PP'K

■f.r 3r br

Telle est l'expression de la plus courte distance des deux tangentes aux extrémités d'un arc infiniment petit s.

Ces deux théorèmes élégants sont dus à M. 0. Bonnet.

Définition de la développée.

610. La développée d'une courbe est une seconde courbe dont les tangentes rencontrent la première et lui sont normales.

D'après cette définition, pour obtenir une développée d'une courbe, il suffit de lui mener une série de normales suivant une loi telle, que leur ensemble forme une surface développable dont l'arête de rebroussement sera la développée.

On peut obtenir cette surface de la manière suivante : par un premier point M de la courbe, on mènera une normale arbitraire; puis, par un point M' voisin de .VI. une seconde normale qui rencontre la première; par un point M" voisin de M', une normale qui rencontre la seconde, et ainsi de suite : chacune de ces normales »'st déterminée, quand on se donne son point de départ, par la condition d'être sftuee dans le plan normal correspondant, et de rencontrer une droite donnée; leur ensemble forme un polygone qui, lorsqueles points M, M'serapprochentindéfininient. a pour limite une développée. La première normale issue du point M étant arbitraire, chaque courbe a une infinité de développées. Une courbe à double courbure, (le même qu'une courbe plane, est dite la développante de sa développée.

Longueur d'un arc de développée.

611. Les développées d'une courbe à double courbure partagent la propriété caractéristique de la développée d'une courbe plane : un arc de développée est égal à la différence des tangentes à ses extrémités, comprises entre leurs points de contact et leur intersection avec la développante.

La démonstration donnée (22) s'applique sans modification. Lorscju'iliii- droKr se meut en restant tangente à la courbe parcourue par l'une de ses extrémités, et normale à celle que parcourt l'autre, la variation de sa longueur entre deux positions quelconques est égale à la longueur de l'arc auquel la droite est resiée tan-

gente : que la droite se meuve ou non dans un même plan, cela ne change rien a la démonstration.

On a vu (21) que la variation de longueur d'une droite qui se déplace infiniment peu est la somme des déplacements de ses extrémités, respectivement projetées sur la direction de la droite. Lors donc que l'une des extrémités se déplace tangentiellement à la droite, le terme correspondant dans la variation de la longueur est égal à l'arc infiniment petit qu'elle a parcouru ; pour que cet arc représente la variation totale de longueur, il est donc nécessaire et suffisant que le déplacement de l'autre extrémité soit normal à la droite. D'après cela, si l'on porte sur les tangentes à

une courbe quelconque des longueurs MT, M'T', M"T", dont les différences soient égales aux arcs qui séparent les points de contact, la première longueur MT étant d'ailleurs entièrement arbitraire, le lieu des points T, T', T" sera normal à toutes les tangentes; il est par conséquent une développante de la courbe donnée.

On peut énoncer le résultat précédent en disant qu'un fil étant enroulé sur la courbe MM'M", et l'une des extrémités étant fixe, si on le déroule en laissant toujoui^ la portion déroulée tendue en ligne droite dans la direction de la tangente au point où elle se sépare de la courbe, chacun des points du fil décrira une développante.

612. On peut facilement donner une forme analytique aux démonstrations précédentes.

Soient t, u, v les coordonnées d'un point quelconque d'une courbe donnée S, et X, y, z, celles du point obtenu en portant, à partir du point de contact, une longueur/sur la tangente au point t, u, v. Cherchons la condition nécessaire et suffisante pour que la courbe 2, lieu des points x,j, z, soit la développante de la courbe S.

En nommant a, |S, 7 les angles formés avec les axes par la tangente au point t, u, V, on a,

jr = / + /ros y., ■ (1) r = «+/cosp,

z = l'-t-Zccsy;

on en conclut

dx = (Il -+- Id CCS a -f- cos a dl,

* dy=du-^ Id cos P -+- cos (3 <//,

dz=dv -\- Id cos y -H cos y <//.

Ajoutons ces équations après avoir multiplié la première par cos a, la seconde par cos p, et la troisième par cos 7, en ayant égard aux équations

^ cos'a+cos'P + cos'y = I, cos xd cos a -f- cos [3 d cos (3 + cos y rfeos y = o ,

nous aurons,

f ■? 1 rf.r cos a + f/j cos |3 + rfz cos y = cos «<//-!- cos ;3 rfw -(- cos y dz -h dl.

.Mais en nommant ds la différentielle de l'arc de la courbe S, on a

cos a

et l'équation (3) devient

j / o j dn -\- du' -\- dv' ,, ,

dx cos (x-\-dy cos p + 02 cos y = -. \- dl =: ds-\- dl.

« du

dS'

cos [3 = ^,

cos y = T-

La condition nécessaire et suffisante pour que ds -i- dl = 0, est donc que le premier membre soit nul, et que, par conséquent, la tangente à la courbe 2, qui forme avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à dx, dy, dz, soit perpendiculaire à la droite /, qui forme les angles a, p, 7.

613. La normale principale de la développée est parallèle, en chaque point, à la tangente correspondante de la développante.

Considérons en effet deux normales voisines perçant la développante en M et M', et touchant la développée aux points correspondants T et T'. La normale principale

en T est perpendiculaire à MT, et située dans le plan osculateur de la courbe TF. lequel (571 ) touche suivant MT la surface développable, lieu des droites TM, T'M'. et contient par conséquent la tangente k la courbe MM' située sur celte surface. La 1. 81

normale principale eo T et la tangente en M étant dans un même plan et perpendiculaires toutes deux à la droite MT, elles sont parallèles.

614. 11 est facile de démontrer la même propriété par le calcul. En nommant en effet t, u, V les coordonnées du point T, eix,y, z celles du point M et / la distance qui les sépare, on a trouvé (612)

dx=^dt -{- Id cos a -{-cos a dl.

dy z=du -\- Id CQS p -^ cos |3 dl.

dz = dv -H Id cos y 4- cos y dl ;

mais on a

dl-irds:=o.

d'ailleurs,

dt du ^ dv -=-=cosa, — r=cos3, -j-=cosy ds ds ^ ds '

par conséquent,

dt -h cosarf/= o,

c?M + COS(3c?/ = o,

dv-\- cosy dl=:o.

et les équations (

) se réduisent à

dx = Id cos X ,

df = Id cos (3 ,

{/z = /e?cosy.

Elles prouvent que la direction qui fait avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à dx, dy, dz, c'est-à-dire la tangente à la développante, est parallèle à celle qui fait des angles dont les cosinus sont proportionnels à rfcos «, (^cosjS, dcosy, c'est-à-dire à la normale principale à la développée.

Surface lieu des développées .

615. Chaque point d'une développée est l'intersection de deux normales infiniment voisines delà développante. Il est donc situé sur l'intersection de deux plans normaux infiniment voisins de celle-ci, c'est-à-dire sur l'axe du plan osculateur; toutes les développées d'une courbe sont donc situées sur la surface lieu des axes des cercles osculateurs. Cette surface, lieu des développées, est aussi le lieu des intersections successives des plans normaux de la développante, c'est-à-dire la surface développable enveloppe de ces plans normaux, qui a (604) pour arête de rebroussement le lieu des centres des sphères osculatrices.

UVRE TROISIÈME - APPLICATIONS GÉOMÉTRKJUES. GW

616. Les développées situées sur cette surface développable sont telles, que, par le développement de la surface sur un plan, elles se transforment toutes en lignes droites. Elles sont par conséquent les lignes les plus courtes que l'on puisse tracer entre deux de leurs points sur la surface développable.

La normale principale d'une développée étant en effet parallèle à la tangente au point correspondant de la développante, elle est perpendiculaire au plan normal de celle-ci, c'est-à-dire au plan tangent de la surface développable lieu des développées. Une développée a donc en chaque point sa normale principale, et par conséquent aussi le plan osculateur qui la contient, perpendiculaire au plan, tangent lit' la surface développable sur laquelle elle est tracée. Or nous allons montrer qu'une courbe, dont le plan osculateur est en chaque point normal à la surface développable sur laquelle elle est tracée, se change en ligne droite par le développement de celle-ci.

Pour cela, cherchons quelle est la courbure de la transformée d'une ligne quelconque tracée sur une surface développable que l'on développe. Lorsque cette courbure sera nulle, la transformée sera rectiligne.

Considérons d'abord un polyèdre dont les arêtes sont les intersections successives d'une séri%de plans; il suffira de supposer que les plans successifs se rapprochent indéfiniment pour que ce polyèdre soit remplacé par une surface développable, à laquelle les résultats obtenus s'appliquent comme limite. Soient AM,

BN, BP trois arêtes consécutives du polyèdre, et mn, iip, deux côtés d'un polygone tracé sur la surface. Pour développer le polyèdre sur un plan, il faudra faire successivement tourner chaque face autour de Tarète qui la réunit à la face voisine. Dansée mouvement les cotés mn et np ne changeront pas de longueur, mais l'angle formé par eux, ou, ce qui revient au même, par leurs prolongements, sera altéré. Soit np' la position de np après la rotation. Posons m'np = i, m'np' = i' : np, np' sont deux génératrices d'un cône dont «B est l'axe, leur plan est donc à la limite tangent à ce cône, et par conséquent perpendiculaire au plan B«//, ou, ce «|ui revient au même, à m' np' . On petit donc, en passant a la limite, regarderie

Hi.

trièdre npp'm' comme rectangle suivant l'arête np' , et si l'on pose

m' np = c, m' np' :=;£',

que l'on nommé Q l'angle dièdre formé par la hcep' np ayecpnm', on aura

lang s' = tang s ces 0 ,

ou, ce qui revient au même, e et s' étant infiniment petits,

i' = £cos 0.

Telle est la relation qui lie l'angle de contingence i' de la courbe transformée, à l'angle de contingence £ de la courbe primitive. Q désigne évidemment l'angle formé par le plan osculateur de la courbe limite avec le plan tangent à la surface développable, mené par la tangente à cette courbe. L'élément de la courbe ne changeantpasde longueurdans le développement, le rapport des courbures est celui des angles de contingence, et par conséquent, en nommant p le rayon de courbure de la courbe tracée sur la surface développable, et js' celui de la transformée après le développement de la surface, on a

I cosS •

Pour que - soit nul, c'est-à-dire pour que la transformée soit une ligne droite, il

faut et il suffit que ces Q soit égal à zéro, c'est-à-dire que le plan osculateur de la courbe soit normal à la surface sur laquelle elle est tracée.

617. Toutes les développées d'une courbe se transforment en lignes droites pa le développement de la surface développable qui les contient. Mais la proposition réciproque ne serait pas exacte: toute courbe tracée sur la surface développable, et qui par le développement devient une ligne droite, n'est pas pour cela une développée. * .

Les lignes droites dans lesquelles se transforment toutes les développées concourent en un même point.

Imaginons en effet la surface développable enveloppe des plans normaux d'une courbe donnée, sur laquelle se trouvent toutes les développées de cette courbe. Concevons un plan enroulé sur elle et qui se déroule en tournant successivement autour des diverses génératrices. A un instant quelconque de l'opération, ce plan touche la surface suivant une génératrice et, sur la portion déjà déroulée, les diverses développées se sont transformées en lignes droites qui se raccordent avec les parties encore situées sur la surface, et les touchent précisément sur cette génératrice de contact où la portion déjà développée de la surface se raccorde avec celle

qui ne l'est pas encore. Tous ces points, où les diverses développées viennent couper une même génératrice de la surface développable, correspondent à un seul et même point de la courbe primitive dont le cercle osculateur a pour axe cette génératrice; les tangentes aux diverses développées vont concourir en ce point. Lorsque le plan tangent en se déroulant touchera successivement la surface développable suivant toutes les génératrices, le développement des développées les transformera donc à chaque instant en une série de lignes droites concourant en un point variable, qui, entraîné parle plan tangent mobile, parcourt précisément la courbe donnée, et lorsque le développement sera terminé, il en sera évidemment de même, et toutes les développées transformées iront concourir en un même point.

618. La courbe lieu des centres de courbure d'une courbe donnée est située sur la surface lieu des axes des cercles osculateurs qui contient toutes les développées, mais elle n'est jamais elle-même une développée. Chacun de ses points est le pied de la perpendiculaire abaissée du point correspondant de la courbe donnée sur la génératrice correspondante de la surface développable. Nous venons de voir qu'en supposant les points de la courbe primitive liés aux génératrices correspondantes de la surface développable et tournant avec les plans tangents dans le développement de celle-ci, pendant le mouvement de développement du plan mobile que l'on suppose enroulé sur la surface, chacun d'eux parcourra la courbe ellemême, en sorte qu'ils se trouveront tous réunis, après l'opération, au point même où viennent concourir les droites transformées des diverses développées. Les points de la courbe lieu dos centres de courbure sont donc, après ce développement, les pieds des perpendiculaires abaissées d'un point fixe sur les transformées des génératrices, c'est-à-dire sur les tangentes à la courbe transformée de l'arête de rebrcyissement lieu des centres des sphères osculatrices.

619. Toutes les développées se transformant, par le développement de la surface développable qui les contient, en droites issues d'un même point, l'une de ces droites représente, non-seulement la développée qui lui correspond, mais encore toutes les tangentes à cette développée supposées entraînées dans le développement avec le plan tangent qui les contient. Si l'on considère deux développées différentes, les tangentes à ces développées qui correspondent à un méuje point de la I ourbe primitive sont situées dans un même plan normal à celle-ci, et, par consé- (jucnt, dans un même plan tangent à la surface développable lieu des développées. Le développement n'altérera donc pas l'angle qu'elles forment, et cet angle est égal, par conséquent, à celui des deux droites qui, après le développement, représentent les deux développées. D'après cela, si l'on considi-re deux développées d'une même courbe à double courbure, et les deux groupes de normales à celle-ci, qui sont tangentes à chacune d'elles, ces normales se couperont deux à deux sur la

646 PIUiMlËKE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,

courbe donnée sous un angle constant. En d'autres termes, si l'on considère le.^ normales qui enveloppent une première développée, pour obtenir celles qui en enveloppent une seconde, il suffira de faire tourner chacune d'elles d'un angle constant autour du point où elle rencontre la courbe, sans la faire sortir, bien entendu, du plan normal qui la contient.

620. Si l'on considère la série des normales qui enveloppent une même développée, l'angle formé par Tune d'elles avec le plan osculateur correspondant varie d'un point à l'autre, et reçoit en chaque point un accroissement constant lorsque l'on substitue une développée à une autre. La différentielle de cet angle est, par conséquent, indépendante de la développée considérée.

Cette différentielle est égale à l'angle de deux plans osculateurs infiniment voisins.

Soient, en effet, M et M' deux points infiniment voisins d'une courbe à double courbure. Considérons celle des développées à laquelle est tangente la normale

principale en M; l'inclinaison de cette normale sur le plan osculateur étant égal a zéro, la différentielle cherchée est l'inclinaison du plan osculateur en M' sur celle des normales au point M' qui va rencontrer la normale MO. Or on a vu (599) que cette inclinaison est précisément l'angle des plans osculateurs en M et en M'.

621. L'analyse conduit aisément à la même conclusion. (Considérons, comme nous l'avons fait (590), en un point M de la courbe donnée, la tangente, la normale principale et la perpendiculaire au plan osculateur qui forment un trièdre trirectangle. Soient a, |3, y, X, [j., v, |, u, Ç, les angles formés par ces trois droites avec les axes de coordonnées; désignons par l',p.', v', les angles formés avec les mêmes axes par celle des normales qui est tangente à la développée considérée; en nommant 5 l'angle de cette normale avec l'axe du cercle osculateur, on a

(i) cos6=:cos>/cosH -+- COS fJ.' COS U-t-COSl/' cosÇ,

Éà

l'I par conséquent, en différentiaut,

— sin 6dQ = cosï.'dcosl-\-cosu.'dcosu-i-cosv'dcosZ ■+- cosidcosl' -+- nisjdcosa'

-f-cosÇrfcosv';

en nommant rf/j l'angle de deux plans osculateuis infiniment voisins, on a

rfcos 2 = rfyj cosX, d CCS u=:dr) ces fx , rf CCS Ç = rfn CCS V ;

de plus, </cosX', rfcos |x', rfcos v' sont proportionnels aux cosinus des angles formés avec les axes par la normale principale de la développée qui est (613) parallèle à la tangente de la développante; il en résulte que la somme des trois derniers termes (le l'équation (2) est égale à zéro, et cette équation se réduit à

( 3 ) — sin 9 e? 9 = Jïî ( ces >, ces >,' -I- cos a CCS u' + ces 1/ cos v' ).

Le multiplicateur de rfvj dans le second membre est le cosinus de l'angle formé par la normale principale de la courbe donnée avec la normale qui touche la développée: il est évidemment égal à sin 0, et l'on a, par conséquent,

dO — ^d-n,

ce qui démontre la proposition énoncée.

Équation des développées .

622. Après le développement sur un plan de la surface développable qui contient toutes les développées, les génératrices sont représentées par des lignes droites tangentes à une même courbe qui est la transformée de l'arête de rebroussement. Les développées sont représentées par des lignes droites qui coupent ces diverses tangentes. Si l'on nomme a et a^ les angles sous lesquels une même développée coupe deux génératrices de la surface développable, et ù l'angle formé par ces génératrices après le développement, on a, évidemment,

Cela posé, pour chercher l'équation des développées, après avoir choisi sur la surface développable une génératrice initiale à laquelle correspond l'angle «o, on calculera l'angle Û relatif à une génératrice quelconque. Cette détermination exigera l'emploi du calcul intégral. La différentielle dil, angle de deux génératrices infiniment voisines do la surface développable, est en effet l'angle de deux plans osculateurs correspondants de la courbe donnée, et peut être considérée connue

connue. Supposons que l'on en ait déduit l'expression de ù en fonction des coordonnées du point correspondant de la courbe donnée. Soit p le rayon de courbure en ce point, et p, sa dislance au point correspondant de la développée, p, est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont l'un des côtés est p, et dans lequel l'angle opposé à ce côté est «o + û : on a donc

sin(a„ + û)

Cette valeur de p, permettra, lorsqu'on aura choisi «o» de déterminer le point de la développée correspondant à un point donné de la développante, et les coordonnées d'un point pourront ainsi s'exprimer en fonction d'une seule variable, dont l'élimination fera connaître les équations de la courbe.

623. M. 0. Bonnet a proposé, pour la détermination analytique des développées, une méthode plus directe, sur laquelle nous aurons à revenir. Nous nous bornerons ici à montrer comment il ramène le problème à la détermination d'une fonction satisfaisant à une certaine équation différentielle.

Le plan osculateur de la développée contient la tangente et la normale principale; la première de ces lignes est normale à la développante, et la seconde (611) parallèle à la tangente de celle-ci. Il en résulte que les plans osculateurs d'une développée sont des plans menés par les tangentes de la courbe proposée, et tels, que l'intersection de chacun d'eux par le plan infiniment voisin soit une normale à la courbe.

C'est en exprimant cette propriété que l'on trouve l'équation annoncée.

Soient (i) x = az-i-p, jr=zbz-hq,

les équations de la tangente à la courbe proposée, a, b, p, q, étant des fonctions connues d'un même paramètre a, vérifiant (572) la condition

. (la db

Le plan osculateur de la développée passant par la droite (i) a pour équation

(3) [x — az — /;)4->.(.r — bz — 9) = o,

OÙ X représente une fonction inconnue de a. La tangente à la développée étant l'intersection de deux plans osculateurs infiniment voisins, est représentée par l'équation (3) et par sa différentielle

(4) zda-hdp-^l{zdb-+-dq) — fl?X(j — bz — ^) = o.

La condition pour'que la droite représentée par les équations (3) et (4) soit perpendiculaire à la tangente de la courbe donnée est

et si l'on trouve une fonction X qui satisfasse à cette équation, on aura l'équation générale des plans osculateurs de la développée, et l'on pourra (575) en déduire l'équation de celle-ci.

EXERCICES

1. Les équations d'une courbe étant données, reconnaître si cette courbe est située tout entière sur une même sphère.

■2. Le plan mené par une tangente et par un point pris sur la courbe à distance infiniiiioni petite du point de contact forme avec le plan osculateur un angle égal au tiers de celui de deux plans osculateurs infiniment voisjns.

3. La perpendiculaire commune à deux tangentes infiniment voisines forme, avec la perpendiculaire à l'un des plans osculateurs correspondants, im angle égal à la moitié de l'angle de deux plans osculateurs infiniment voisins.

4. On donne deux courbes tangentes l'une à l'autre en un point O; à partir de ce point on porte sur chacune d'<'lles une longueur infiniment petite égale à /: trouver la direction limite de la ligne qui réunit les extrémités de ces longueurs.

3. Les centres de courbure de toutes les projections d'une courbe sur des plans conduits par la tangente en tin point sont situés sur une même droite perp(>ndirulaire au plan osciiliiieur de la courbe.

<îîiO PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.