I. tJU

634 l'UEMlÈRE PARTIE. ^ CALCUL DIFFÉRENTIEL.

En nommant X, jjt, v les angles de la normale principale avec les axes, cette équation devient, en vertu des formules démontrées (587),

- [(t — .r ) cos /.-+-( « — f)cosfj.

[v — Z] COSV 1 =:o.

Avant de la différentier une seconde fois, il est évidemment permis de la multiplier par p, et d'y substituer

(4) {i — j;-)cos). -+-{ii — y) cosy. + (c — z) cosv — p = o;

la différentielle est

,„, , ,a?cos/ , </cosy, , , J cos V dp

ou, en remplaçant — -, — > . ' ■> —-, — par leurs valeurs (591), 1 équation ( jj peut donc s'écrire, en multipliant par r,

(6) (/ — x) cos ï-i-(« — j)cos-j+((' — 3) cosÇ — ;■ -3^ = 0;

elle représente un plan parallèle au plan osculateur, et passant par le centre de la sphère osculatrice dont les coordonnées t, u, v seront déterminées par les équations (1), (4), (6).

Si l'on fait passer dans le second membre les derniers termes de ces équations et qu'on les ajoute ensuite après les avoir élevées au carré, en ayant égard aux relations qui lient les cosinus des angles formés avec les axes par trois droites rectangulaires, on trouvera

c'est l'expression du carré du rayon de la sphère osculatrice.

606. On peut arriver au même résultat par des considérations purement géome^ triques.

Le centre de la sphère osculatrice est situé en effet sur l'arête de rebroussement de la surface lieu des axes des cercles osculateurs.

Soient M et M' deux points intiniment voisins de la courbe considérée, et ds l'arc infiniment petit MM'; MO, M'O' les rayons de courbure correspondants, et OC, O'C les axes des cercles osculateurs que l'on peut considérer comme se coupant au centre G de la sphère osculatrice. La ligne MO, étant située dans le plan normal

à MM', esl tangente à la surface développable, et les directions OM, 00', OC sont par conséquent dans un même plan. Soit vj l'angle OCO' formé par les axes des cer-

oLy-

cles osculateurs en M et M'; on a, en désignant comme précédemment la seconde courbure par -«

Si l'on pose OC = /, et que 0 désigne l'angle O'OC, on a évidemment aussi

OO'.sinO

't par conséquent

■du

Les lignes MO, M'O', étant normales à MM', leur différence dç est égale (21 ) à 00' (((s^MO, M'O'); mais MO étant |)erpendiculaire à 0(1, on a

t't par conséquent on en conclut

r()s(MO, M'0') = sin9,

b0'sine = </p;

et le rayon MC de la splière étant l'hypoténuse du triangle MOC, on a en fin

607. Lorsque la courbure d'une courbe est constante, on a ■— == o, et l'équa-

Ho.

tion précédente donne R = p. Le cercle osculateur est, dans ce cas, un grand cercle de la sphère osculatrice. La longueur désignée par / est alors égale à zéro. L'arête de rebroussemcnt de la surface enveloppe des plans normaux est donc, dans ce cas, le lieu des centres de courbure. Monge a remarqué que cette courbe a, comme la proposée, un rayon de courbure constant, et que chacune d'elles est alors le lieu des centres de courbure de l'autre.

Nommons en effet S la courbe proposée, et 2 l'arête de rebroussemcnt de la surface enveloppe des plans normaux qui, dans ce cas, est à la fois le lieu des centres dé courbure et des centres des sphères osculatrices. Les tangentes à la courbe 2 sont les axes des cercles osculateurs de S, et par conséquent les plans normaux de 2 sont les plans osculateurs de S; l'enveloppe de ces plans normaux est donc une surface développable dont S est l'arête de rebroussemcnt, et par conséquent la courbe S est le lieu des centres des sphères osculatrices de la courbe 2. Les deux courbes S et 2 étant telles, que le plan normal à chacune est osculateur de l'autre, et la normale principale étant l'intersection du plan osculateur avec le plan normal, les deux courbes ont mêmes normales principales, et ces normales réunissent leurs points correspondants. Il en résulte que pour la courbe 2, comme pour la courbe S, le ravon de la sphère osculatrice se confond avec la normale principale, et que S, lieu des centres des sphères osculatrices de 2, est aussi le lieu de ses centres de courbure.

Détermination de quelques grandeurs infiniment petites.

608. Distance d'un point dune courbe au plan osculateur infiniment voisin. — Soit MM' un arc infiniment petit de courbe à double courbure que nous désigne- . rons parrf*; projetons cet arc sur un plan perpendiculaire à la tangente en M.

Soient P la projection du point M, P' la projection de M', PT la tangente à la courbe P' au point P, et P'T' la tangente en P'.

Le plan osculateur de la courbe MM' au point M est MPT ; il est parallèle à MF. et par conséquent la distance que nous voulons évaluer est égale à la perpendiculaire P'Q, abaissée du point P' sur ce plan, ou, ce qui revient au même, sur la ligne PT. On a, en réunissant les points P et P' par une ligne droite, pour former le triangle rectangle QPP',

(') P'Q = PP' sin QPP'.

Le facteur PP', distance du point M' à la tangente en M, est infiniment petit du second ordre, et l'on a (586)

(î) PP'= -•

Nous avons donc seulement à évaluer l'angle QPP', mais dans cette évaluation se présente une difficulté singulière que nous signalerons à la fin du calcul, et par suite de laquelle un raisonnement très-spécieux va nous conduire à un résultat inexact.

L'angle I, formé par les tangentes PT, P'T', mesure l'inclinaison du plan osculateur en M sur le plan parallèle aux deux tangentes en M et M'; cet angle, moitié (566) de celui des deux plans osculateurs voisins, est égal par conséquent, en négligeant bien entendu les infiniment petits du second ordre, à — ■ L'angle TPP' sem-

ble devoir être la moitié du précédent et égal à t-> en sorte que la formule (i) flonne, pour distance du point M' au plan osculateur en M,

Mais une circonstance singulière rend ce résultat inexact. L'arc PP' présente, en effet, un cas exceptionnel. Le rayon de courbure au point P est nul. L'angle de contingence I de l'arc PP* est en effet infiniment petit du premier ordre, c'est-à-dire de même ordre que l'arc MM' représenté par s; mais l'arc PP', dont la

corde est égale à — » est du second ordre. Le rapport de l'angle de contingence à la

longueur de l'arc est donc infini, et le rayon de courbure est égal à zéro.

Le tbéorème dont nous avons déduit l'angle TPP' étant en défaut, il faut, pour calculer cet angle, recourir à d'autres considérations. Rapportons l'arc PP' à deux axes rectangulaires situés dans son plan, en prenant i)our axe des X la tangente PT, (;t pour axe des Y une perpendiculaire à cette tangente menée par le point P. L'ab.scisse du point P' par rapport à ces axes peut être considérée comme égale

c7 (iy ç

il PP', c'esl-k-dire à — ; l'angle PIT', qui a pour tangente ^, est égal à — • on a donc

d'où l'on conclut

en négligeant toujours, il doit être superflu de le rappeler, les infiniment petit.* d'ordre supérieur à ceux que l'on conserve.

On conclut de l'équation (4), en vertu du théorème démontré (549),

dy Tx

{■ipxy

dx~

et par conséquent

r I , ,-x'^ 2 dy s

- est la tangente de l'angle P'PT, elle peut remplacer le sinus dans la formule [\], et l'on a enfin,

Telle est la dislance de l'une des extrémités de l'arc infiniment petit s, au plan osculateur correspondant à l'autre extrémité.

609. Distance de deux tangentes infiniment voisines. — La tangente en M ayaîT pour projection de la courbe PP' le point P, et la tangente en M' se projetant suivant la droite P'T', la plus courte distance de ces deux tangentes est la perpendiculaire PK abaissée du point P sur P'T', et l'on a évidemment

PK^PP'sin PP'K.

PP' est égal, nous l'avons dit, à — ; quant à l'angle PP'K, il est la différence des deux angles KIP, IPP', précédemment évalués : le premier égal à — > et le second

UVRE TROISlkME. - A1>PLICATI0NS GÉOMÉTRIQUES. (.39

à ^ . on a donc

et par conséquent