II
doc,
d I d oc,\ , , , h.
d l'dccA j , , A,
dx = P,Q, — PQ = ~ i^\^(i^^^do:,doc.
r/j= P,P, - PP, = -^ "^ rf^, = d^., .
dx, \ A, / 'doc,
da, \ h, J ' "' doL,
o>=QQ,-PP,= A(4fi),/a, = r/^,rfa,-^,
d'x = -. — [dx) dx, =:id(x', dxj —j-—' , d cxt ^ ' do.]
ôH-= J — (d }-)dx,^ dx,dx] -i—t' dot.1 dx\
En substituant dans l'équation (7) à A,, Aj, et à leurs dérivées, les valeurs déduites de ces formules, elle devient, après la suppression du dénominateur da.\ .da.^,
d-x d\y dx dy àxdy
c'est-à-dire,
(8) x-fd^x-^y'xà'y — x- dy dx — y- dyox = — x\)'~:.
J.es variables a,, a^, dont les accroissements ont déterminé la loi d'espacement des courbes qui forment les rectangles, étant arbitraires, cette loi est elle-même arbitraire; l'équation (8) exprime donc la loi la plus générale régissant les côtés des rectangles curvilignes infiniment petits, que l'on peut juxtaposer sur une sphère dont le rayon est pris pour unité.
Si l'on veut changer d'unité et représenter par R le rayon de la sphère, a;, j, dx, dy, d-x, d^y..., étant des lignes, doivent être divisées par R, et l'équation (8) devient
(9) x^yd'^x rr^y^xè'f — x-dydx — j=o}'oJ7= ~- •
Kn la comparant à l'équation qui convient (514) aux rectangles juxtaposés sur un plan, on voit qu'elles sont incompatibles et qu'il est impossible par conséquent que deux surfaces, l'une plane, l'autre sphérique, soient recouvertes par les mêmes rectangles infiniment petits.
On en conclut aisément qu'une carte géographique plane doit nécessairement altérer les rapports entre les longueurs des lignes tracées sur la sphère que l'on veut y représenter.
561 . L'équation (9) peut être aisément vérifiée dans le cas où les lignes de l'un des systèmes sont des grands cercles de la sphère. Deux lignes quelconques de l'autre système interceptent (553) sur les grands cercles auxquels elles sont nor-
males des longueurs égales; considérons, dans ce cas, trois rectangles contigus, dont les côtés figurent dans la formule, nous aurons
PQ = x, QH = j7 + ôx,
PP, =:j, dy = o, à'r = o, P,?, = r-hdr, P,Q, = jr-1-rf.r, P,Q, = x-\-idj:-{-d'x,
et l'équation (9) devient
10 x'rd'x — x*dydx = — ^ •
Soient l\ô la distance du point P à l'intersection des deux grands cercles, eidt^ l'angle qu'ils font entre eux. On a évidemment
x=: R sin ôrfJ/, et en remarquant (|ue la différ^Mitielle rf se rapporte à la seule variation de 0,
y=hdO, dr—^d'O, dx=:ï{cos9d9d<^, d'xz= — Ks\i\0de'd^-^Rcos6d'ed<\>,
la substitution de ces valeurs rend l'équation (10) identique.
EXERCICES
1. Toute courbe sphérique dont la courbure géodésique est constante est un cerrlo.
2. La développante sphérique d'un petit cercle tracé sur une sphère est une hélice, c'esla-dire une courbe dont les tangentes forment un angle constant avec une droite fixe.
3. Si l'on nomme 9 la distance d'un point d'une courbe sphérique à un pôle fixe situé sur la sphère, et p la distance de ce pôle à l'arc de grand cercle tangent, la courbure géodési(|ue est exprimée par la formule
p sin O.dO
4. En nommant ellipse sphérique la courbe tracée sur la sphère, et telle, que la sonmie des dislances de chacun de ses points à deux points fixes soit constante, l'arc de grand cercle tangent à l'ellipse sphérique forme en chaque point des angles égaux avec les ra>ons vecteurs issus des foyers, et la courbure géodésique est proportionnelle au cube du sinus de ces angles.
5. La loxodromie est une courbe tracée sur la sphère, el qui coupe les méridiens issus d un même point sous un angle constant; la courbure géodésique en chaque point est exprimée par la formule
I sin V
p tang Ô
V étant Tàngle constant formé parla loxodromie avec les méridiens, et 5 la distance du point considéré au pôle par lequel passent tous les méridiens.
