THÉORIE DES LIGNES DE COURBURE

Définition des lignes de courbure.

663. On nomme ligne de courbure d'une surface une ligne située sur cette surface et tangente en chacun de ses points à l'une des sections principales. Comme il passe, en chaque point de la surface, deux sections principales perpendiculaires l'une à l'autre, il passe aussi, en chaque point, deux lignes de courbure tangentes à ces sections et se coupant à angle droit. Les lignes de courbure d'une surface forment par conséquent deux systèmes dont chacun recouvre entièrement la surface, puisque par chacun de ses points passe une ligne de chaque système. Deux lignes de courbure de systèmes différents se coupent perpendiculairement, et, en général au moins, deux lignes de même système ne se coupent pas. 11 existe cependant certains points (635) pour lesquels la direction des sections principales est indéterminée, et où peuvent se croiser une infinité de lignes de courbure; nous verrons d'ailleurs qu'en ces points ombilicaux eux-mêmes il ne passe quelquefois qu'une seule ligne de courbure.

664. Une ligne de courbure étant tangente en chaque point à une section principale de la surface, chacun des points d'une telle ligne peut être considéré, si l'on néglige les infiniment petits du second ordre, comme appartenant à la section principale qui correspond au point infiniment voisin. 11 en résulte (636) que les normales menées à la surface par deux points infiniment voisins de la ligne de courbure peuvent être considérées comme se rencontrant, lorsque l'on néglige les infiniment petits d'ordre supérieur au premier. Cette propriété est caractéristique; elle exige en effet (637) que la direction de la ligne qui réunit les points de départ des deux normales infiniment voisines soit celle d'une section principale, et que par conséquent le lieu de ces points de départ soit une ligne de courbure.

On peut énoncer la propriété précédente en disant : pour qu'une ligne tracée sur une surface soit une ligne de courbure, il faut et il suffit que les normales menées par ses différents points forment une surface développable.

On doit remarquer que le plan et la sphère sont des surfaces exceptionnelles sur lesquelles il n'y a pas, à proprement parler, de lignes de courbure, ou sur lesquelles, si l'on veut, toute ligne est une ligne de courbure. Les sections principales sont en effet indéterminées, et une ligne arbitraire tracée sur une surface plane ou

sphérique peut être considérée comme étant en chaque point tangente à l'une d'elles. Les normales menées par les points de cette ligne forment d'ailleurs un cylindre ou un cône, c'est-à-dire, dans les deux cas, une surface développable.

Equation différentielle des lignes de courbure,

665. Lorsque l'équation d'une surface est donnée, on peut déterminer en chaque point la direction des sections principales, et par conséquent celle des lignes de courbure. 11 en résulte qu'étant données les coordonnées d'un point de l'une de ces lignes, on peut calculer leurs différentielles, et former par conséquent l'équation différentielle des lignes de courbure.

La propriété démontrée dans le paragraphe précédent permet d'ailleurs de former directement cette équation sans recourir aux formules relatives aux sections principales.

Soient a?,/, z les coordonnées d'un point d'une surface donnée. En adoptant la

. ^. 1 1 -, 11 . t dz dz d^z d^z d'z

notation habituelle, et posant -7- =0, -1- = q, -j—, = r, -7 — 7- =s, -7-: =f,

■ dx ' dy ' dx' dx dy dy-

les équations d'une normale sont

'i — x-lrp{'C, — z) = 0,

Ç, ïj, Ç désignant les coordonnées courantes.

La normale au point voisin dont les coordonnées sont x + dx, y -\- dy, :. -\- dz, a pour équations

$ — X — dx-+-{p-\-dp){'i, — z — dz) = o,

(2) m . n—}—dx-\-{q + dq){^ — 2 — dz)z=o.

Pour que les deux normales se rencontrent, il faut que les écjuations (1) et (2) soient compatibles; leur combinaison donne, si l'on néglige les infiniment petits du second ordre,

dx+pdz — <//>(? — 2) = o, dy+qdz — dq{^ — z) = o,

et en égalant les valeurs deÇ — z, déduites de ces équations,

dx+pdz dr -\- qdz

"cTp dq

En remplaçant dans cette équation dz, dpfii dq par leurs valeurs, on obtiendra

l'équation différentielle des lignes de courbure. On a

dz ^=pdx -\- qdy, dp = rdx + s dy, dq = s dx -\- t dy ,

et l'équation devient

dx (i -r-p') -\-pqdy dy[i + q^)-\- pq dx

rdx + sdy sdx-\-tdy

ou, en réduisant,

' (3) . dy'[pqt —s{\ + q')] + dxdy[{i-^ p-') t — {i-+- q^)r]-\-dx-'[[i-{-p')s — pqr]=o.

Cette équation ne diffère de ceUe qui détermine ( 633 ) la direction des sections principales, que par la substitution de d.x et dy à cos a et à cos /3. On aurait pu le prévoir, car les différentielles des coordonnées des points d'une courbe sont proportionnelles aux cosinus des angles formés par la tangente avec les axes.