RS — PQ

- = lu lu mais

</5!, da,

PQ=^, QS = ^' II, lit

donc enfin

RS-QPj

p= (QP)(QS)' ■

la courbure de l'arc QP est égale à la différence des côtés opposés du rectangle PQRS, divisée par la surface du rectangle.

558. Cherchons ce que devient, dans le cas des courbes sphériques orthogonales, là relation trouvée (511) entre les dérivées des courbures de deux courbes qui se croisent en un même point. Les deux démonstrations que nous avons données (511) et (512) exigent l'une et l'autre de légères modifications, et. d'abord il faudrait, bien entendu, pour la première démonstration, substituer des coordonnées polaires aux coordonnées rectilignes; les modifications qu'il faut apporter à la seconde n'exigent au contraire que l'addition d'un terme dans la première des équations obtenues, sans qu'il y ait rien à changer ensuite dans les transformations ultérieures. C'est celle-là seulement que nous développerons.

Soit PQRS le rectangle infiniment petit formé par les courbes des deux systèmes

correspondant aux valeurs a,, a, -hcloc, du premier paramètre, et «j, a.,-i-da.. du second. Menons par les sommets P, Q, R, S, des arcs de grand cercle tangents aux côtés de ce rectangle; nous formerons un octogone sphérique, QOPIRO'SI', dont la

surface est mesurée par l'excès de la somme des angles sur douze angles droits; or, en nommant e,, s, -i- de, les angles de contingence des arcs PR, QS, et Sj, Sj-i-t/ej ceux des arcs PQ, RS, dans le cas supposé sur la figure, où les courbures sont toutes positives, on a, en désignant les angles de l'octogone par les lettres placées à leur sommet,

0' = t: — £: — lit,, 1'=^t: — e, — f/ s, ,

et par conséquent la surface de l'octogone est mesurée par

— de — de,,

l'unité de surface étant, comme on sait, le carré du rayon de la sphère pris par hypothèse pour unité de longueur. D'un autre côté, la différence entre l'octogone et le rectangle PQRS est tout au plus du troisième ordre (en réalité elle est du quatrième), et l'on peut la regarder comme égale au produit de ses deux dimensions PQ X PR : on a donc

mais on a

rfe + rfe. =— PQxPR;

donc