THÉORIE DE LA COUHBURE DES SURFACES
Courbure des sections normales.
624. La courbure d'une surface en un point n'offre pas une idée aussi simple que celle d'une ligne courbe, et pour la faire connaître il semble nécessaire de déterminer, non-seulement les courbures des sections, mais encore celle des lignes à double courbure qui passent par le point considéré. Ces diverses courbures sqnt liées, pour une surface quelconque, par des lois remarquables que nous allons faire connaître dans ce chapitre.
Nous étudierons d'abord la courbur'e des sections faites dans la surface par les plans normaux. Prenons pour axe des Z la normale OZ en un point 0 de la surface considérée, et pour axes des Xet des Y des droites perpendiculaires l'une à l'autre, menées dans le plan langent en 0. Soit z =ip(a?, y) l'équation de la surface rapportée à ces axes, z, -j- ^^ j- sont évidemment nuls tous les trois lorsque l'on suppose *•=: 0,^ = 0. Nous allons chercher la courbure de la section faite dans la surface par un plan conduit suivant l'axe des z, et incliné d'un angle a sur le plan ZOX. L'équation d'un tel plan est j =a; tang a.
Rapportons la courbe suivant laquelle il coupe la surface donnée à deux axes situés dans son plan, dont l'un OZ soit précisément l'axe des Z, et l'autre OX, la trace de ce plan sur celui des XY. En nommant x, et z, les coordonnées d'un point quelconque de la courbe par rapport à ces nouveaux axes, et x, y, s celles du même point par rapport aux axes primitifs, on a évidemment
(') ^=.r, cosa, fll^
et par conséquent, le point étant situé sur la surface dont l'équation est s = ç {x,y), on a
5, = ^(jr, cosa, x,shia):
c'est l'équation de la courbe rapportée aux axes OZ, OX,, situés dans son plan. Le
layon de courbure est donné par la formule
[-(Êri
dz.
dans laquelle il faut supposer ar, =o, et par suite -^ = o, car la courbe est évi-
demment tangente à l'axe des X,. Pour calculer -j-j^ » il suffit de différenlier deux fois par rapport à a-, l'équation
en se rappelant les relations (i): on obtient ainsi
dz
dz dx dz dy
cosa
dz
dxx dx dx, dy dx^ * '" " dx et en différentiant de nouveau par rapporta x,,
sin «
dz dy'
-f— - = cos ' a -j— - -h 2 Sin a cos a -; — —■ dx'. dx' dxdr
-sin' a
Les formules (3) et (4) se rapportent à un point quelconque de la courbe d'intersection; pour en déduire les valeurs des dérivées relatives au point 0, origine des
coordonnées, il faut j supposer a; = o, 7=0, et on a alors ^ = o» ^ — o; les dérivées du second ordre -t-^,» 7~7~' 7^» prennent des valeurs déterminées que nous représenterons par A, B, C, et nous aurons
dz dx,
-— T = A cos' « -H ?. B sin « tos a + C sin' a ; dx]
z ne différant pas de s,, les valeurs substituées dans l'équation fa) f(mt connaître le rayon de courbure p, et l'on a
' fA, cos' a -I- a B sin a cos « -H C sin ' «
Cette formule résout complètement le problème; elle montre que la loi suivant laquelle varie le rayon de courbure p est toujours la même, et que les valeurs numériques des trois constantes A, B, C varient seules d'une surface à l'autre.
625. 11 peut sembler bien extraordinaire, au premier abord, que la loi suivant
(j-a PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
laquelle varient les rayons de courbure des- sections d'une surface soit déterminée indépendamment de la définition particulière de celle-ci. Rien ne semble en effet rattacher les unes aux autres les diverses valeurs du rayon de courbure. Lorsque l'on se donne un point d'une surface et la normale en ce point, les sections faites dans la surface parles divers plans conduits suivant la normale restent arbitraires cl indépendantes les unes des autres. Quelles que soient les courbes, pourvu qu'elles se succèdent en se déformant suivant une loi continue, leur ensemble formera une surface, et rien ne restreint évidemment la loi suivant laquelle peuvent varier les rayons de courbure. Ce raisonnement bien simple montre seulement que le théorème précédemment démontré doit présenter des exceptions. Sa démonstration ellemême, si on l'examine de près, conduit d'ailleurs à la même conclusion. Nous
avons admis en effet que les dérivées y-,» , , ; ^ prennent, lorsqu'on y suppose a; = o, j = o, des valeurs déterminées qui ont été désignées par A, B, C; or il peut arriver que ces expressions, quoique fonctions déterminées de x et de j, deviennent indéterminées pour ce système particulier de valeurs. C'est ce qui a lieu
par exemple lorsqu'elles dépendent du rapport - 5 dont, pour x = o,y = o, la valeur est arbitraire. Ces exceptions, qui ne peuvent se présenter qu'en des points singuliers de certaines surfaces, ont d'ailleurs peu d'importance, elles n'infirment pas plus la théorie générale de la courbure, que l'existence d'un point anguleux tel que le sommet d'un cône n'infirme celle du plan tangent.
626. La courbure - d'une section normale quelconque a pour expression
- = A cos' a 4- 2B sin a cos a -H (] sin' a.
Les constantes A, B, C, qui varient d'une surface à l'autre, et d'un point à l'autre sur une même surface, suffisent, quand elles sont connues, pour déterminer les courbures de toutes les sections normales.
Lorsque l'angle a varie, le trinôme qui représente - passe par une valeur
maxima et par une valeur minima que l'on obtiendra toutes,deux en égalant la dérivée à zéro ; on a ainsi
(C — A)sin 2a+ 2B ces 2 a = o, 2B
tang 2 X
Cette équation fournit pour « un nombre infini de valeurs auxquelles correspondent, comme on sait, deux directions perpendiculaires l'une a l'autre. La seconde
dérivée de - est
