CHAPITRE IV
LES DEUX COURBURES DUNE COURBE. LE CERCLE OSCUL.\TEl R ET LA SPHÈRE OSCULATRICE.
Définition de la courbure.
578. La courbure d'un arc de courbe est l'angle des tangentes extrêmes. La courbure moyenne est le rapport de la courbure totale à la longueur de l'arc, et la courbure, en un point, est la courbure moyenne d'un arc infiniment petit compté sur la courbe à partir de ce point. Ces définitions sont absolument les mêmes que pour les courbes planes; on doit remarquer seulement que, dans le cas de la courbe à double courbure, les tangentes extrêmes d'un arc ne se rencontrent pas, et que leur angle est l'angle formé par deux droites parallèles à leurs directions et menées par un point quelconque de l'espace. L'angle infiniment petit de deux tangentes infiniment voisines se noninrc angle de contingence, comme dans le cas des courbes planes, et la courbure est le rapport de l'angle de contingence à l'arc infiniment petit qui lui correspond. L'angle étant un nombre abstrait, la courbure peut
être représentée par l'inverse d'une ligne - : cette ligne f est le rayon du cercledont
la courbure est égale à celle de la courbe au point considéré: on le nomme rayon de courbure.
.Î79. Lorsqu'une droite se déplace suivant une loi quelconque, et de telle manii're que chacune de ses positions corresponde à une valeur attribuée à un paramètre variable, l'angle de deux positions infiniment voisines (6) est de même ordre que la variation de ce paramètre. Si la droite considérée est la tangente à une courbe, les coordonnées du poini de contact peuvent évidemment s'exprimer en fonction du paramètre qui la détermine, et la distance de deux points de contact infiniment voisins est, par conséquent, de même ordre que les variations de ce paramètre. L'angle des tangentes et la distance de leurs points de contact sont, d'après cela, des infiniment petits di uiiiiic ordre, et la courbure, <|ui est leur rapport, a en chaque point une valeur finie. Les points pour lesquels elle est nulle ou infinie sont exceptionnels, et ne peuvent jamais former un arc continu. Une ligne dont la courbure est nulle en chaque point est droite, et il est impossible que la courbure soit infinie en chaque point d'une ligne sans que celle-ci se réduise à un point.
Définition de la seconde courbure.
580. Le rapport de l'angle de deux plans osculateurs infiniment voisins à l'arc qui sépare leurs points de contact se nomme seconde courbure d'une courbe à double courbure. De même que la première courbure indique le plus ou moins de différence avec la forme rectiligne, la seconde courbure indique, pour ainsi dire, par la variation plus ou moins rapide du plan osculateur, la rapidité avec laquelle la courbe s'éloigne d'être plane.
Lorsqu'un plan se déplace suivant une loi quelconque, et de telle manière (|ut' chacune de ses positions corresponde à une valeur attribuée à un paramètre variable, l'angle de deux positions infiniment voisines est de même ordre que la variation de ce paramètre. Ce théorème, démontré pour une droite (6), s'applique évidemment au plan qui lui est perpendiculaire, et dont deux positions quelconques font un angle égal à celui de leurs deux normales. Si le plan considéré est le plan osculateur à une courbe, les coordonnées du point de contact sont évidemment des fonctions déterminées du paramètre qui détermine le plan, et la distance de deux points de contact infiniment voisins est par conséquent de même ordre que la variation du paramètre. L'angle de deux plans osculateurs infiniment voisins est, d'après cela, de même ordre que la distance de leurs points de contact, et la seconde courbure a, en chaque point, une valeur finie. Les points pour lesquels elle est nulle ou infinie sont exceptionnels et ne peuvent former un arc continu que dans, le cas d'une courbe plane dont les plans osculateurs se confondent, ou d'une ligne droite pour laquelle ils sont indéterminés.
Rapport des deux courbures.
581. Le rapport des deux courbures d'une courbe en un point est égal à la courbure géodésique de l'indicatrice sphérique. Soient, en effet, M et M' deux points infiniment voisins d'une courbe à double courbure; P et P' les points correspondants de son indicatrice sphérique (566). L'arc PP' mesure l'angle de contingence formé par les tangentes aux points M et M'; les grands cercles qui touchent en P etP' l'indicatrice sphérique ont (566) leurs plans parallèles aux plans osculateurs en M et M', et leur angle est égal, par conséquent, à celui des plans osculateurs infiniment voisins de la courbe proposée. La courbure géodésique de la courbe indicatrice en P est le rapport de l'angle des deux grands cercles tangents en P et en P' à l'arc qui sépare leurs points de contact, c'est-à-dire le rapport de l'angle formé par les plans osculateurs de la courbe proposée aux points M et M', à l'angle de contingence formé par lés tangentes aux mêmes points, et c'est évidemment le rapport de la seconde courbure à la première. Pour que le rapport des deux courbures d'une courbe soit constant, il faut que la courbure de l'indicatrice
spliérique soit constante; sa développée, dont un arc quelconque a une longueur nulle (553), se réduit alors à un point, et l'indicatrice est un petit cercle de la sphère. La condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi est que toutes les tangentes à la courbe donnée fassent des angles égaux avec une droite fixe, et que celle-ci soit par conséquent une hélice tracée sur un cylindre dont les génératrices sont parallèles à la droite fixe.
Le rapport des deux courbures d'une hélice est donc constant, et cette propriété appartient exclusivement aux hélices tracées d'ailleurs sur un cylindre à base quelconque.
Cercle de courbure.
582. Le cercle de courbure d'une courbe en un point est un cercle situé dans le plan osculateur, touchant la courbe au point considéré, et ayant en ce point une courbure égale à la sienne, et de même sens.
On peutdémontrer, d'après cette définition, quele cercle de cQurbure d'une courbe en un j)oint est celui de la courbe plane, projection de la courbe donnée sur son plan osculateur en ce point. Lorsqu'on substitue, en effet, à une courbe sa projection sur son plan osculateur, les deux termes infiniment petits du rapport qui mesure la ( ourbure subissent des variations infiniment petites d'ordre supérieur au premier, et par conséquent négligeables. Les parallèles à deux tangentes infiniment voisines et la projection de l'une d'elles sur le plan osculateur correspondant à l'autre, forment, en effet, un trièdre dans lequel la différence de deux faces est moindre que la troisième ; or deux des faces sont ici les angles de contingence dont nous parlons, et la troisième est l'inclinaison d'une tangente sur le plan osculateur infiniment voisin, et parconséquent (5()7) du second ordre. On voittout aussi facilement que la corde d'un arc infiniment petit, et celle de la projection de cet arc sur le plan osculateur à l'une de ses extrémités, ont une différence moindre que la distance de ce plan osculateur à l'autre extrémité de l'arc, et, par conséquent, du troisième ordre tout au plus; chaque arc différant de sa corde d'un infiniment petit du troisième ordre, on en conclut que la différence des arcs est aussi du troisième ordre.
La projection d'une courbe sur son plan osculateur en un pointa donc, en ce point, même courbure, et par conséquent même cercle de courbure que celle-ci.
Cercle osculateur.
583. Le cercle de courbure d'une courbe h double courbure en est, en même temps, comme celui d'une courbe plane, le cercle osculateur, c'est-à-dire qu'il s'approche de la courbe, dans le voisinage du point de contact, infiniment plus que tout autre cercle passant par le même point.
614 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DlFFÉRENllEL.
Si l'on porte ea oflet sur une courbe, à partir de son point de contact M avec le cercle de courbure, un arc infiniment petit du premier ordre MM', la distance du cercle à l'extrémité M' de cet arc est infiniment petite du troisième ordre. Le cercle de courbure étant en effet, d'après ce que nous avons dit, cercle osculateur de la projection de la courbe sur le plan osculateur en M, sa distance à la projection du point M' sur ce plan osculateur est du troisième ordre, et comme la distance du point M' à sa projection est elle-même du troisième ordre, la distance au cercle est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les deux côtés sont du troisième ordre, et elle est, par conséquent," du même ordre qu'eux.
Aucun autre cercle tangent à la courbe en M ne peut partager avec le cercle de courbure la propriété de passer à distance infiniment petite d'ordre supérieur au second, du point infiniment voisin M'. Si en effet deux cercles différents, se touchant au point ^I, étaient tels que leur distance au point M' fût pour tous deux supérieure au second ordre, la distance de ces deux cercles dans le voisinage de leur point de contact serait aussi d'ordre supérieur au second; or il est impossible qu'il en soit ainsi. Si en effet les deux cercles sont dans un même plan, leur contact np peut être que du premier ordre, et leur distance est du second ordre seulement; s'ils sont dans des plans différents, ces plans se coupant sous un angle fini suivant la tangente commune, un point pris sur l'un d'eux à distance infiniment petite du premier ordre du point de contact est à distance infiniment petite du second ordre de la tangente qui sert d'intersection aux deux plans, et par suite aussi à distance infiniment petite du second ordre du plan qui contient le second cercle; sa distance à ce cercle est donc tout au plus du second ordre.
Le cercle dont la dislance à une courbe, dans le voisinage d'un point donné, est infiniment petite du troisième ordre, est par conséquent unique. Il approche de la courbe infiniment plus qu'aucun autre, et reçoit, pour cette raison, le nom de cercle osculateur; il ne diffère pas, d'après ce qui précède, du cercle de courbure.
Calcul du rayon de courbure.
584. La courbure d'une courbe à double courbure a été définie (578) : c'est le rapport de l'angle formé par deux tangentes infiniment voisines à l'arc qui sépare leurs points de contact. Le rayon de courbure est le rayon d'un cercle ayant même courbure que la courbe au point considéré. La courbure est égale à l'unité divisée par le rayon de courbure.
Les équations d'une courbe étant données, il est facile de calculer, en chaque
point, la courbure -• Pour cela nous chercherons d'abord l'expression de l'angle
de contingence.
Soient a, /3, 7, les angles formés avec les axes par la tangente en un point M, et a -4- du, p -4- rfjS, 7 -f- ^7, les angles analogues correspondants au point voisin M'. Menons, par l'origine 0 des coordonnées, des parallèles à ces deux directions, et poitons sur chacune d'elles une longueur égale à l'unité. En joignant les extrémités T etT' de ces longueurs, on obtiendra un triangle isocèle OTT', dans lequel l'angle au sommet 0 est égal à l'angle de contingence e, que nous voulons calculer, et l'on a, par conséquent,
TT'=7.sin - £.
i étant infiniment petit, le sinus peut être remplacé par l'arc, et la distance TT' est égale par conséquent à l'angle de contingence. Les coordonnées du point T sont cos «, cos ]3, cos 7, et celles du point T', égales à ces mêmes cosinus augmentés de leurs différentielles; on a, par conséquent,
« TT'' = (rfcosa)^ + (</cos{3)=-+-(ï'cos7)'
et
£ = TT' = v'i '^ ces a )' 4- ( d cos (3 )' + ( rf ros yf-
Cette expression est d'ailleurs applicable, évidemment, à l'angle formé par deux droites infiniment voisines quelconques, formant avec les axes des angles «. ,3, 7,
a -H du, f3 -4- r/j3, 7 + d^j.
La courbure - est, par définition, le rapport de l'angle z à l'arc infiniment petit correspondant ds, et l'on a par conséquent
, , I /dcofisr.\' /rfcosô\' /dcosy
Si l'on nomme x, y, z les coordonnées du point considéré sur la courbe, et s la longueur de l'arc compté à partir d'une origine fixe quelconque, les cosinus des angles formés par la tangente avec les axes ont pour expression,
dx dy dz ds ds Us
et la formule ( 1 ) donne par conséquent
^^ f'-~~d7~^ ds' "• 1F~
Si l'on prend l'arc * pour variable indépendante, on a
, dx dy . dz
• ds d^x 75 d'x '^ drz^ ~3r ~ ds' ' ds ~~1I?' ils' ~ 'di> '
et par conséquent,
1 /d'x\' jd^rV fd^zy
Si l'on veut laisser la variable indépendante indéterminée, il faut écrire
, dx
' ds dsd^x — dxd's
ds ds'
. I (dsd'x— dxd'sY -hjdsd'r — dyd'sy -hjdsd'z — dzd's)'
^^> f" ' ds' ' ' ^
Cette expression peut se transformer à l'aide de l'équation
(5) dx'--\-dr'-{-dz^ = ds',
dont on déduit, par la différentialion,
(6) dxd'x-{- dyd'r-h dzd'z=^ dsd's.
L'équation (4) peut s'écrire
I ds'[id'xY-h{d\rY+(d'zY]+{d'sy{dx'-\-dy'-hdz')—2dsd's(dxd'x+drd\r-\-dzd'z}f'- ^.
et, à cause des équations (5) et [6],
! {d'xY-\-{d^ry-^-(d'zy — (d'iy
ou, ce qui revient au même,
i__ {dx'-hdx'-^dz-)[{d'xY-^{dyy-\-{d'zy]—(dxd'x-hdxd'x-hdzd^zy p»~ ds' '
c'est-à-dire
I [drd^z —dzd'xY-+-idzd'x — dxd'zY + {dxd'y — dyd'xY
ds'
585. La formule (3) peut s'interpréter d'une manière élégante. Soient t, v, s les coordonnées d'un point M delà courbe que nous regardons comme des fonctions de l'arc s, compté à partir d'une origine arbitraire. Le point voisin correspondant à l'arc 5 + </5 aura pour coordonnées, en négligeant les infiniment petits d'ordre
supérieur au second,
dx , I d'x ,
X H — T-ds-\ j— ««',
as 2 as-
dy j I rf'r , ,
dz , I d'z .
z -\- -r-ds-\ J— ds\
ds 2 ai'
Si l'on porte sur la tangente en M, à partir du point M, une longueur MT égale
T — ÏP — ~^
a ds, les coordonnées du point T sont, rigoureusement,
dx , dr , dz ,
x+-j.^ds, r+-3;^'s, '+dl'^'o{, par conséquent,
on en conclut, d'après la formule (3) du paragraphe précédent, , . I 2M'T
La diffi'rence entre l'arc infiniment petit MM' et sa corde étant du troisième ordre, dans le triangle TMM', la différence des cotés MT, M' M est du troisième ordre, et infiniment petite par conséquent, par rapport à la base M'Tqui est du second. On en conclut bien aisément que l'angle M'TM diffère infiniment peu d'un droit, et que M'T peut être remplacé par la distance du point M' à la tangente MT; on peut en même temps substituer à l'arc ds la ligne MM', et l'équation (2) devient alors entii'rement semblable à celle qui a été démontrée (i99), pour les courbes planes.
586. Le même théorème peut être présenté sous une forme différente, dont nous aurons à faire usage. La distance de l'une des extrémités d'un arc infiniment
petit .V. à la tangente passant par l'autre extrémité, est représentée par — j p dési-
l^nant le rayon de courbure de l'arc.
618 PREMIÈRli PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Normale principale.
587. La normale qui, partant d'un point (l'une courbe, passe par le centre du cercle osculaleur se nomme la nonnale principale. Les équations d'une courbe étant données, il est aisé de déterminer, en chaque point, la direction de la normale principale. Le problème est en quelque sorte résolu à l'avance par les formules qui donnent les équations du plan normal et dii plan osculateur, dont la normale principale est l'intersection^ Nous allons chercher cependant l'expression des cosinus des angles formés par cette normale avec les axes.
Soient M et M' deux points voisins d'une courbe, nommons s l'arc compté à partir d'une origine arbitraire et se terminant en M; s-\-ds l'arc qui se termine en M'; ds que nous regardons comme positif désignant, par conséquent, l'arc MM'. Par l'origine des coordonnées, menons deux droites OP, OP', chacune de longueur égale à l'unité, et parallèles aux tangentes en M et M'; la droite PP' est parallèle à la normale principale : le triangle OPP' étant en effet isocèle, et l'angle 0 infiniment petit, PP' est perpendiculaire à OP, c'est-à-dire à la direction de la tangente; de plus, le plan POP' qui la contient étant parallèle à deux tangentes infiniment voisines est parallèle au plan osculateur: une ligne perpendiculaire à la tangente, dans un plan parallèle au plan osculateur, est évidemment parallèle à la normale principale.
Les coordonnées du point P sont les cosinus des angles formés par la tangente en M avec les axes de coordonnées; en les nommant cos a, cosp, cos y, celles du point P' sont
ces a -t- J ces a , ces |3 -4- rf cos 3 , ces y -t- J ces y . Les cosinus des angles X, [i, v formés avec les axes par la direction PP', sont
d ces a
ces /:
COS ij. =:
CCS 1/ =
V'(rf ces «f-h((i ces (3 )'-(-( rf C0S7 )■'
dcos^ V( dcosxy-h{d COS ,Ô J' -t- ( (/ cos y )'
(/ COS y
^{d COS xy-+-(d COS 5y + {dcosyy
Nous avons trouvé (584), en nommant p le rayon de courbure,
I __ v/(c?cosa)'-|- (</cos|3)' +(</cosy)' P ~ ds
Les formules (i) deviennent par conséquent
dcosx
CCS V
588. Il importe de distinguer sur la normale principale les deux directions opposées. Les formules précédentes se rapportent à la droite qui, partant de la
courbe, se dirige vers le centre de courbure, -t-î j' ■■ 't sont en effet les cosinus
des angles formés avec les axes par la tangente considérée comme se dirigeant du point de contact vers le point infiniment voisin qui correspond à un accroissement positif de l'arc 5. Si donc M et M' sont deux points voisins, et que les arcs soient comptés d'une origine A, les droites OP, OP', considérées dans la démonstration,
sont parallèles à MT et M'T', et dirigées dans le même sens, et la ligne qui réunit le point P au point P* est évidemment dirigée dans le même sens que la normale principale qui se dirige du point M vers le centre de courbure. . Si les arcs étaient comptés en sens opposés, l'accroissement MM' de l'arc s étant
négatif, les directions définies par les cosinus -T- ) 4-1 j- cbangeraiont de sens,
et il en serait de même des lignes OP, OF, et la ligne PP', cliangeant de sens, serait dirigée en sens contraire du rayon de courbure qui, dans ce cas, forme avec les axes des angles dont les cosinus sont désignes contraires à rfcos'a, rfcos/3, (^/c.osy; mais comme, dans le cas actuel, ds est négatif, ces cosinus restent représentés, en valeur et en signe, par
dcosoc </cos(3 t/.cosy ds Us ds
Expression de la seconde courbure.
589. La seconde courbure d'une courbe est le rapport de l'angle de deux plans osculalcurs infiniment voisins à l'arc infiniment petit qui sépare leurs points de ron-
tact; si l'on nomme i, v, Ç les angles formés par l'axe du plan osculateur avec les
axes de coordonnées
dxd'y — dyd'x
cosÇ^
[•) COSV= p
drd'z — dzd'r
•ne ^1 — -si sL ,
dzd'x — dxd'z
cost-
en posant
(i) D=^^{dxd\r—dfd'xy + {dxd'-z — dzd'xY-h{dzd'x—dxd'zY,
on a, d'après l'une des formules qui donnent (584) l'expression du ' rayon de courbure p ,
ds' (3) D=— ,
dx d\y — dyd'x
ds
COSLI =
drd'
dzd^y
cosÇ =
odzd'
dxd'z
et, par conséquent.
ds'
L'angle de deux plans osculateurs est égal à celui des droites qui leur sont normales : si donc par l'origine des coordonnées on mène des parallèles aux axes de deux plans osculateurs infiniment voisins et que, sur chacune d'elles, on porte une longueur égale à l'unité, la distance des points ainsi obtenus mesurera l'angle rj des deux plans osculateurs. Les coordonnées des deux points étant évidemment
COS^, COSU, cos?, cosç + c?cos^, .ces j + f/ ces ;; , CCS ?-!-</ ces Ç , on a
(5) -r, = \/( d cos If -\- [d cosvY -h {d ces Ç y.
Si la seconde courbure est représentée par - > on a par définition
r ds
et, par conséquent,
, . l {dcos^y-\-{d cosnY -hjdcos'CY
-là.'
Si l'on représente, pour abréger, par
A{/ — a:) + B(M— j)-4-C(t'— z) = o l'équation du plan osculateur, on a
cosÇ =
