CHAPITRE III

PLAN OSCULATEUR D'LTsE COURBE A DOUBLE COURBURE.

Définition du plan osculateur.

562. Une ligne dont tous les points ne sont pas situés dans un mémo plan se nomme courbe à double courbure; elle a, en chaque point, une tangente qui, dans le voisinage du point de contact, s'en écarte infiniment moins que toute autre droite partant du même point. En portant son attention sur cette propriété caracléristi(ine de la tangente, on est conduit à se demander si, parmi tous les plans (|ni passent par un point donné d'une courbe, il en est un qui s'écarte d'elle intiuiuieiit moins que tous les autres. Ce plan existe toujours; on le nomme plan osculaleur de la courbe au point considéré.

Soient en effet M un point quelconque d'une courbe à double courbure, et M' un point infiniment voisin pris sur la même courbe. Si nous regardons MM' comme infiniment petit du premier ordre, il est aisé de voir que la distance du point M' ;i tout |)lan passant par le point .M, et qui ne contient pas la tangente, est infiniment petite du premier ordre. Un tel plan forme en effet avec MM' un angle fini, et sa dislance au point M', égale au produit de MM' par le sinus de cet angle fini, est évidemment de même ordre que MIM'.

Lorsque le plan considéré contient la tangente MT en M, il forme avec MM' un angle infiniment petit, et sa distance au point M' est infiniment petite par rapport

a MM', et elle est, en général, du second ordre; on sait en effet { 10^ que la distance du point M' à la tangente MT est du second ordre, et la distance du même point M' a un |)lan passant par MT est égale au produit de cette perpendiculaire M' P par le sinus de l'angle fornjé parle plan avec la ligne M'P; elle est donc du second ordre comme M'P, toutes les fois (jue le plan considéré forme avec cette ligne un angle, fini, et pour qu'elle soit d'un ordre supérieur au second, il faut (|ue le plan forme avec .M'P un angle infiniment petit, et qu'il soit, par consécjuent, la limite du plan passant par la tangente .MT et par le point M'.

Le plan osculateur en un point M est, d'après ce qui précède, la limite du plan (jui passe par la tangente en M, et par un point M' de la courbe, infiniment voisin de M. On peut dire plus brièvement et tout aussi correctement : le plan osculateur d'une courbe, en un point, est le plan qui passe par la tangente et par le point infiniment voisin de la courbe. Un point infiniment voisin de M est, en effet (13), un point mobile qui se rapproche indéfiniment du point M, et le plan qui le contient est la limite du plan qui passe par un point de plus en plus rapproché.

563. Le plan osculateur en un point d'une courbe peut être considéré comme la limite du plan mené par la tangente en ce point, parallèlement à la tangente infiniment voisine.

Pour démontrer l'accord de cette définition avec la précédente, projetons la courbe sur un plan perpendiculaire à la tangente au point considéré M: soient P la

projection du point M, P' celle du point M'. La trace du plan mené par la tangente en M et par le point M' est PP', celle du plan mené par MP parallèlement à la tangente en M' passe par le point P, et est parallèle à la projection de cette tangente, c'est-à-dire à la tangente de la courbe PP' au point P' ; ces deux traces ont évidemment pour limite commune la tangente en P à la courbe PP', et les deux définitions du plan osculateur sont par conséquent d'accord.

La démonstration précédente pourrait conduire, très-naturellement, à une conséquence inexacte qu'il importe de signaler, pour montrer avec quelle réserve on doit procéder dans l'étude des questions relatives à l'ordre des infiniment petits. L'arc MM' de la figure précédente étant considéré comme du premier ordre, l'arc PP' de là projection est du second ordre, et comme, en général, la distance de l'extrémité d'un arc infiniment petit à la tangente menée par l'autre extrémité est de même ordre que le carré de cet arc, la distance du point P' à la tangente en P de la courbe PP' semble devoir être du quatrième ordre. Cette distance étant évidemment .celle du point M' au plan osculateur en M, nous sommes conduits à admettre que le plan osculateur en un point M est à distance infiniment petite du quatrième ordre du point M' infiniment voisin de M et situé sur la courbe; mais cette conclusion est inexacte, la distance du point M' au plan osculateur en M est du troisième ordre

seulement, comme il sera démontré plus loin. Le raisonnement qui lui assigne une valeur du quatrième ordre manque de rigueur, parce qu'on applique au point P de la courbe PP' la règle générale relative à un point quelconque d'une courbe, tandis que ce point est un point singulier où la courbe présente évidemment un rebroussement et a une courbure infinie.

564. En ne tenant pas compte de la possibilité des cas exceptionnels, on serait également conduit par la figure précédente à une conclusion erronée, relativement à la distance de deux tangentes infiniment voisines.

La plus courte distance. des tangentes en M et en M' est égale en effet à la distance du point P à la tangente en P' de la courbe PP'. Cette distance semble devoir être de même ordre que le carré de PP', c'est-à-dire du quatrième ordre. Il n'en est rien pourtant; elle est, ainsi que nous le verrons, du troisième ordre, et le raisonnement manque de rigueur, comme le précédent, parce que le point P est dans la courbe PP' un point singulier où la courbure est infinie. ,

565. On définit quelquefois le plan osculateur d'une courbe comme contenant trois points infiniment voisins de la courbe. Nous allons montrer l'accord de cette définition avec les deux précédentes.

Soient M, M', M" trois points infiniment voisins d'une courbe, dont nous regarderons les distances comme des infiniment petits du premier ordre; il faut prouver

que le plan qui passe par ces trois points a même limite que celui qui contient la tangente Wï en M, et le point M'. Les deux plans se coupent en effet suivant MM', et s'ils formaient un angle fini, le point M" étant situé sur l'un d'eux h distance infiniment petite du second ordre de l'intersection, serait à distance infiniment |)etite du second ordre de l'autre; or, c'est ce qui n'a pas lieu, car la distance du |)()intM"au plan osculateur en M est d'ordre supérieur au second, et si l'on fait tourner ce plan osculateur d'un angle infiniment petit autour de MT, pour le faire coincider avec TMM', la variation de la distance à M" est évidemment d'ordre supérieur au second. Il est donc impossible que les plans T.MM', MM'M" forment un angle fini ; ils se confondent par conséquent à la limite.

566. Lorsque, dans l'étude d'une figure, on veut porter son attention sur les directions des lignes droites qui s'y trouvent, sans avoir égard à leur position absolue dans l'espace, il est commode de leur substituer des parallèles menées |»ar un

point arbitraire de l'espace; pour étudier le faisceau formé par ces parallèles, on peut ensuite les couper par une sphère de rayon unité, ayant son sommet pour centre; à chaque direction correspond de cette manière un point de la sphère. Les droites parallèles à un même plan correspondent aux divers points d'un grand cercle que l'on peut considérer comme représentant ce plan, en même temps, bien entendu, que tout autre plan parallèle.

Si l'on applique ce mode de représentation, souvent adopté parGauss, aux tangentes d'une courbe à double courbure, chacune d'elles sera représentée sur la sphère par un point, et la courbe continue, lieu de ces points, a été nommée par M. Paul Serret l'indicatrice sphérique de la proposée.

L'indicatrice sphérique faisant connaître les directions des tangentes, sans rien apprendre sur leur position absolue, elle ne suffit pas pour déterminer la courbe qui lui correspond. Ainsi, par exemple, si l'indicatrice sphérique d'une courbe est un grand cercle, la courbe correspondante est une courbe plane quelconque ayant son plan parallèle à celui de ce grand cercle. La considération de l'indicatrice est par conséquent insuffisante à l'étude complète d'une courbe, mais elle peut, comme nous allons en donner des exemples, simplifier notablement la démonstration de plusieurs théorèmes importants.

Il est facile devoir, d'abord, que l'indicatrice sphérique d'une courbe peut servir à déterminer les plans osculateurs de celle-ci. Le plan osculateur est, en effet, la limite du plan parallèle à deux tangentes infiniment voisines, et celui-ci étant, évidemment, parallèle au plan du grand cercle qui réunit les points de l'indicatrice correspondant à ces tangentes, il a pour limite un plan parallèle à celui du grand cercle tangent à l'indicatrice sphérique.

Les plans osculateurs d'une courbe sont donc parallèles aux plans des grands cercles tangents à l'indicatrice sphérique.

L'angle de deux plans osculateurs menés en des points infiniment voisins est, d'après cela, la courbure de l'arc infiniment petit d'indicatrice sphérique correspondant (545). On en conclut qu'en négligeant les infiniment petits du second ordre, cet angle est double de l'angle formé par l'un des plans osculateurs avec le plan mené par l'une des tangentes et parallèlement à l'autre.

Soit, en effet, PP' un arc infiniment petit d'indicatrice sphérique, le grand cercle PP' qui lui sert de corde a son plan parallèle aux deux tangentes de la proposée qui correspondent aux points P et P', et les angles qu'il forme avec les grands cercles tangents en P et en P' sont (548) moitiés de Tangle formé par ces deux grands cercles.

567. Le plan osculateur d'une courbe forme avec la tangente au point infiniment voisin, un angle infiniment petit du second ordre.

La considération de l'indicatrice sphérique rend ce tliéorème pour ainsi dire évident. L'angle d'une droite et d'un plan est en effet la distance du point de la sphère qui représente la droite, au grand cercle qui représente le plan, et le théorème énoncé revient à dire, par conséquent, que le grand cercle tangent en un point de l'indicatrice sphérique est à distance infiniment petite du second ordre du point infiniment voisin de l'indicatrice.

568. Il résulte évidemment du théorème précédent que l'intersection d'un plan osculateur avec une tangente infiniment voisine est, à la limite, le point de contact de la tangente; considérons, en effet, le plan osculateur en un point M, et la tangente au point M' infiniment voisine de M; MM' étant du premier ordre, la distance M'P du point M' au plan osculateur en M est un infiniment petit d'ordre supérieur au second. Or en nommant ô l'angle de cette tangente avec le plan oscu-

lateur,la distance au point M', de son-intersection avec ce plan, est égaleà t^— ^' f*»

par conséquent, infiniment petite, puisque 0 est du second ordre.

569. La tangente d'une courbe à double courbure est la limite de l'intersection de deux plans osculateurs infiniment voisins.

Chaque plan osculateur étant en effet représenté sur la sphèr(! par un grand cercle tangent à l'indicatrice sphérique, l'intersection de deux plans osculateurs infiniment voisins est représentée par l'intersection de deux grands cercles tangents en deux points infiniment voisins de l'indicatrice, c'est-à-dire, à la limite, par le point même de l'indicatrice. L'intersection des deux plans osculateurs a donc pour direction limite celle de la tangente de la courbe, et comme elle passe par le |)oint d'intersection de l'un des plans avec la tangente contenue dans l'autre, qui d'après le paragraphe précédent se confond à la limite avec le point de contact de celle-ci, la tangente et l'intersection limite des plans osculateurs, sont des droites parallèles qui ont un point commun, et qui, par conséquent, se confondent.

570. Chaque point d'une courbe à double courbure est la limite de l'intersection de trois plans osculateurs infiniment voisins.

Il semble, au premier abord, que ce théorème peut être considéré comme une conséquence immédiate des deux précédents.

L'intersection de trois plans osculateurs infiniment voisins peut être en clfet considérée comme l'intersection de l'un d'entre (!ux avec la droite d'intersection des deux autres, qui (569) est une tangente à la courbe, et dont l'intersection avec le plan osculateur voisin se confond, à la limite, avec son point de contact.

Mais un tel raisonnement manque absolument de rigueur.

L'intersection de deux plans osculateurs n'est pas, en effet, une tangente à la I. 76

courbe, mais une droite qui a pour limite la tangente; lors donc que, dans le raisonnement précédent, nous considérons l'intersection de deux plans osculateurs comme tangente à la courbe, nous la remplaçons par sa limite, en lui faisant subir un déplacement infiniment petit. Or quand il s'agit de déterminer l'intersection de deu\ droites infiniment voisines, un changement infiniment petit dans la position de l'une d'elles peut déplacer d'une quantité finie, ou quelquefois même faire disparaître entièrement son intersection avec l'autre.

Il faut donc démontrer directement que l'intersection de trois plans osculateurs infiniment voisins est un point de la courbe.

La considération de l'indicatrice sphérique montre, tout d'abord, que l'intersection de deux d'entre eux forme avec le troisième un angle infiniment petit du second ordre. Cela revient à dire, en effet, que trois grands cercles touchant l'indicatrice sphérique en des points infiniment voisins, l'intersection de deux d'entre eux est à distance infiniment petite du second ordre du troisième.

Lorsqu'une droite forme avec un plan un angle infiniment petit du second ordre, un point de cette droite dont la distance au plan est infiniment petit d'ordre supérieur au second est, nécessairement, à une distance infiniment petite de l'intersection de la droite et du plan. Or le point commun aux trois plans osculateurs est l'intersection du troisième de ces plans avec la droite suivant laquelle se coupent les deux premiers; si donc nous trouvons sur cette droite un point dont la distance au troisième plan osculateur soit infiniment petite du troisième ordre, il sera infiniment voisin du point commun aux trois plans osculateurs avec lequel il se confondra à la limite. L'intersection du premier plan osculateur avec la tangente contenue dans le second est précisément un point qui remplit cette condition. Il appartient en effet à l'intersection des deux premiers plans osculateurs, et la distance au troisième est un infiniment petit d'ordre supérieur au second, parce que ce point est situé sur la tangente qui le contient à distance infiniment petite du point de contact, et par conséquent aussi à une distance infiniment petite de son intersection avec le troisième plan osculateur qui forme avec elle un angle infiniment petit du second ordre. Ce point, qui se confond à la limite avec l'intersection des trois plans osculateurs, se confond aussi, évidemment, avec le point où ils touchent la courbe, et la coïncidence de ces points, à la limite, se trouve ainsi démontrée.

Surface enveloppe des plans oscillateurs.

571. Les plans osculateurs d'une courbe. à double courbure enveloppent une surface développable qui est le lieu de leurs intersections successives, et comme, d'après les théorèmes précédents,, l'intersection de deux plans osculateurs infini-

ment voisins est une tangente, nous pouvons conclure que le lieu des tangentes à une courbe à double courbure est une surface développable, dont les plans tangents sont les plans osculateurs de celle-ci. y

Lorsque des droites se succèdent dans l'espace suivant une loi continue, elles forment en général une surface réglée qui n'est pas développable, et dont le plan tangent n'est pas le même tout le long d'une génératrice. Il résulte de ce qui précède que de telles droites ne sont pas, en général, tangentes à une même courbe, et n'ont pas de courbe enveloppe. Il y a donc une condition nécessaire pour que des droites qui se succèdent suivant une loi donnée soient tangentes à une même courbe, et nous devons étudier cette condition qui est de grande importance.

La géométrie nous apprend, tout d'abord, que si des droites sont tangentes à une même courbe, la plus courte distance de cbacune d'elles à la droite infiniment voisine est un infiniment petit d'ordre supérieur au premier, l'infiniment petit du premier ordre étant, bien entendu, la variation du paramètre dont la valeur définit cbaque droite.

Si, en effet, les droites sont tangentes à une même courbe, le point de contact de l'une d'elles avec la courbe a, pour cbaque valeur de paramètre en question, une position déterminée. La distance de deux points de contact infiniment voisins est donc de même ordre (4) que la différence des paramètres correspondants, c'est-à-dire du premier ordre, et la plus courte distance de deux tangentes, plus petite que la distance de l'une d'elles au point de contact de l'autre, est, évidemment, infiniment petite par rapport à la distance de leurs points de contact, et, par conséquent, d'ordre i5upérieur au premier.

Réciproquement, pour que des droites soient tangentes à une même courbe, il suffit que la plus courte distance de cbacune d'elles à la droite infiniment voisine soit un infiniment petit d'ordre supérieur au premier. (Considérons, en effet, sur chaque droite, le point où se mesurer sa plus courte distance avec la droite intininient voisine: le lieu de ces points est une courbe, et la dislance de deux d'entre eux, OetO', situés sur des droites infiniment voisines, A et A', est de même ordre (4) que la différence des paramètres relatifs à ces droites, c'est-à-dire du premier, dette distance est par conséquent infiniment grande par rapport à la perpendiculaire abaissée de l'un de ces points sur la droite (|ui passe par l'autre, car, par hypothèse, cette perpendiculaire mesure la plus courte distance qui est infiniment petite d'ordre supérieur au premier. Il en résulte que la droite 00' forme des angles infiniment petits avec chacune des droites A et A', et ces droites sont, par conséquent, tangentes à la courbe lieu des points 0 et 0'.

572. Lorsque des droites sont données par leurs équations, on peut exprimer facilement, sans faire intervenir l'expression de leur plus courte distance, qu'elles

sont tangentes à une même courbe.

604 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL niFFÉRENTIEL.

Soient

X = az -{- p,

X = bz-+-q

les équations d'une droite mobile, a, b, p, q étant des fonctions données d'un même paramètre a; si cette droite est constamment tangente à une courbe, les coordonnées du point de contact étant désignées par x, y, z-, devront satisfaire, nonseulement aux équations ( i ), mais encore a celles de la droite infiniment voisine, si l'on y néglige les infiniment petits d'ordre supérieur au second. Une tangente passe, en effet, à distance infiniment petite du second ordre du point de contact de la tangente infiniment voisine. On a donc

x = {a-{-da)z-+-p + dp, y = {b-+-db)z-\-q-hdq,

et par conséquent, à cause des équations (i),

o =: zda ■+- dp, (3)

o = zdb -+- dq.

Il semble que les équations*(3), d'après la manière dont elles sont démontrées, ne doivent être satisfaites qu'à la condition de négliger les infiniment petits d'ordre supérieur au premier, mais cela ne peut avoir lieu sans qu'elles soient rigoureusement exactes, a, b, p, q, étant, en effet, des fonctions du paramètre a, da, db, dp, dq, sont proportionnels à da, et, en supprimant ce facteur, on obtiendra des équations entre quantités finies dont les deux membres ne peuvent différer infiniment peu sans être rigoureusement égaux.

Les équations (3), pour être compatibles, exigent

(4) da dp

^^' db dq

Si cette condition est remplie, on peut satisfaire aux équations (i) et (3), et trouver, sur chaque droite, un point dont la distance à la. droite voisine soit infiniment petite d'ordre supérieur au premier. Le lieu de ces points est évidemment une courbe tangente à toutes les droites données.

573. Il suffit, d'après ce qui précède, que, dans un système de droites, la plus courte distance de deux droites voisines soit infiniment petite d'ordre supérieur au premier, pour que les droites soient tangentes à une même courbe; mais on doit à M. Bouquet la remarque curieuse que cette plus courte distance est toujours précisément du troisième ordre, et qu'il est impossible qu'elle soit du second.

Les équations de deux droites voisines étant, en effet,

X =z az -i- p, •

r=bz-hq,

x = (a-\-Aa)z+p-+-àp, X = (b + Ab)z-hq + \q,

leur plus courte distance est, d'après les formules de la géométrie analytique,

Aaù^q — AbAp

^(Aay + {Aby-i-{aAq — bàpy

le dénominateur est toujours du premier ordre, le numérateur, en général, du second, et par conséquent la plus courte distance est, en général, ilu premier ordre, et il n'existe pas de courbe à laquelle soient tangentes les droites données.

Mais le numérateur de la plus courte distance peut, dans certains cas, être infiniment petit d'ordre supérieur au premier, et les droites sont alors tangentes à une même courbe. Nous allons prouver que, dans ce cas, il est précisément du quatrième ordre, et que, par suite, la plus courte distance est du troisième.

On a en effet (276)

Aa = </aH — d'a-i- r. d'a-h. . . , • a h

Ab = db + -d'b+^d'b-h..., 2 6

Ap=^dp-i-^d^p-^'^d'p^...,

Aq = dq -h - d'q -{- ^d'q -{-... , et par conséquent, •

AaAq — AbAp—{dadq — dbdp)-h -{d'adq-hd'qda — d'bdp — d'pdb)-h. . .,

les termes que l'on n'écrit pas étant d'ordre supérieur au troisième; or il est clair que le second terme du second membre est la différentielle du premier. Si donc iilui-ci est nul, l'autre l'est également, et il ne reste dans l'expression du premier membre que des termes du quatrième ordre au moins. Il est aisé de prouver en outre que le terme du quatrième ordre ne disparait jamais, si ce n'est dans le cas des courbes planes, où la plus courte dislance de dcu\ l;mirentes est rigoureusement nulle; les termes du quatrième ordre .sont, en effet,

p {d'adq -+- d'qda — d'bdp — d'pdb) -\~ y {d'ad'q — d'bd'p).

(m PREMIÈUE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Supposons que leur somme soit égale à zéro; on a, par hypothèse,

(2) d'adq-hd''q(ia — d^b(lp^d'pdb = o, qui donne par la différentiation,

(3) d'adq+d'qda — d'bdp — d'pdh = y.d'bd'p — 2d^ad-q.

D'après cela, la condition pour que la somme des termes du quatrième ordre soit nulle est

d'ad-q — d'bd'p=:=o, ou

Cette équation exprime que la courbe est plane. Les équations (3) (572) donnent en effet par la différentiation

«?'/>=:: — zd^a — dadz, d'q = — zd'b — dbdz,

et l'équation (4) devient ainsi

d'a d'b da db •ou

d.lda=^dldb,

Ida et Idb ont par conséquent une différence constante, et le rapport -tt est constant. En le désignant par k, on a

da = hdb , donc

(5) a:=hh^l,

i étant une constante.

Cette équation exprime que les droites sont parallèles à un même plan, et il est clair qu'elles ne peuvent alors être tangentes à une courbe que si elles sont situées dans un seul et même plan. C'.est ce que l'on peut d'ailleurs prouver analytiquement en remarquant que dx, dyeldz sont proportionnels à a, è et 1, et que l'on a par conséquent

(6) dx = l,dx-hldz, d'où l'on déduit

(7) x = kr-hlz-^-'S,

LIVBE TROlSIÈiMK. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 607

N' désignant une constante. L'équation (7) représente un plan dans lequel est située la courbe, lieu des points a;, v, z.

Équation du plan osculateur.

571. Les équations d'une courbe étant connues, il est facile de trouver celle du plan osculateur en un de ses points. Soient ^,y, z, les coordonnées du point considéré; t, u, V, celles d'un point quelconque du plan osculateur: celui-ci, passant par l(i point w, y, z, a une équation de la forme

(i) \{t — x)-^li{u—x) + C(v — z)=^o.

Pour déterminer A, B, C, exprimons que la distance de ce plan au point M' de la courbe infiniment voisin de M, est un infiniment petit du troisième ordre; en nommant x + Ax, jK+Av, z-f-Az les coordonnées de ce point M', sa distance au plan a pour expression

AAx ■+- BAr-^ CAz

et comme A, B, C sont des quantités finies, il suffit d'exprimer que le numérateur est nul quand on néglige les infiniment petits d'ordre supérieur au second. On a, dans cette hypothèse (276),

A;r = dx-\ — (i'x, (2) àx = dr-{-^d'y;

Az = dz-h - li'z.

On doit donc avoir, pour que les termes du premier ordre disparaissent, i'i) \dx-{-Bdx-h(]dz=;^o,

et pour qu'il en soit de même de ceux du second, (4) \d'x-hïidy-^Cd'zz=o.

On déduit des équations (3) et (4)

^ ' dyd'Z — dzd'x dzd'x—dxd'z dxd^r — dyd'x

A, B, ('■ peuvent être remplacés dans l'équation (1) par les expressions auxquelles

ils sont proportionnels, et l'équation du plan osculateur est, par conséquent,

(6) (l — x){drd'z — dzd\r)-h{n — r){clzd'x — dx(l'z) + ii' — z)i,(lx(l'y—(lrd'x) = (,.

Le choix de la variable indépendante, qui reste arbitraire, exerce évidemment une influence sur les termes de cette formule, mais sans rien changer toutefois au résultatjinal.

575. Pour donner une application de la formule précédente, nous chercherons le plan osculateur de l'arête de rebroussement d'une surface devcloppable donnée : nous savons (571 ) que ce plan est précisément le plan tangent de la surface, et ce résultat connu, obtenu de nouveau à l'aide de nos formules, leur servira de confirmation.

Soit (") xo{ûc) + r^(ix)-\- z¥ {cx) = w{x)

l'équation d'un plan mobile dans laquelle a désigne un paramètre variable; la surface développable, enveloppe de ce plan, est représentée par l'équation (i) combinée avec sa dérivée par rapport à a,

(2) v^'ç ;r9'(a)-t-j^J;'{a)-|-zF'(a) = 7n'{a),

et l'arête de rebroussement de la surface par les deux équations fi) et k; auxquelles on adjoint l'équation

(3) x(p"(«)+j|"(a) + zF"(=«) = tD"(«),

dérivée de la seconde par rapport à a.

Pour trouver le plan osculateur de la courbe représentée par les équations (i), (a), (3), il faut déduire de ces équations, dx, dy, dz, d^x, d-y, d'z, afin de les substituer dans l'équation du plan osculateur. En différentiant deux fois l'équation (i), les termes qui proviennent de la variation de a disparaissent à cause des équations (a) et (3), et l'on a

rfx 9 ( « ) -f- </?■'!' ( a ) + </s F ( « ) = o , d'x<f{ix}-\-d\r<^{'x) + d'z¥{a) = o;.

on en conclut

. dxd'x — dyd'x dyd'z — dz d'y dzd'x — dxd'z

FJV) ~' ?{«) "~ W) "'

et l'équation du plan osculateur est par conséquent

( < — ar) F ( a) -+- ( H — r) ?( a) -+- ( '' — 3 ) + ( «) = O'

c'est-à-dire à cause de (i),

/F(a) + H9(a) + i"|(a) = ro(3r):

c'est précisément ce que nous devions trouver.

576. Cherchons, pour seconde application, le plan oscuhUeur d'une hélice. Nous entendons par hélice une courbe tracée sur un cylindre et qui, dans le développement de celui-ci, se transforme en une ligne droite. Quelle que soit la section droite du cylindre, elle se transforme dans le développement en une ligne droite à laquelle toutes les génératrices sont perpendiculaires, et le point de départ de l'hélice étant pris sur cette section droite, les coordonnées de la transformée, comptées sur les génératrices, seront évidemment proportionnelles aux abscisses comptées sur la section droite, c'est-à-dire aux arcs de celle-ci, qui se terminent à- leur pied. Si donc on nomme s l'arc de section droite, et que les coordonnées x et y de ses points, par rapport à deux axes pris dans son plan, soient exprimées par les équations

en prenant l'axe des z parallèle aux génératrices du cylindre, et nommant z l'ordonnée du point de l'hélice projeté sur le point x,y de la section droite, on aura

( 2 ) z^ ms,

m étant une constante égale à la cotangente de l'angle sous lequel l'hélice coupe les génératrices. Les fonctions a» et tj> ne sont pas quelconques, on doit avoir

(3) (ix'-\-dr' — i/s',

et par conséquent

Si l'on prend s pour variable indépendante, les équations (i)el (a) permettent de former immédiatement les coefficients de l'équation du plan osculateur. On a

</x= ()>'(«) ds, dy = <if' {s)ds, dz = m ds ,

d'x = ^"{s)ds', d\r=Y{i)ds\ d'z = n,

et l'équation du plan osculateur est par conséquent, en supprimant le facteur e&',

Il est aisé de voir que ce plan contient la normale au cylindre et coupe par conséquent celui-ci à angle droit. La normale du cylindre est parallèle en effet à la normale correspondante de la section droite, et forme par conséquent avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à

— ^'(«), *'(«), et o;

les cosinus des angles formés avec les mêmes axes par la normale au plan représenté par l'équation (6), sont

et la condition de perpendicularité,

^'(.)|"(*) + 9'(.)cp"(.0=o,

est une conséquence évidente de l'équation (4)-

577. Des considérations géonTétriques conduisent aisément à la même conclusion. Les tangentes de l'hélice faisant un angle constant avec les génératrices du cylindre, leurs parallèles menées par un même point forment un cône de révolution, et l'indicatrice sphérique d'une hélice, quelle que soit la base du cylindre sur lequel elle est tracée, est un petit cercle de la sphère. Les plans osculateurs sont parallèles (566 y à ceux des grands cercles tangents à l'indicatrice, et par conséquent aux plans tangents du cône de révolution dont ce petit cercle est la base, et qui a pour sommet le centre de la sphère. Or le plan langent à un cône de révolution est perpendiculaire au plan méridien passant par l'axe du cône et par la génératrice correspondante, et par suite au plan passant par la génératrice du cylindre, parallèle à l'axe du cône, et par la tangente à l'hélice parallèle à la génératrice du cône, c'est-à-dire enfin, au plan tangent au cylindre; le plan osculateur, étant perpendiculaire au plan tangent du cylindre, contient la normale de celui-ci.