C .V ) COS
Si l'on y remplace successivement « par les deux valeurs a, et a, -}- -, ^i annulent la première dérivée, on obtient évidemment deux résultats de signes contraires. L'une de ces valeurs correspond par conséquent à un maximum, et l'autre à nn minimum.
627. Les deux sections normales, perpendiculaires l'une à l'autre, et dont les courbures sont maxima et minima, se nomment les sections principales de la surface au point considéré.
Si nous prenons les plans de ces deux sections, dont l'existence est maintenant démontrée, pour plan des ZX et pour plan desZY, les valeurs maxima et minima de
la courbure correspondront à a = o, a= - i et l'on aura alors, pour l'une et pour
l'autre, '■M'i
lang 2x = o;
la constante désignée par B doit par conséquent être égale à zéro, et l'expression de la courbure d'une section quelconque prend la forme
(i) ' - = Acos'a + C.sin'a.
Pour obtenir les courbures maxima et minima que nous nommerons 5- et ~- , il faut faire successivement a — o, «= -» et l'on trouvera tj- = A, ^ = B, en sorte
2 Kl Itj
que l'expression générale de la courbure d'une section normale peut se mettre .sous
la forme
II I
(2) - = -n- cos'a-i- -=7- sin'a.
De cette équation on déduit un tbéorcrae remarquable.
Si l'on considère deux sections normales perpendiculaires l'une à l'autre, on obtiendra leurs courbures au point 0, en remplaçant successivement dans l'équa-
tion (2) a par deux valeurs w et « + - ; on aura ainsi
on en déduit
- =rr «"os' w -+- 77- sin' 'ii , pi Kl l\i
- := — Sin' f.) -f- TT ces' 5) ;
p, R, Kl
p. pi Ri K:
654 l'REMlÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
c'est-à-dire que la somme des courbures de deux sections perpendiculaires l'une à l'autre est constante et égale à la somme des courbures maxima et minima.
628. Nous devons remarquer que la formule employée pour le rayon de courbure indique par le signe qu'elle lui assigne (492) le sens de la courbure. L'expression générale de - est donc susceptible de devenir, suivant les cas, positive ou
négative, et la valeur zéro, lorsqu'elle est atteinte, n'est pas, en général, une valeur minima. Si donc le rayon de courbure d'une section est infini, il ne doit pas, d'après notre analyse, être considéré comme un rayon de courbure maximum, et la section (jui lui correspond n'est pas en général une section principale.
Si nous considérons, par exemple, un byperboloide gauche, parmi les sections normales que l'on y peut faire autour d'un point, il y en a deux qui sont rectilignes,
et pour lesquelles la courbure - est égale à zéro. Ce ne sont pas des sections principales: - en devenant nul change en effet de signe et n'acquiert pas une valeur
maxima. Les sections principales sont celles qui correspondent aux plus grandes
valeurs absolues, l'une positive et l'autre négative, de -• Les sections principales
sont donc deux sections à courbures opposées, et dont chacune a un rayon de courbure minimum entre toutes celles qui sont courbées dans le même sens.
Courbure d'une section oblique.
629. Considérons actuellement une section oblique de la surface, et cherchons l'expression de son rayon de courbure en un point. Prenons toujours pour axe des Z la normale à la surface au point considéré, et supposons l'axe des X dirigé suivant la droite d'intersection du plan tangent et du plan de la section considérée. Ce plan, passant alors par l'axe des X, aura pour équation
(i) "^ j-=^2langy,
où 7 désigne l'angle qu'il forme avec le plan des XY. Soit
l'équation de la surface. Rapportons la courbe d'intersection à deux axes rectangulaires situés dans son plan, dont l'un soit l'axe des X actuel, et l'autre la trace du plan de la courbe sur celui des'ZY; en nommant x,, z, les coordonnées d'un point de la courbe par rapport à ces deux axes, et x, y, z les coordonnées du même
point par rapport aux trois axes primitifs, on a évidemment
(3) s = 2,cosy, #
j = z,siny,
et l'équation (a) donne par conséquent
(4) z,cosy = !p (a:,, 2, siny),
qui est l'équation de la courbe par rapport à des axes situés dans son plan. L'expression du rayon de courbure est
Pour obtenir les dérivées -j-' •, -^ , qui y figurent, prenons la dérivée par rapport il r, de l'équation
en se rappelant les formules (3), on aura
,!>. d z, dz dz d z, .
o) -7— ces y ::=; -j- -t- -j- ■ -r— sin y.
dx, ' dx dy dx, '
Celle équation fournira la valeur de t— '; en prenant de nouveau la dérivée par rap-
d''z portât-,, on obtiendra -t-^» mais comme nous voulons avoir seulenicnl la valeur
relative \x^ — o, le calcul est susceptible d'une simplification. Remarquons en
elï'et que le dernier terme du second membre contient deux facteurs -j^ et -.-> qui,
évidemment, s'annulent au point considéré. Or, pour prendre la dérivée de ce produit, on ne doit faire porter la différentiation que sur un seul facteur à la fois; les deux termes qui composent celte dérivée sont par conséquent nuls, (juand on y suppose a;, = o, il est donc inutile de les écrire, et l'on a, pour le point particulier (jui nous occupe,
, , </'a, d^z d^z dz,
-^ étant nul, puisque la courbe est évidemment tangente à l'axe des X, il reste,
pour le point 0,
^ ' W . dx] ces y '
la valeur de j-j correspondant au point dont les coordonnées sont x^o, y — o,
et étant, par conséquent, une constante déterminée que nous désignerons par A.
dz D'après ce résultat, et -7-^ étant égal à zéro, la valeur du rayon de courbure i^^
devient
cos y (9) P>= A ■
Si l'on fait 7 = 0, cette formule représente le rayon de courbure de la section normale conduite suivant l'axe des X, et l'on a, en le désignant par p ,
On conclut des équations (g) et ( 10)
(") p^ = p, cosy,
et par conséquent le rayon de courbure d'une section oblique est égal au rayon de courbure de la section normale qui a même tangente, multiplié par le cosinus de l'angle formé par le plan des deux sections.
Courbure d' une ligne à double courbure.
630. On peut déduire dii théorème précédent le rayon de courbure d'une ligne quelconque tracée sur une surface donnée. Nous allons prouver en effet que la courbure, en un point quelconque, d'une ligne tracée sur une surface, est égale à celle de la section plane faite dans la surface par le plan osculateur de la ligne considérée en ce point.
Le plan osculateur est en effet, dans le voisinage de son point de contact, à une distance intiniment petite du troisième ordre delà courbe, c'est-à-dire, comme on ■ l'a expliqué (562), qu'un point situé sur la courbe à distance infiniment petite du premier ordre du point de contact est à distance infiniment petite du troisième ordre du plan osculateur. Il en résulte évidemment qu'il est aussi à distance infiniment petite du troisième ordre de l'intersection de la surface par le plan osculateur, le seul cas d'exception possible étant celui où le plan osculateur est tangent à la surface, et par conséquent, en laissant de côté ce cas exceptionnel, les deux courbes ont même cercle osculateur.
Il résulte de là que le rayon de courbure d'une courbe quelconque tracée sur une surface est égal au rajon de courbure de la section normale qui a même tangente, multiplié par le cosinus de l'angle formé par le plan de cette section avec le plan osculateur de la courbe considérée. Do toutes les courbes tracées sur une surface donnée et ayant même tangente, celle qui a le plus grand rayon de courbure est celle dont le plan oscukteur est normal : elles sont évidemment en nombre infini.
Ligne mininta sur une surface quelconque.
631. Il résulte du tbéorème précédent que sur une surface quelconque, la propriété caractéristique de la ligne minima est d'avoir en chaque point son plan osculaleurnormal à la surface. Il est évident en effet que si une ligne est la plus courte entre ses deux points extrêmes, elle est à fortiori la plus courte que l'on puisse mener entre deux points intermédiaires quelconques, et, en particulier, entre deux points infiniment voisins arbitrairement choisis sur sa longueur. Mais lorsque l'on se donne deux points infiniment voisins d'une surface, la corde de l'arc qui les réunit étant déterminée, cet arc est d'autant moindre (517) qu'il a un plus petit rayon de courbure : d'un autre coté, la tangente est déterminée, puisqu'elle peut être considérée comme confondue avec la corde infiniment petite que l'on s'est donnée; le rayon de courbure sera donc maximum si le plan osculateur est normal à la surface, et cette condition doit être remplie en chaque point de la courbe minima.
Ce théorème a déjà été démontré (616) dans le cas d'une surface développabic; nous le déduirons plus tard d'une autre théorie, et nous aurons souvent occasion de l'appliquer.
Formules plus générales relatives à des axes de coordonnées quelconques .
632. Après avoir obtenu les formules générales qui permettent d'exprimer le ravon de courbure d'une courbe quelconque tracée sur une surface, en fonction des rayons de courbure principaux et des éléments qui déterminent la position du plan osculateur de la courbe considérée, il est indispensable de reprendre la même théorie sans faire aucune hypothèse sur la position des axes de coordonnées, afin de pouvoir trouver, pour une surface quelconque rapportée à des axes quelconques, la position des sections principales et l'expression de leurs courbures.
Considérons une courbe quelconque située sur une surface donnée rapportée à des axes quelconques, et cherchons l'expression de son rayon de courbure.
X, y, z étant les coordonnées d'un point de la courbe, le plan normal en ce point a pour équation ( I ) ( / —'x)dx -ir^u— y)dy ->r{v — z)dz = o.
L'équation du plan normal infiniment voisin s'obtiendra en changeant x, y, z en x-\- dx, y -\- dy, z + dz, de sorte que la droite suivant laquelle se coupent les deux plans, c'est-à-dire l'axe du cercle osculateur, est représentée par l'équation (i) jointe à sa différentielle
( 2 ) ( / — x)d''x -+■ { u —y) d'y -^{v — z)d''z — dx^ — dy\-^ dz'' = o .
(]ette droite représentée par les équations (i) et (?.) est la perpendiculaire élevée au plan osculateur de la courbe considérée par le centre de courbure de cette courbe : étant située dans le plan normal d'une courbe tracée sur la surface, elle rencontre évidemment la normale à la surface dont les équations sont
ti—y-hqiv — z) = o,
et la combinaison des quatre équations précédentes donne pour coordonnées dii point d'intersection
en posant
(5) d'z—pd'x — qd'y = DdsK
Soit N la portion de normale à la surface, comprise entre la surface et le point dont nous venons de déterminer les coordonnées: le rayon de courbure que nous cherchons est évidemment la projection de N sur le plan osculateur de la courbe. Si donc nous désignons par 0 l'angle formé par la normale à la surface avec le rayon de courbure de la courbe, l'expression du rayon de courbure p sera
(6) p = Ncos9; mais les équations (4) donnent
on en conclut, en ayant égard à (5),
i-hp'+q'
(8) COS0 v^i +;?' + <?' .
or on a ,
dz = pdx + qdy ;
en (lifférentiant par rapport à l'arc s de la courbe considérée et posant
d'z d'3 d'z dJ'-'' dFdJ~-'' c7^~''
d'z=^ pd'x -+- qd^y + rdx^ + isdxdy -h tdy', et par conséquent (9) d'z — pd'x — qd^y= rdx' -\-2sdxdr-h Id)',
ce qui donne • '
''='iS)"--(t)(S)-'(ê)^
ou, en nommant u, /5, 7 les angles que la tangente à la courbe forme avec les axes,
(11) D = /-COS'a-+-2iCOS3£COSP+/COS';3,
et enfin
v^i + />' + y'cos6
^ ' ^ r cos' a H- 2« ces a cos (3 -|- / 00s' ^
On voit, par cette formule, que a et p restant constants, p est proportionnel à cos $. Si la courbe considérée a son plan osculateur normal à la surface, l'angle ô est nul, et le facteur cos 6 se réduit à l'unité; la formule (12) exprime alors le rayon de courbure de la section normale conduite suivant la tangente considérée. On voit que pour obtenir le rayon de courbure de toute autre ligne située sur la surface et ayant même tangente, il faut multiplier le rayon de la section normale par le cosinus de l'angle qu'elle forme avec le rayon de courbure de la courbe considérée.
633. Si nous nous bornons à considérer les sections normales faites en un point donné 0 d'une surface, l'expression générale de leur rayon de courbure est, (i'après ce qui précède,
*'' ' ^ rcos'a4-2«(;os«cosP-+- 'cos'j3 '
p, q, r, s, l sont des dérivées partielles, elles se réduisent pour le point considéré à des constantes dont la valeur numérique doit être considérée comme connue. Les seules quantités qui varient avec la direction de la section sont les angles a et /3 formés par la tangente avec les axes des X et des Y.
Pour déterminer les directions des sections principales,' il faut cliercber quelles valeurs de « et de |3 rendent maximum ou minimum le dénominateur
(2) rcos'a -+-2icos3<cos ji-l- /cos'P;
eos a et cos ]3 étant liés à l'angle 7 formé par la tangente avec l'axe des ;, par l'équation
(3) cos'a + cos' [3 + cos'y = I, qui a lieu pour toute direction, et par la relation
(4) ces y ^ ;> ces a + ^ ces (3,
exprimant que la direction de la tangente est perpendiculaire à la normale, qui forme, comme on sait, avec les axes, des angles dont les cosinus sont proportionnels à/?, </, — r.
L'élimination de cos 7 entre les deux équations (3) et (4) donne
(5) (i H- /?' ) cos^ a + 2/>^ cos « cos (3 + { I -+-q')cos' |3=: i;
l'expression (2) devant être maxima ou minima, sous la condition que l'équation (5) soit satisfaite, il faut égaler à zéro les deux différentielles, et l'on a
(rcosa + icos j3) rfcos3£ + (.scos x-h t cos(3)</cos (3 = 0, [{i-+-p^)cos se +pqcos^] dcosx -h[(H- </') cos|3 -r-pq cos ac] d cos j3 = o.
De ces deux équations on déduit, par l'élimination des différentielles,
/■cosa + i cos(3 __ / cos (3 + * cos 3;
(i-h p') cos (X -h- pq cos ^ (i 4-^') cos [3 -f-/»? cos a'
c'est-à-dire
(TJipqt — {i-\-q')s]cos'^-h[{i-^p')t— {i-+-q')r]cQS xcos^ -h [{i + p'')s—pqr]cos' a ~o,
et cette équation jointe aux relations (3) et (4) déterminera la direction des sections principales. On peut aisément vérifier que leurs directions sont perpendiculaires l'une à l'autre. Ecrivons en effet l'équation (7) sous la forme
(8) A cos' (3 + B cos a cos (3 4- C ces' a = o.
Soient «, /5, 7, a', p', 7' les angles formés avec les axes par les tangentes aux sections principales, on a
cos y = /> cos a + ^ cos (3 , cos y' = p cos a' H- q cos j3',
et l'équation qui exprime la perpendicularité,
cos a cos a' + cos (3 cos [3' + cos y cos y' =0, peut être remplacée par
cos a cos a' (1+/*') + cos (3 cos (3' {1 + q')-+- pq {cos x cos ^' -\- cos [3cosa') = o,
c'est-à-dire, en divisant par cos /3 cos /3',
, , cos a cos a' , .« , ., /cos a cos a' \
^ cosp cos^' ^ '' ^^ \cos 3 cos p /
COS X cos 3t
Or — —5» — -â-, sont les deux racines de l'équation (t) dans laquelle on con-
cos (3 cos [3' ^ ' '' '
. ,, cos « . j
sidere ^ comme inconnue; on a donc
cos p
cos a cos a
cos {3 cos P'
cos a cos a'
cos (3 cos {3' ~
et l'équation (9) devient
-ç^{^+p') + {^ + q^) — -ç^pq = o,
ou
équation qui devient identique lorsque l'on y remplace A, B, (i par leurs valeurs.
634. Après avoir déterminé les directions des sections principales, il nous reste à trouver l'expression des rayons de courbure correspondants. Reprenons pour cela l'équation
r cos' a -+- 2* cos « cos ^-h t cos' (3 et la relation
„ rcosa + «cos(3 < cos (3 -I- « cos a
^ (i-l-/>') cosa + /;gcos (3 ( n- g' ) cos (3 -+• />^ cos a
Si l'on multiplie par cos a les deux termes de la fraction qui Ibriue le premier membre de l'équation (6), et par cos ^ ceux de la fraction (|ui forme le second membre, et (jue l'on ajoute ensuite les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux pour former une fraction égale à chacune des deux autres, le nuiriérateur de la fraction ainsi obtenue sera précisément le dénominaleur I) de la valeur de p, et le dénominateur, en vertu de l'équation (5), est égal à l'unité. On :i donc
, , /• cos a 4- * cos fl ,.
( I -I- />' ) cos »+ pq cos |3
, t cos p + < cos X
^ (i-<-7') cos j3 -t- pf/cos3ï ""
En éliminant entre ces équations le rapport g» on trouve
et puisque l'on a
on en conclut
(i3) p'iri — s')—p \/ï-hp'-hq'[{i+p')t-h{i + q']r—2pqs]+{i-\-l}'-hq'y = o.
Cette équation a pour racines les deux rayons de courbure principaux de la surface au point considéré ; ces rayons sont toujours réels; il est facile de vérifier que l'équation a en effet toujours ses racines réelles; d'après la relation qui lie p a D, il suffit de prouver qu'il en est ainsi de l'équation (12) en D : or cette équation peut être mise sous la forme
(i4) [i){i+p')-r][B{i + f)-t]-{s-pqDY = o,
et il est clair qu'en substituant successivement à D, dans le premier membre, les valeurs
D = — 00, D=— ^, D = 4-co, -11^
on obtient les signes -1- , —, +; l'équation a donc deux racines réelles, l'une plus petite et l'autre plus grande que — = — -■ On aurait pu substituer à cette fraction , , et l'on aurait vu de même que l'une des racines est moindre, et l'autre
plus grande que -•
635. Il résulte des remarques précédentes que les deux racines de l'équation en D, et par suite les deux valeurs de p, ne peuvent être égales que si l'on a
de plus, la valeur commune de ces deux fractions est alors évidemment la valeur de D qui satisfait à l'équation ( i4), et l'on doit avoir par conséquent
s — pqO = o,
c'est-à-dire que chacune des fractions doit être égale à
^ pq
Les conditions néciessaires et suffisantes pour que les rayons de courbure soient égaux sont par conséquent
Il est important de remarquer qu'elles sont au nombre de deux, et que, réunies à l'équation de la surface, elles déterminent par conséquent un nombre fini de piTints que l'on nomme des ombilics, et pour lesquels toutes les sections normales ont même courbure.
636. L'équation ( 1 ) A ces' (3 4- B ces « CCS j3 + C ces' a = o ,
à laquelle satisfont les cosinus des angles formés avec deux des axes par l'une des directions principales, conduit à une relation remarquable entre les variations infiniment petites des quantités a;, y, z, p, q, lorsqu'on se déplace successivement sur cbacune des deux sections. Désignons en effet par la lettre d la différentielle relative à un déplacement effectué sur l'une des sections, et par la lettre à celle qui se rapporte à un déplacement sur l'autre section : les valeurs de cos j3 et de cos a correspondant à la première section sont proportionnelles à rfy et à dx, et celles qui
correspondent à la seconde le sont à <?y et à e^a; ; ^ et -^ sont par conséquent les
deux racines de l'équation
(7.) AM'-HB«-t-C = o,
et l'on a
dy 5x C dx àx A
dx àx A
On a d'ailleurs identiquement, comme on peut le vérifier, d'après les valeurs de A, B, C,
et par conséquent,
c'est-à-dire mais on a,
. dy oy dy o >\
dx ùx \dx ùx)
dx{ I àx -{- soy) + dy[six->r ld)')^=o; rdx-^ *$y=dp, t$x + liy = à({,
mtt PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
par conséquent,
( 3 ) dxnp->r dyoq = o;
on a évi(lemni(!nl aussi
(4) Qxdp-\-oydqz=o.
Ces deux équations sont l'expression d'un théorème fort important sur lequel nous auro"ns à revenir; elles expriment que les normales à la surface menée par deux points infiniment voisins d'une section principale peuvent être considérées comme se rencontrant lorsque l'on néglige les infiniment petits du second ordre. Les cosinus des angles formés avec les axes par la tangente à la section principale sont en effet proportionnels à dx, dy, dz, et ceux des angles formés par la normale le sont h p, q, — i . Ces deux directions étant perpendiculaires, on a
( 5 ) pdx -+- qdf — dz =^o.
La normale au point dont les coordonnées sont x -+- âx,y + ây, z -+- âz, forme avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels kp-\-âp, q -+■ âq, — i, et la condition nécessaire et suffisante pour qu'elle soit perpendiculaire à la tangente de la section principale au point x,y, z est
dx{p-hôp)-\- dy{q + ôq) — dz = o,
qui se réduit, en vertu de (5), à
(6) dxop -\- dfèq^o.
Cette équation exprime donc que la tangente à l'une des sections principales en un point, est perpendiculaire à la normale menée à la surface par le point infiniment voisin de l'autre section principale. Il faut et il suffit pour cela que les deux normales voisines se rencontrent et soient dans un même plan perpendiculaire à la tangente considérée. Comme on a d'ailleurs, dans les calculs, négligé Jes infiniment petits du second ordre, la rencontre des deux normales n'a pas lieu rigoureusement, et l'on doit dire seulement que leur plus courte distance est un infiniment petit d'ordre supérieur au premier. Les deux normales infiniment voisines qui se rencontrent étant situées dans le plan de la section principale, leur point d'intersection est précisément le centre de courbure de celle-ci, et la distance de ce point à la surface est égal à l'un des rayons de courbure principaux.
637. Les théorèmes précédents conduisent à une relation fort simple, qui caractérise les directions des sections principales, et peut dans certains cas être employée utilement.
Désignons par X, Y, Z les cosinus des angles formés par la normale de la surface considérée avec les axes de coordonnées, et considérons la section principale
en un point dont les coordonnées sontx,y,z; le point intinimont voisin de la même section a pour coordonnées x-\-dx, y-hdy, z+dz, les cosinus des angles formés avec les axes par la normale en ce point sontXH-</X, Y+c/Y, Z+dZ; d'après ce qui a été dit, les deux normales se rencontrent au centre de courbure de la section normale considérée: en nommant Rie rayon de courbure de cette section, les deux normales et l'arc infiniment petit ds qui sépare leurs points de départ sur la surface forment un triangle isocèle. La projection dx de la base sur l'axe des X es! égale à la différence des projections des deux autres côtés, c'est-à-dire RrfX, et l'on a par conséquent
(/x "" R ' on aura de même . '
d\ 1 dx ~R
dZ I rfz ~R
dx
rfY
dZ dz
en sorte que l'on a
Celle condition est d'ailleurs caractéristique et exprime que le point donl les coordonnées sont x-k-dx, y-hdy, z-\-dz, est situé sur la section principale au point x,y, z. Il serait facile d'en déduire l'équation déjà trouvée plus haut pour la détermination des sections principales.
