COS-J
on en conclut,
ces H = ,
. (B'-f-CMrfA — AB(/B — ACrfC
a cos l = 3 >
(C'-(-A»)rfB — BCrfC— BArfA
(9) rf cos U = ■ 5
(A' + B»)rfC — CArfA — CBrfB
(A'+B'-f-Cp
d cos Ç =
et l'on en conclut, après des réductions faciles et indépendantes de la forme des expressions représentées par A, B, C,
^(A'-t-B' + C')(rfA' + (/B'+^/e)— (A(/A-t-B</B-|-C(/CT'
ou, ce qui revient au même.
v/(B<^(:— CrfB)'+(C<<A— AdC)' + (ArfB — BrfA)' '"^ ■'' = -i A' + B'-t-O
mais on a
\=dxd'z—dzd'}-, B = dzd'x — dxd'z, C = dxd'y—dxd'x,
d\ = dyd'z — dzd'x, dB = dzd'x — dxd'z, dC = dxd'y — dyd'x;
on en déduit
^dB-BdX^BdC-CdB^Cd.K-XdC^j,^j^j^^j^j,^^^.
dz dx dy
par conséquent, ,
\l dx-" + dy + dz'
et
ds{dkd^x + d]id'r+dCd'z)
et enfin,
yi l dkd'x -h dBd\r+ dCd'
ds~~ r ~ A» + B= + C^
On a trouvé (584)
- A' + B'+0 = [{d'xY-h{d'xY-h{d'zY—(d'sY]ds',
et l'expression de - peut, d'après cela, être mise sous la forme
i __ dXd'x^dBd\r-i-dCd''z
r ~ ds-'[[d-'xY+[d-'fY-i-[d'z)'—[d'sY] \
OU encore, ce qui revient au même, d'après les valeurs de dk, 6?B, c?C,
;• ~ ds' [( dKvY ■+- ( d\ry -+- ( d'zY—( d'sY]
Formules de M. Serret.
590. On peut considérer en chaque point d'une courbe à double courbure trois droites rectangulaires dont la position est intimement liée aux affections de la courbe, savoir : la tangente, la normale principale, et la perpendiculaire au plan osculateur. Nous ayons fait connaître les formules qui expriment les cosinus des angles formés par chacune de ces directions avec les axes. Les différentielles de ces cosinus s'expriment aussi d'une manière élégante et satisfont à des équations importante? données par M. Serret, et que nous allons faire connaître.
Soient a, /3, y, les angles formés avec les axes par la tangente en un point de la courbe; £,u,Ç, les angles formés par la perpendiculaire au plan osculateur; \, [x, v, les angles formés par la normale principale.
et - désignant toujours les deux courbures de la courbe, on a 587)
COSÀ
d cos a
= P ds
COSfl
d cos 3
=^^ ds
cos V
d cos y = ^ ds
on en conclut
j rfs ,
acos«= — ces A,
I r ds
( 2 ) d cos p = — cos a ,
, ds
a cos y = — cosv.
Les différentielles des angles^, u, Ç peuvent s'exprimer d'une manière analogue: si, en effet, par l'origine des coordonnées, on mène des perpendiculaires à deux plans osculateurs infiniment voisins, et que, sur chacune d'elles, on porte une longueur égale à l'unité, la droite qui réunit les deux points ainsi obtenus est évidemment perpendiculaire à l'axe du plan osculateur et parallèle par conséquent à ce plan; elle est de plus dans un plan perpendiculaire à l'intersection des deux plans oscillateurs infiniment voisins, et parallèle par conséquent au plan normal; il résulte de ces deux conditions qu'elle est parallèle à la normale principale, et forme avec les axes les angles X, ,u., v ; les deux points réunis par cette droite ont pour coordonnées,
cos^, cosu, cosÇ, cos 5 4- fi^ cos g, cosu + dcosu, cos Ç 4- J cos Ç ;
on a, par conséquent,
d cos ï
cos \--
COS a :
V(t/C0S$)'+(rfC0Sl;)''4-(rfC0SÇ)'
flfcos W
.§•.* ■ v'(rfcos^)'-|-(rfcos-j)'H-{</cosÇ)'
aÉÉt*^ ' d cos t
* ^ ' v'(</cos^)'-f-(rfçOSy)'+(</cosÇ)'
Mais en nommant r, l'angle de deux plans osculateurs voisins, on a
. ,ls
T, = v(</cos ^)'-+-(f/cos u)=-l- //cos 'Ç']' =^ — :
les équations (3j deviennent, d'après cela,
> , d cos c
cos A = r — j — ■ ) as
m d cos u
^ cos fi = r — -7 — >
d cos t cos V = r — J — s ds
62 i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
et par conséquent,
, ., ds cos 7.
a cos £ = ,
, ds cos u.
d cos V = ^ î
ds cos V
dcos K =
591. Les différentielles des trois autres cosinus dcosl, c? cos pi, rfcosv, se déduisent de celles que nous venons d'obtenir. Les trois droites que nous considérons formant en effet un trièdre trirectangle, la somme des carrés des cosinus des angles qu'elles forment avec une droite quelconque, l'axe des X par exemple, est égale à l'unité, et l'on a
( 1 ) cos^ a + cos' ). H- ces' ç = i ;
{■}.) cosa û?cosa + cos Xrfcos/. + cos^(/cos£ = o,
et par conséquent,
, , , , -, cos X , cos £ j ,.
(3) acos/ = r^acosu -^acosi,
cos A cos A
c'est-à-dire, à cause des valeurs trouvées pour dco& v et rfcosS,
, ,. j 1 /cos a C0S?\ j
(4) dcosl = —i 1 -\ds.
On trouvera de même
, /cos (3 cosu\ , acos u = — !- H ds,
, /cos V cos K\ , a cos V ^ — '- H ds.
592. Les formules précédentes permettent de calculer pour une courbe quelconque les dérivées de l'une des coordonnées par rapport à l'arc, en fonction des angles qui définissent la tangente, des deux courbures de la courbe et de leurs dérivées.
On a, en effet,
da;
—r- = COS a, ds
d'x d COS a I . «
ds' . ds p ' '
d^x p I rfcosX , p I /cosa cos?
-j— = cos >. -ji- H } — = cos >. -/ — ■ H
as" ds p ds ds p \ p ''
et il est clair que les dérivées suivantes pourront se calculer successivement, en remplaçant dcosl, dcos a et rfcos ^ par leurs valeurs; on n'y verra figurer avec les
trois cosinus que les courbures-» - et leurs dérivées.
Axe du plan osculateur.
593. La perpendiculaire élevée au plan osculateur par le centre du cercle osculateur est souvent nommée axe du cercle osculateur. Cette droite est l'intersection do deux plans normaux infiniment voisins.
Soient, en effet, MM' un arc infiniment petit d'une courbe à double courbure, et MM, la projection de cet arc sur le plan osculateur en M : l'intersection des deux plans normaux aux extrémités de l'arc plan MM, est évidemment l'axe du cercle osculateur de cet arc MM,, c'est-à-dire aussi celui de MM' qui, nous l'avons vu (582y, est précisément le même. Il suffit donc de prouver que sans altérer la limite de cette intersection, on peut remplacer le plan normal en M, à l'arc MM,, par le plan normal en M' à l'arc MM'. L'angle formé par les deux plans que nous voulons ici substituer l'un à l'autre est' égal à celui des tangentes auxquelles ils sont perpendiculaires, c'est-a-dire à celui de la tangente à l'arc MM' avec le plan osculateur en M; cet angle (567) est infiniment petit du second ordre. Pour faire coïncider le plan normal à MM' en M' avec le plan normal à MM,, en M,, il suffit donc de le faire tourner d'un angle infiniment petit du second ordre autour d'une certaine droite passant par le point M', et de faire parcourir ensuite à tous ses points des droites infiniment petites du troisième ordre égales et parallèles à MM, : il est aisé de voir (|ue cbacun de ces deux déplacements change infiniment peu l'intersection avec un plan fixe qui forme avec le plan considéré un angle infiniment petit du premier ordre.
594. Le calcul conduit aisément à la même conclusion. Soient j",v, z les coordonnées du point considéré sur une courbe à double courbure. L'équation du plan normal est
r (/ — x)dx-ir[u — y)dy-\-{v—z)dz=zo.
Pour obtenir l'équalion du plan normal infiniment voisin, il faut changer x, y, z ti\\x-\-dx, y + dy, z-\-dz respectivement, et, par conséquent, augmenter le premier membre de l'équation (i) de sa différentielle. La droite d'intersection des deux plans normaux s'obtiendra par conséquent en combinant l'équation (i) avec sa différentielle
(t — x)d' X -^ [u — y)d'X -\-{v — z) d' i — dx^ — dy^ — dz'
Si l'on représente l'équation du plan osculateur par
A(< — x)-(-B(m— j) + C(c— 5) = o, on a (574)
A dx + B dy-\- Cclz—o,
Ad'x-hBd'x+Cd'z = o.
Ces équations montrent que les plans représentés par les équations (i) et (2) sont l'un et l'autre perpendiculaires au plan osculateur, auquel par conséquent leur intersection est normale. Cette intersection passe de plus parle centre de courbure, qui, étant situé sur la normale principale, à la distance p du point x, y, z, a pour coordonnées
Ces coordonnées substituées à t, u, v satisfont aux équations (i) et (2), en vertu des relations connues
dxd-x -\- dyd'y+ dzd'z = o,
(d'xy , idyy (d^Y^t
^ds' ) \ ds' ) f '
I d''x ["dF
595. Le centre de courbure étant situé, d'après ce qui précède, sur la droite d'intersection de deux plans normaux infiniment voisins, peut être évidemment considéré comme l'intersection de la normale principale avec celle des normales infiniment voisines qui la rencontre.
Surface lieu des norma/es principales.
596. Les normales principales d'une courbe forment une surface réglée qui n'est jamais développable. Pour le démontrer, remarquons que la surface lieu des normales principales à une courbe a pour plan tangent, en chaque point de cette courbe, le plan osculateur même de la courbe. Ce plan tangent contient en effet deux lignes situées dans ce plan osculateur, et qui sont la normale principale au point considéré qui sert de génératrice à la surface, et la tangente à la courbe donnée qui évidemment appartient à la surface; si donc la surface, lieu des positions de la normale principale, était développable, chaque plan tangent étant le même le long d'une génératrice, elle serait l'enveloppe des plans osculaleurs de la courbe proposée ; mais (571) l'enveloppe des plans osculàteurs d'une courbe est la surface développable lieu des tangentes à cette courbe, qui est évidemment distincte de la surface lieu des normales principales : il y a donc contradiction à
admettre que cette dernière soit développable. Les courbes planes font seules exception. La surface lieu des normales principales, et la surface lieu des tangentes, se confondent alors en un seul et même plan qui est celui de la courbe.
597. Il résulte de la remarque précédente que le lieu des centres de courbure (l'une courbe à double courbure n'a pas pour tangentes les normales principales de cette courbe. Si cela était, en effet, les normales principales, étant tangentes à une même courbe, formeraient une surface développable: c'est là une différence essentielle entre la théorie des courbes à double courbure et celle des courbes planes. Les ( ourbes à double courbure ont, il est vrai, des développées dont nous étudierons la théorie dans un autre chapitre; mais c'est dans le seul cas des lignes planes, que l'une d'elles se confond avec le lieu des centres de courbure.
Quelques pages écrites par d'illustres géomètres ont ajouté un intérêt historique ■A l'importance propre de la remarque précédente. Lagrange, en effet, en écrivant la théorie des fonctions analytiques, croyait que le lieu des centres des cercles osculateurs peut, dans certains cas, avoir pour tangentes les normales principales de la courbe; il cherche même la condition nécessaire pour qu'il en soit ainsi, et ne remarque pas, quoique Monge l'eût dit depuis longtemps, que les courbes planes .satisfont seules à cette condition. L'erreur échappée à l'illustre auteur a été signalée par Jacobi, et niée par Poisson, qui, se méprenant sur le passage critiqué, contesta d'abord l'exactitude de l'obsei-vation qu'il ne tarda pas d'ailleurs a reconnaître; peu de temps après, Poinsot montra que l'analyse même de Lagrange conduit à la conclusion exacte, qu'il n'eût pas manqué d'apercevoir en poussant les calculs un peu plus loin.
598. Les formules que nous avons fait connaître permettent d'ailleurs de démontrer analytiquement d'une manière fort simple que les normales principales ne sont jamais tangentes à la courbe lieu des centres de courbure.
Soient ic, y, z les coordonnées d'un point de la courbe; a, b, c celles du centre de courbure : on a. en adoptant les notations du paragraphe précédent,
a = ar-f-p COsX,
6=j + pC0Sfx,
c = z -t-pcosv; on en conclut
da = dx -h p d CCS > -f- ces X rf p ,
db = r/j4-prfcoSft -\-cos(idp,
de = dz-i-pd cos V -t- ces v dp.
.Mais si la courbe dont les points ont pour coordonnées a, b, c est tangente à la normale principale, le rayon de courbure étant tangent à la courbe parcourue par une de ses extrémités, et normal à celle que décrit l'autre, son accroissement rfp est
égal (21) au déplacement de cette extrémité, et l'on a
dcr^ cosldp, db z^ cos y. d p , de =zcosy dp.
Les équations se réduisent par conséquent, dans ce cas, à
dx-\-pd cos X = o , dy-\-pd cos fx = o , dz-i-pdcosv ^o.
En remplaçant dans cette équation dœ, dy, dz par leurs valeurs cosaû^, co?, pds, cos 7</y, et rfcosX, rfcos|u., rfcosv, par les valeurs trouvées (590), on en déduit
- cos£ = o, r
-C0SLl=O,
-COsÇ=:o.
Le rayon de courbure ne pouvant pas (579) être nul, ces équations exigent que r soit infini, et que par conséquent la courbe soit plane.
599. Après avoir démontré que les normales principales d'une courbe ne peuvent pas former une surface développable, il est naturel de se demander si cette condition est la seule qui leur soit imposée, et si toute surface gauche peut être considérée comme le lieu des normales principales à une courbe tracée sur elle. Mais la solution de cette question devant emprunter quelques résultats à la théorie des surfaces, elle trouvera sa place dans un autre chapitre.
Pour compléter en ce moment l'étude de la loi de distribution des normales principales à une courbe, nous allons chercher l'expression de l'angle formé par deux normales infiniment voisines, et la grandeur et la position de leur plus courte distance .
Soient MM' un arc infiniment petit pris sur une courbe à double courbure, MN la normale principale en M, et M'N' la normale en M' : ces deux droites ne se rencon-
trent pas; mais parmi les normales menées par le point M' à la courbe MM', il en
est une M'O qui rencontre MN; et le point d'intersection 0 est (595) précisément le centre de courbure de MM'. Les deux normales MO, M'O se rencontrent en effet nécessairement sur l'intersection des plans normaux en M et en M', c'est-a-dirc sur l'axe du cercle osculateur, et la droite MN. étant située dans le plan osculateur, coupe nécessairement cet axe au centre même du cercle osculateur.
L'angle formé par les droites M'O, M'N' est égal, en négligeant les infiniment petits du second ordre, à l'angle des plans osculateurs aux points M et M'. Le plan qui contient M'O et M'N' est en effet le plan normal au point M'. Il fait avec le plan NMM', qui diffère infiniment peu du plan osculateur, un angle infiniment peu différent d'un angle droit, et l'angle OM'N' peut être regardé comme l'inclinaison de M'N' sur le plan NMN'. Ce dernier forme avec le plan osculateur en M un angle infiniment petit du premier ordre ; mais, pour le faire coïncider avec lui, il suffit de le faire tourner autour de MO : les distances des différents points de M'N' à ce plan ne seront, par là, altérées que d'infiniment petits du second ordre, et par suite M'N' forme avec le plan osculateur en M et avec le plan NMM' des angles dont la difl'érence est infiniment petite du second ordre; mais l'intersection des plans osculateurs en M et M' diffère (569) infiniment peu de la tangente; M'N', qui appartient à l'un de'ces plans, est donc, à la limite, perpendiculaire à cette intersection, et son inclinaison sur l'autre plan peut, par conséquent, être prise pour mesure de l'angle
des deux plans. Si l'on désigne MM' par ds en nommant toujours - la seconde
ds courbure, l'angle OM'N' est par conséquent égal à —
600. Si par un point quelconque de l'espace on mène des parallèles aux trois droites MN, M'N', M'O, on formera un angle trièdre rectangle. Le triangle sphérique correspondant peut être regardé comme rectiligne, et par conséquent le carré de la face opposée à l'angle droit est égal à la somme des carrés des deux
ds autres; or, l'angle de M'N' avec M'O est, on vient de le voir, égal à —■> MO étant
ds égal au rayon de courbure js, l'angle de MO avec M'O est — > le troisième angle,
celui de M'N' avec MN, est donc égal à
Telle est l'expression de l'angle formé par deux normales principales infiniment voisines. L'angle trièdre infiniment petit que l'on vient de considérer fait connaître aussi l'inclinaison du plan osculateur qui est parallèle à une de ses faces, sur le plan parallèle à deux normales infiniment voisines, lequel est parallèle à la face
opposée à l'angle droit; cet angle a pour cosinus le rapport des deux faces qui le
comprennent, c'est-à-dire
ds
ds
Vt^^ \/^
la tangente est égale par conséquent à '-•
Le plan parallèle aux deux normales principales peut être considéré comme passant par l'une d'elles IMN, suivant laquelle il coupera évidemment le plan osculateur; l'angle qu'il forme avec ce plan osculateur est par conséquent égal à son inclinaison sur la tangente à la courbe perpendiculaire à MN, et égal par conséquent au complément de l'angle formé par la tangente avec la plus courte distance des
deux normales principales. La tangente.de cet angle est, d'après cela, égale à -
Si la courbe est plane, - est infini; dans ce cas, en effet, la plus courte distance
est nulle, mais sa direction, toujours déterminée, est perpendiculaire au plan de la
courbe, et par conséquent à la tangente à celle-ci.
La direction de la plus courte distance des normales infiniment voisines étant
connue, il est facile d'en calculer la longueur, qui est égale, en effet, à la projection
de l'arc ds sur cette direction connue, c'est-à-dire au produit de ds par le cosinus
de l'angle dont la tangente est -■
La plus courte distance de deux normales infiniment voisines est d'après cela
dsa
'^ SpJière osculatrice.
601. Lorsqu'une sphère passe par le cercle osculateur d'une courbe, en un point M, la distance de cette sphère à un point M', situé sur la courbe à distance infiniment petite du premier ordre de M, est moindre que la distance du même point M' au cercle osculateur, et par conséquent du troisième ordre tout au plus. Mais parmi toutes ces sphères il en est une qui s'approche de la courbe infiniment plus que les autres, et dont la distance au point M' est infiniment petite d'ordre supérieur au troisième. Nous allons démontrer l'existence de cette sphère que l'on nomme sphère osculatrice, et déterminer son rayon et la position de son centre.
Considérons une courbe à double courbure, et le cercle osculateur en un point M. Soient M' un point delà courbe infiniment voisin de M, etM'P la distance du point M'
au cercle osculateur en M. M'P est infiniment petit du troisième ordre. Concevons une sphère passant par le cercle osculateur MP. La distance du point M' à cette sphère sera une droite M'P', normale à la sphère, et qui formera avec M'P un triangle rectangle à la limite, et dont M'P est l'hypoténuse. M'P' est donc moindre que M'P, et le rapport de ces deux lignes est le sinus de l'angle en P, c'est-à-dire le sinus de l'angle sous lequel M'P coupe la sphère. Si donc la sphère est tangente à la droite M'P, le rapport des deux dislances a pour limite zéro, et la première étant infiniment petite du troisième ordre, la seconde est d'un ordre supérieur. La sphère pour laquelle cette condition est remplie se nomme sphère osculatricc ; elle est déterminée par un cercle qu'elle contient et une droite qui lui est tangente en un point de ce cercle.
()02. Nous nous arrêterons ici pour montrer par un nouvel exemple combien de précautions minutieuses sont nécessaires quand on raisonne sur les infiniment petits. Lorsqu'un point est à une dislance infiniment petite d d'une sphère, le carré de la tangente menée de ce point à la sphère est le produit de d par une ligne finie égale h la limite au diamètre de la sphère, et si par conséquent la tangente est un infiniment petit du troisième ordre, la distance d est du sixième. On pourrait se croire autorisé, d'après cela, à affirmer que la distance de la courbe à la sphènosculatrice est infiniment petite du sixième ordre. La ligne M'P, dans la démonstration précédente, est en effet du troisième ordre, et si elle est tangente à la sphère osculatrice, la normale à celte sphère doit être du sixième ordre. Mais ce raisonnement, qui semble si simple, est inexact; la sphère osculatrice est en effet la sphère limite de celle qui passe par le cercle osculateur en M, en touchant la ligne M'P: pour une position quelconque du point .M', la distance M'P' n'est pas tangente à la sphère osculatrice, elle la coupe seulement sous un angle qui tcn<l vers zéro, et cette circonstance suffit pour que la tangente issue du point M' soit infiniment plus longue que la droite M' P'.
63â PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Soient en effet M'T la tangente, et M'P' la droite tangente à la limite, et q.ui coupe la sphère sous un angle infiniment petit :
on a
M'T sinMT'T M'P'~sinM"fP
les deux sinus sont nuls à la limite, mais rien ne prouve que leur rapport soit fini: nous devons donc attendre l'étude analytique de la question pour dire avec précision quel est l'ordre de la distance d'une courbe à la sphère osculatrice. Notre démonstration prouve seulement ici qu'elle est d'ordre supérieur au troisième.
* Détermination de la sphère osculatrice .
603. Après avoir démontré l'existence, en chaque point d'une courbe, d'une sphère osculatrice dont la courbe s'éloigne dans le voisinage du point de contact, infiniment moins que du cercle osculateur, nous allons donner le moyen de former l'équation de cette sphère, et d'en déterminer le centre elle rayon.
Soit
(i) [l—af-+-{u — bf + [v — cy—'K- — o
l'équation de la sphère osculatrice au point de la courbe dont les coordonnées sont X, y, z. La distance, à cette sphère, du point de la courbe infiniment voisin du point de contact doit être infiniment petite d'ordre supérieur au troisième (602): or cette distance est de même ordre que le carré de la tangente menée du même point à la sphère, et représenté, comme on sarit, par le premier membre de l'équation (i).Les constantes a, b, c, R doivent donc être telles, que l'équation (i) soit satisfaite, quand on y fait ^ = .r, u^=y, v^=z , Qi que de plus le premier membre devienne infiniment petit d'ordre supérieur au troisième, lorsqu'on y remplace X, y, z par les coordonnées d'un point voisin pris sur la courbe, à distance infiniment petite du premier ordre. Si nous regardons x, y, z comme des fonctions données d'une variable a, dont l'accroissement da correspond au déplacement considéré sur la courbe, cette condition revient à dire qu'en changeant a en a+ de/., dans le premier membre de (i), et développant ensuite suivant les puissances
<lc dy., les termes en da., dc^ et du* ont des coefficients nuls. On doit par conséquent égaler à zéro les trois premières dérivées du premier membre, ou, ce qui revient au même, les trois premières différentielles que l'on calculera en laissant la variable indépendante indéterminée.
On aura donc, pour déterminer les coordonnées a, h, c du centre de courbure,
(x — a)dx ->,-{)■— b)dy-\-{z — c)dz — u, ■->) {x — a)d'x-{-ix—l>)d'f+ {z —c) d'z —dx' — df' — dz' — o,
{x — a]d'x + [y — b)d'y-h(z — c)d'z — dxd-x — dyd'r — dzd'z =o.
604. Les trois équations précédentes expriment que le centre de la sphère osculatrice est le point commun à trois plans normaux infiniment voisins. La première des équations (a), si l'on y considère a, b, c comme variables, représente en eflet le plan normal au point {x,y,z), et les deux suivantes, qui en sont les différentielles première et seconde, étant combinées avec elle, représentent le point commun aux trois plans normaux infiniment voisins.
Les plans normaux d'une courbe enveloppent une surface développable qui a pour génératrices les axes des plans osculateurs; l'arête de rebroussement à laquelle toutes les génératrices de la surface sont tangentes a (571 ) pour plans oscula^ teurs ces plans normaux eux-mêmes, et chaque point de cette arête de rebroussement, pouvant être considéré comme le point commun à trois plans osculateurs infiniment voisins, coïncide avec le centre de la sphère osculatricc, intersection des trois plans normaux infiniment voisins à la courbe donnée.
Le centre de la sphère osculatrice en chaque point d'une courbe est par consé- (juent le. point correspondant de l'arête de rebroussement de la surface développable enveloppe des plans normaux de la courbe donnée, et qui a pour génératrices les axes des cercles osculateurs.
605. Le centre de la sphère osculatrice est, d'après ce qui précède, le point do rencontre de trois plans normaux infiniment voisins. Pour en calculer les coordonnées, il faut combiner l'équation du plan normal avec ses deux premières différenlielles; mais on peut aisément donner à ces équations une forme plus simple qui conduira à un résultat plus élégant.
En nommant, comme nous l'avons fait (590j a, /B, y, les angles formés par la tangente avec les axes des coordonnées, l'équation du plan normal est
(i) { / — jr)cos«-f-(t< — /)cos|3-l-(i' — z)cos7 = o;
la différentielle divisée par ds est
/ - » / i ^d cos a. , ,d cos 3 . .d ces y dx , dr dz
