p« 6 \ds
La différence *,— *-i étant, d'après cette formule même, infiniment petite par rapport à chacun des deux arcs, on peut remplacer dans le second membre {s^ —-SiS.-h s]} par $1 , et l'on a par conséquent
Maison a trouvé (518) (-77) = ~j (^) • P'^'' conséquent enfin
3 p, \ds /«
.Si l'axe des Y perce la corde AB au point I, on a, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre,
i, = BI, s, = AI;
~ 3p, \ds ),
Telle est l'expression de la différence AI — BI, en.négligeant les infiniment petits du troisièriie ordre.
521 . Distance d'une courbe à son cercle de courbure. — En rapportant une courl)e ;i la tangente et à la normale en un de ses points, que l'on prend en même temps pour origine des arcs, nous avons trouvé pour les coordonnées d'un point, les séries
X=ZS — TT-î +. . . ,
6 pi
'-À étant égal (518) à — -î- ( t^ ) . il est nul si la courbe considérée est uu cercle,
et par conséquent, en rapportant à leur tangeiilo commune une courbe quelconque •'1 son cercle de courbure, on aura, pour la courbe,
f^ £^ /dp\
et |)Our le cercle
les termes non écrits étant de part et d'autre d'un ordre supérieur au troisième. Il résulte de la que la différence des ordonnées correspondantes à une même valeur
de s est du troisième ordre et égale à — -^-^ [-f) ; la formule
montre d'ailleurs que la différence des abscisses est tout au plus du quatrième ordre, et que, par conséquent, si l'on néglige les infiniment petits du quatrième ordre, il est permis de considérer les deux ordonnées comme répondant à une même abscisse. La formule
«i p J \ (/« / 0 6 \ ds
exprime donc la distance de l'extrémité de l'arc s au cercle de courbure correspondant à l'autre extrémité, cette distance étant comptée perpendiculairement à la tangente commune de la courbe et du cercle, et pouvant évidemment être remplacée par la distance comptée normalement au cercle qui n'en diffère que d'une portion infiniment petite de cliacune d'elles.
Théorie des développées .
522. Lorsqu'une courbe a pour tangentes les normales d'une autre courbe, on dit qu'elle en est la développée. D'après cette définition, une courbe donnée a toujours une développée et ne peut en avoir qu'une seule, qui est (104) le lieu des intersections de chaque normale avec la normale infiniment voisine, et par conséquent le lieu des centres de courbure de la courbe donnée, laquelle, considérée par rapport à sa développée, porte le nom de développante . La développée d'une courbe fait connaître tous les rayons de courbure de celle-ci, car chacun d'eux est égal évidemment à la portion de normale comprise entre la courbe et le point où elle touche la développée. On voit ainsi comment la théorie des développées, créée par Huygliens indépendamment de la considération des rayons de courbure, est intimement liée cependant au sujet de ce chapitre, et doit naturellement y trouver place.
L'équation d'une courbe étant donnée, la théorie des enveloppes permet d'obtenir celle de la développée : ^ et u désignant en effet les coordonnées d'un point de
la normale au point de la courbe dont les coordonnées sont x et y, on a
y et y; sont, dans celte équation, des fonctions données de x; pour avoir l'enveloppe des droites qu'elle représente, il faut éliminer cette variable entre l'équation ' r et sa dérivée par rapport à x,
vêtant considéré dans les équations (i) et (a) comme une fonction de .r déiinie par l'équation de la courbe, l'opération algébrique qui donnera l'équation de la développée consiste évidemment à éliminer x ol y entre les é(]uations (i) et (2), et
colle de la courbe donnée, après avoir, bien entendu, remplacé -j- et -r-^ parleurs
valeurs en x et j.
523. Le nom de développées donné aux courbes qui nous occupent rappelle une propriété importante déjà démontrée (22) et que nous allons démontrer de nouveau en la déduisant des formules précédentes.
iJarc de développée est la différence des rayons de courbure aux points extrêmes de l'arc correspondant de la développante.
Soit, en effets
l'équation du cercle de courbure en un point d'une courbe : dilférentions cette équation en considérant a, /3, R comme variables, et xGiy comme les coordonnées, variables aussi, du point de contact de la courbe avec le cercle. On aura
(2) [x- — y.){dx-dot) + [y—<^){dy—di^)—\K<l\\.
Différenlions actuellement l'équation (1) en y considérant a, j'5, U comme confiants, r/.r et r/j se rapportant au déplacement infiniment petit effectué sur le cercle I onsidéré comme fixe; on aura
>) • (x — x)dx -ir[y — jâ)f/y = o.
J>a comparaison des équations (2) et (3) va nous fournir ladémonstraliondutliéoreini' énoncé; mais il est utile de nous arrêter sur la signification de cliacune d'elles, en indiquant avec plus de précision le sens que l'on doit attacher aux différentielles (|ui y figurent. L'équation (i) a lieu pour un point quelconque de l'un (|uel- « on(|ne des cercles osculateors. x et j y sont variables, et 7, /3, R constants, quand
on reste sur le même cercle; c'est ce que nous avons supposé en obtenant l'équation (3). X, y, a, |3, R sont au contraire tous variables quand on passe d'un cercle au cercle voisin; mais, dans ce second cas, il y a deux variables indépendantes, et les rapports des différentielles ne sont déterminés que si l'on impose à a; et à j une condition nouvelle, comme celle de représenter constamment le point de contact du cercle et de la courbé. C'est dans cette seconde hypothèse qu'on a effectué la différentiation qui a fourni l'équation {•>.). D'après ces explications, dx et cfy sont les différentielles des coordonnées du point de contact de la courbe et du cercle osculateur, considéré, dans l'équation (2), comme se déplaçant sur la courbe, et, dans l'équation (3), comme se déplaçant sur le cercle; elles représentent dans les deux cas (47) le déplacement effectué sur la tangente commune, et sont par conséquent égales. La comparaison des équations (2) et (3) donne
(4) — (x — a)</«-(/— P)ûf(3=RrfR,
OU
dx+'—^d^ = — dR.
R, étant la distance des deux points dont les coordonnées sont respectivement x, y,
a, |3, les rapports — jt— ' ., représentent les cosinus des angles formés avec les
axes par la ligne qui joint ces deux points, qui est la normale à la courbe proposée, et par conséquent la tangente à la développée. En nommant o- l'arc de cette dernière
courbe, ces cosinus sont égaux à -^i -—--, et l'équation (5) devient
, da ,„ dS> ,..
d(j ^ da
c'est-à-dire, à cause de dot} + d^- = €10"^,
rf(7=: — dR,
ou enfin
et l'on en conclut
R + CT = constante.
Le rayon de courbure ajouté à l'arc a, dont l'origine reste indéterminée, forme donc une somme constante, et par conséquent l'arc compris entre deux points de la développée est égal à la différence des rayons de courbure qui correspondent à ces deux points.
524. Une courbe plane quelconque peut être engendrée par l'extrémité d'un fil
enroulé sur sa développée, et qui se déroule en conservant l'autre extrémité fixe. Soit en effet la courbe PP'P"P", et sa développée AA' A" A". Supposons un fil dont une
extrémité soit fixée en A'", et qui, enroulé d'abord sur l'arc A" A" A' A, se dirige, à partir de A, suivant la tangente à la développée pour se terminer en P sur la développante. Si ce fil se développe sans changer de longueur, de telle sorte que, quand la partie enroulée diminue, la partie rectiligne augmente d'autant, leur somme restant constante, la partie courbe étant égale à l'arc que nous appelions cr, la partie rectiligne sera constamment égale au rayon de courbure R, et par conséquent l'extrémité du fil parcourra la courbe PP'P", dont A A' A" est la développée.
525. Cette manière de tracer la développante &u moyen de la développée, montre clairement pourquoi le cercle osculateur traverse en général la courbe au point oîi il la touche.
Reprenons en cflet la figure précédente et considérons trois positions voisines du fil, dont l'extrémité décrit la courbe PP'P"; on a, d'après la définition même du mouvement du fil,
AA -t-AP = A'P',
A'P' est par conséquent plus long que la distance rectiligne du point A' au point P, • n sorte que ce point est en dedans du cercle décrit de A' comme centre, avec A' F pour rayon. On a aussi
Mais A"P" est plus petit que A'F augmenté de A' A' ; donc A'F est plus grand que A'F, et le point P" est en dehors du cercle décrit de" A' comme centre avec
A'P' cdiiime rayon. Or ce cercle est précisément le cercle osculateur de la courbe PP'P" au point P'; puisqu'il a le point P dans son intérieur, et le point P" hors de la circonférence, il traverse évidemment cette courbe, ainsi que nous l'avions déjà reconnu (496).
526. On conclut du théorème précédent que toute courbe dont la courbure est constante est un cercle. L'arc de développée étant égal en effet à la différence des rayons de courbure qui correspondent à ses points extrêmes, il est constamment égal k zéro, lorsque le rayon de courbure est constant; la développée se réduit donc à un point, et il en résulte évidemment que la courbe est un cercle.
Quelques exemples de développées .
