure et formés par des lignes espacées de telle sorte que l'on ait PQ = QR, PP, = P,Pj, c?a; sera nul ainsi que rfv, et l'équation 9 deviendra 10) xd^x -h}o^f==o.

Si l'on suppose cette équation exacte sous la condition d'égalité entre les colés contigus des quatre rectangles auxquels elle se rapporte, elle entraine l'équation plus générale dont on Ta déduite, et lui est par conséquent équivalente. Pour le démontrer, admettons en effet que cette équation (10) soit satisfaite pour quatre lectangles infiniment voisins, tels que ceux qui sont représentés dans la figure et sous la condition QR = PQ = x, PjP, =P, P = j. Admettons que les courbes étant ispacées autrement, ou aitQR = a;-t- â.T, PjP, =j H- r/v, r/^r et c?\y changeront de valeur, et il est fiicile de calculer la variation de chacun d'eux. Si en effet PjQa est remplacé par une ligne du même système, coupant PP,à une distance d/Au point 1».^, l'augmentation qui en résulte pour PjQj est précisément la varialion que subit d-x; or la ligne PQ s'accroissanl de dx, lorsque P se transporte en P, en parcourant une ligne égale a y, pour un déplacement égal à dy elle s'accroîtra de

dx dy

IRI-MIÈRE PARTIE. -CALCUL DIFFÉRENTIEL, par conséquent la nouvelle valeur de d'-x est égale à l'ancienne qui figure dans l'équation (lo), augmentée de -^-^ ■, et l'on doit, pour transformer celte équa-

tion, remplacer d'-x par d-x

dx dy

- ■ On verra de même que <?V doit être rem-

placé par è'-

■cy

et l'équation (lo) devient

/, , -, xdxdr roxoy

équivalente à l'équation (9).

J-a remarque que nous venons de faire pourrait être présentée sous une forme analytique et rattachée à la théorie du changement de la variable indépendante.

515. L'équation (9) peut être aisément vérifiée dans le cas où les lignes de l'un des systèmes sont droites; les lignes de l'autre système sont alors des courbes parallèles, et deux quelconques d'entre elles interceptent sur les droites qui leur sont normales des longueurs égales.

Considérons dans ce cas les trois rectangles contigus dont les côtés figurenfdan? la formule: nous aurons

PQ = X, QK = jt- 4- Qx ,

PP, = v, or = o, ô^r = o, P,Pj = I -Hf/r,

P, 0, = X 4- dx , P,0, — x-^idx-\- d' X ,

et l'équation devient c'est-à-dire

,, dxdy xd^x — X =- = 0,

d^ X dy

dx Y

UVRE TROISIÈMF. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. SSl

Cl* qui est évidemment exact, car la longueur x étant proportionnelle à la distance au point 0, où se coupent les deux droites entre lesquelles elle est comprise, ses accroissements sont proportionnels aux variations de cette distance. Si donc à un . déplacement j du point P correspond la variation dx, à un second déplacement égal

à )' + </)' correspondra la variation dx-{- • ' ■> et l'on a

,, dydx d'x = -: •

On peut donner au même raisonnement une forme plus analvtiquc en Taisant usage de l'équation (8), équivalente au fond à colloque nous venons d'employer. Dans le cas qui nous occupe, la distance de deux courbes du premier .système étant constante, j- est indépendant de «j, et l'équation (8) se réduit à

,12 flr ''t , /Il , ,, /(, II.

lu -r— — /' ; -, 7— = <) .

il 7.\ (Ix, llXx

que l'on peut écrire

(l x\ dx,

(/i,) \lu

Elle exprime que / y-' et / -.- ont même dérivée par rapport -a c/.,, et que par conséquent le rapport

Ih V d»,

est indépendant de «, et reste constant pour une valeur donnée de a,. Pour traduire ce résultat géométriquement, considérons les deux droites voisines (jui correspondent aux paramètres a^' «2 4- t/«j ; -T-' est la longueur portée sur l'une il'elles, mesurant la distance des deux courbes qui la coupent à angle droit. La distance des deux droites au point considéré est -r^' > et par conséquent proportionnelle à j-: (lire que le rapport (A) est constant, c'est dire, ce (|ni évidenimciil csl

exact, que l'accroissement de distance des droites est proportionnel au déplacement subi, dans le sens de leur longueur, par le point où l'on mesure cette • distance.

Expression approchée de quelques grandeurs infiniment petites.

516. L'étude d'un arc infiniment petit pris sur une courbe serait aussi difficile que celle d'un arc fini, et la variété des résultats, dissemblables avec les définitions particulières des courbes considérées, ne laisserait pas même entrevoir la possibilité d'une théorie générale, si dans le calcul des grandeurs à déterminer ou s'imposait l'obligation de ne rien négliger. On sait au contraire que dans le calcul d'une grandeur infiniment petite on peut, sans inconvénient, négliger une portion infiniment petite de sa valeur; lorsque par conséquent nous cherchons l'expression d'un infiniment petit du premier ordre, nous négligerons ceux du second; dans le calcul d'un infiniment petit du second ordre, on négligera ceux du troisième, et ainsi de suite. On peut d'ailleurs, dans le calcul d'une même grandeur, recourir successivement à ces divers degrés d'approximation. Après avoir calculé en effet la valeur approchée qui peut remplacer une grandeur infiniment petite d'un certain ordre, et que l'on nomme '^a partie principale , on peut se proposer d'évaluer l'erreur commise dans le premier résultat; elle est en général du second ordre, et dans son expression on négligera les infiniment petits du troisième ordre; mais, après l'avoir trouvée, on peut chercher une expression de l'erreur qui subsiste encore, et continuer indéfiniment en formant les termes successifs d'un développement indéfini qui seul représenterait exactement la quantité inconnue. C'est précisément là, nous l'avons vu (277}, ce que l'on fait en développant une fonction par le théorème de Taylor.

517. Différence entre un arc infiniment petit et sa corde — La différence entre un arc et sa corde est infiniment petite du troisième ordre; nous allons en chercher l'expression en négligeant les infiniment petits du quatrième ordre, ou, ce qui évidemment revient au même, former le premier terme de son développement en série

■ ordonnée suivant les puissances de l'arc.

Prenons pour axes de coordonnées la tangente et la normale à l'une des extrémités de l'arc considéré. En considérant la longueur s de l'arc comme variable indépendante,, dont les coordonnées x et y sont deux fonctions, on a, pour s — o,

! dy\ I ilx\

\ (.'s ) a \ ils j „

de plus, pour un point quelconque,

(lx\- /(tr\'

ds I \ ds I

on en déduit, en différentiant,

dx cl'' X dyd'r

ds ds- ds ds'

'd'xy^ fdyy dx d^ dyd'x

et si, dans ces équations qui ont lieu pour toute valeur de s, on fait s=;o, elles donnent, en ayant égard aux équations précédentes,

(d\ry (d'^\

\ds' ),~~ \ ds' ),' Rappelons enfin la formule

p' ~ V ds' / ■*" Ws' / '

qui, pour * = o, devient, en vertu des précédentes,

±(d^y^(d^\ p\ \ds'), \ds'),'

et ces équations permettent de résoudre facilement la question proposée et plusieurs autres analogues.

Le théorème de Maclaurin donne

«' s" (d'x\ 1.2 ' 6 \ds' ),

on

en

conclut

•^ ip. 4p.' "p2

les termes que l'on n'écrit pas contenant en facteur la cinquième puissance de s. En nommant c la corde de l'arc s, cette équation peut s'écrire

>'l par conséquent

iipî(s-^-c)

su PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

La somme s-hc peut évidemment être remplacée par 7s, et l'on a enfin, pour expression de la partie principale i\e s — c , ,

Hpl

On voit, comme cela est évident à priori, que pour une même longueur de l'arc, la différence avec la corde augmente avec la courbure.

518. Différence entre l'angle d'une corde avec la tangente el la moitié de V angle de contingence. — '^w. adoptant les notations du paragraphe précédent, l'angle forme

par la corde d'un arc avec l'axe desa;, qui le touche à son extrémité, a pour tangente - •

L'angle de contingence formé avec le même axe des x, par la tangente à l'autre

extrémité de l'arc, a pour tangente -r- -, la différence de deux angles infiniment

petits pouvant être remplacée par celle de leurs tangentes, la différence que nous voulons évaluer est

on a

dx X '

^ 6 \ ds' )

dy^

s^/dy\

"^2 l ds' j„

dx

S' ^■Pl

s s' ld^y\

Il suffit à notre but de conserver dans les développements les termes qui contiennent i^ en facteur; à ce degré d'approximation, les dénominateurs peuvent être remplacés par l'unité, et l'on a

dy s

dx Oa

'1 par conséquent

De l'équation DU déduit

dx X 6 yrfi' y,

/d'x\' (d'y-y I \ds' ) "*" ['d^j ~p''

d'x d'x d'rd'r I dp

HF ~dF "^ ~ds^ 'ds^ '~~ o''ds

it iMi faisant i = o, et ayant égard aux équations écrites plus liaut ,

\ds'j- pi\ds):

on a donc

dx \xl 6 pi \ ds )„

Tflle est la partie principale de la différence entre la tangente de l'angle de contingence elle double de la tangente de l'angle formé par la corde avec la tangente. On peut évidemment remplacer les tangentes par les angles, et le problème est par con- -i(juent résolu. Lorsque la courbe est un cercle, le rayon de courbure étant constant, -r- est nul et la différence se réduit à zéro, colnnie cela doit être.

L'angle de contingence étant rigoureusement égal à la somme des angles formés par la corde avec les tangentes extrêmes, son excès sur le double de l'un d'eux est ' ;;al à la différence de ces deux-ci, et par conséquent

— il ii£' epAdi

représente la différence des angles formés par la corde de l'arc î avec les tangentes

■■< ses extrémités. Lorsque -.- est positif, l'angle de contingence est moindre que le

double de celui des deux angles qui a son sommet à l'extrémité prise pour origine de l'arc, et qui est par conséquent le plus grand des deux.

Différence des tangentes menées aux extrémités d'un arc et terminées

à /eur point de rencontre.

519. Soient AT et BT les tangentes aux extrémités d'un arc infini ment petit AB, <jue

nous nommerons s. Nous voulons évaluer la différence AT — BT, qui évidemment est

infiniment petite de second ordre. Le triangle ABT donne

AT sin B

BT sin A

.-r n-r • l> • * 2 sil) - ( B — A ) COS - ( A + B )

AT — Bl sin B— sin A 2^ 2^

BT

sin A

sin A

On peut évidemment, dans le premier membre de cette équation, remplacer le dénominateur BT par -s, et dans le second, le facteur cos - (A+B), par l'unité, etledé-

nominateur sin A, par A, puis par la moitié de l'angle de contingence -> et enfin

sin

» par - (B — A) ; on a ainsi

a(AT — BT) (B — A)p s ~ s

4' dp

AT — BT=£(B — A)= —

2 ' \7.p as

520 . Différence entre les deux segments formés par une normale sur la corde infiniment petite qui lui est perpendiculaire.

Soient AB un arc infiniment petit, et OX celle de ses tangentes qui est parallèle à l'a corde AB,

Prenons cette droite OX pour axe des X, et la perpendiculaire OY pour axe des Y; l'arc s étant compté à partir de l'origine 0, les coordonnées x, y de son extrémité sont données, comme dans les paragraphes précédents, parles formules

^^ 2^"^6 \dF

Soient 5, ets^ les longueurs des arcsOA et OB, la formule (2) doit donner la même

valeur pour y quand on y fait 5 = *, , 5 = — *2 ; on a donc

Do ti \ (/.s' / 0 2 po 6 \ (/*' / „

OU, en transposant et divisant ensuite les deux membres par {s^ +5.,

(«, — 5,) (4? — *,«,+«;) /rf»J^