Les équations

dx -\-pdz- — {"Ç,— z)dp:=o,

dy+qdz—{l—z)dq — o,

combinées avec celles de la normale, donnent les coordonnées ^, /;, Ç du point d'intersection des deux normales voisines; on en déduit

/,! -Ç dx+pdz dy+qdz

c'est-à-dire, en remplaçant dz, dp, dq par leurs valeurs,

^{\+p'')dx^pqdy {i + q'')dy + pqdx ■' ^ ~^ rdx-\-sdy tdy-\-sdx '"■

La relation (3) équivaut à deux équations, entre lesquelles on peut éliminer le rapport -f- ; on obtient ainsi la relation

D'après cette équation, les valeurs de Ç — s sont les mêmes que celles de r- fournies par l'équation (12) (634), et celles de (Ç — 2) sj i + p^ -\- q^ , égales par conséquent à — — Y — — ■) c'est-à-dire aux rayons de courbure des sections principales; or Ç — s est la projection sur l'axe des z de la portion de noripale comprise entre la surface et le point d'intersection avec la normale voisine; le produit

{!^ — z) yi +/;*4-^^ est donc la longueur même de cette normale qui se trouve égale au rayon de courbure principal. Il en résulte que deux normales infiniment voisines se coupent précisément au centre de courbure de la section principale.

667. Lorsque l'équation d'une surface est donnée sous la forme

(i) o{x,jr,z} = 0,

il est quelquefois commode d'introduire dans l'équation différentielle des lignes de courbure les dérivées partielles de la fonction y, au lieu des dérivées de z par rapport à a; et à y. On pourrait aisément faire cette transformation dans les formules précédemment obtenues, mais il est plus simple de reprendre la question pour la traiter avec cette notation nouvelle. ?, v3,Ç désignant toujours les coordonnées courantes, la normale au point dont les coordonnées sont ce, y, z, a pour équations

que l'on peut écrire

<l2 dx

dj-

d<f di

(l2 dz

^>dz '' "'

Pour exprimer que la normale au point x, y, z rencontre celle qui correspond au point voisin dont les coordonnées sont x-^dx, y + dy, z + dz, il faut écrire que les équations (2] sont compatibles avec celles que l'on obtient en les différentiant par rapport à x, y, z, considérés comme variant simultanément: on a ainsi

L'élimination de {^ — x), (/î— j), (Ç— 2) entre les équations (2) et (3) donne

On a d'ailleurs

-^l^dz dxdz

d (!!l\-'J-ldx-i-^^dr- "•{dxj- dx'"''^dxdr''^

dxdz

dx ■+■

d'f Wd

-dy + '^d

et, parla, l'équation (4) se transforme en une équation du second degré entre dx, dy, dz, à laquelle il faut adjoindre

-r-i dx -h^ dr-\ — T-^ dz = o.

dx dy ■' dz

668. Examinons le cas où le plan tangent au point x, y, z étant parallèle au plan des XY, les tangentes aux lignes de courbure sont parallèles à l'axe des X et à

l'axe des Y. On a alors, en ce point, dz = o, -^ = o, -~ = o, et l'équation (4)

doit avoir pour solutions dx~o, dy=^o; or ces hypothèses lui donnent l'une des formes

suivant que l'on suppose dx = o ou dy = o. On a d'ailleurs

, /do\ d^o , d'o , , d'o ,

'^\di) = di^'^''-^d^/'"^^'-^dàz'^'^

d,(iï\=.Jl^dx + '^dr+-^^dz ' \dyj dx dr dy'' ■^ dy dz '

c'est-à-dire, puisque dans l'équation (6) on a dx = o, dz = o, et dans (7) dy=^o, dz = o,

\dxj dxdy -^ ' \dyj dx dy ^

et par conséquent, ^ n'étant pas nul, les équations (6) et (7) se réduisent l'une

et l'autre à ^B

c'est la condition nécessaire et suffisante pour qu'en un point où le plan tangent est parallèle au plan des XY, les lignes de courbure soient tangentes aux axes de coordonnées. • •

669. Considérons une ligne de courbure sur une surface quelconque, et nommons X, Y, Z les cosinus des' angles formés par la normale à la surface avec les .axes de coordonnées. La ligne de courbure étant tangente en chaque point à une

UVRE TROISIÈME. - APPUCATIONS GÉOMÉTRigUES. 697

section principale, on a (637)

dXdY dZ

''^ dx ~ dy ~ dz'

les difïéreutielles se rapportant, bien entendu, à un déplacement infiniment petit effectué sur la ligne de courbure même. On a vu de plus(G37) que la valeur coninuine de ces trois rapports est égale à la courbure de la section normale tangente à la ligne de courbure considérée.

Ce théorème remarquable, signalé par 0. Rodrigues, équivaut à l'équation din'érentielle des lignes de courbure qu'il est d'ailleurs facile d'en déduire explicitement, ainsi que l'équation du second degré, qui a pour racines les deux rayons de courbure principaux de la surface. Pour le montrer, considérons les équations

dx — p rf X 3= o , ( r> df — pdY = o,

dz — pdZ =^o;

on a

^/ X = -j— dx H — - dy H — t— dz ,

dx dy • dz

(3 d\ = -r- dx^ -r- dy-\- -^ dz,

dx dy • dz

dV.=

-r-dx

^ dy '^y

dL ,

les équations

deviennent

rfx —

d\ , P dz ''■

(4) -p-j^dx + {,-p—jdr-p-^dz = o,

dt , </Z , / d'L\ ,

Kn exprimant que ces équations sont compatibles, on obti(;nt une équation en p, qui est, en apparence, du troisième degré, et dans laquelle les termes en ji' dispa- .raissent; cette équation étant supposée satisfaite, deux des équations ['\ ^ cnlrai-

nent la troisième et déterminent les rapports -r-» -f- qui conviennent à un déplacement effectué sur la ligne de courbure. Si l'on veut retrouver l'équation en y-

obtenue (665) par une autre méthode, on devra remplacer c?z par sa valeur

dz = pdx + qdf .

Le résultat de l'élimination de p entre les équations ainsi obtenues sera l'équation

du second degré en -r--

Nous ne développerons pas ces calculs qui présenteraient peu d'intérêt, mais le principe sur lequel ils reposent est de grande importance, et nous aurons plusieurs fois occasion d'y avoir recours.

670. Nous déduirons immédiatement des considérations précédentes une conséquence intéressante relative à l'expression de la distance de deux points infiniment voisins sur une surface.

Supposons que la position d'un point sur une surface soit déterminée par les valeurs attribuées à deux variables a et |3. Une valeur constante attribuée à l'une des variables détermine une courbe sur la surface, et lorsque a et /3 sont donnés, le point est déterminé par l'intersection des deux courbes correspondantes aux valeurs adoptées. Supposons a et /3 tellement choisis, que les courbes correspondantes aux valeurs constantes de l'un ou de l'autre soient précisément les lignes de courbure de la surface; soient alors a;, j, z les coordonnées rectilignes d'un point quelconque de cette surface, X, Y, Z les cosinus des angles formés par la normale en ce point avec les axes de coordonnées. x,y, z, X, Y, Z, sont des fonctions déterminées de a et de/3, et si l'on nomme p,, pj les rayons de courbure principaux correspondant respectivement aux lignes pour lesquelles a et jS sont constants, les équations obtenues (669) équivalent à

^'dr-

~ dx

dr %7p'

^■' doc =

dy dx

P' dp =

dz 'doc

Si l'on substitue aux variables a et |3 deux autres variables « et v qui en soient des fonctions connues, x, y, z deviendront des fonctions de « et de v, et leurs dérivées partielles seront données par les formules

dx du

dx du dx </(3 "Th. dJi'^'dÇ, dïi

dr.

dy doc dy dp ~~ dx du rip du

dz du

dz dx dz dp " dx du "^ dp du

d\ dx

dx du

d p du

dx du

dp du

da du

dZ dp

dp du

Les dérivées relatives à la seconde variable i' s'exprimeraient de la même manière. Le cas où la variable u se confond avec a mérite d'èlre remarqué, et conduit à un

résultat qui sera utilisé: -^ étant égal à l'unité, et les dérivées par rapport à u devenant des dérivées par rapport à a, on a

dx dX d\ d^

dr dY dY rf|3

^ - P' 77^ "^ P' rf^ di'

dz dZ dZ d^

Ta-^'di'^^'d^TÛ'

Dans ces trois équations, on a pris pour variables indépendantes le paramètre a et une variable quelconque v qui reste constante dans le calcul des dérivées par rapport k Cf.. On voit que dans les seconds membres les dérivées -j- ^ -j- ■> 7- ont poui"

coefficient le rayon de courbure /Sj relatif à la ligne de courbure perpendiculaire à celle pour les points de laquelle « est constant.

671. Lorsque x, y, z, X, Y, Z, ont été exprimés en fonction de deux variables quelconques « et f , il existe entre les dérivées partielles de ces fonctions des relations nécessaires que nous allons faire connaître.

On a, pour un déplacement quelconque effectué sur la surface,

(1) y^dx + Ydy+'ldz = o,

et puisque x, y, z sont fonctions de u et de v, en appliciuant l'équation (r) aux deux déplacements qui résultent d'un changement infiniment petit attribué à une seule des deux variables, on a * , .

dr du

■-HZ

dz du

^-HY dv

dz dv'

L'équation donne d'ailleurs

.. d\ ^ d\ . 7rfZ„ dv dv dv

^ d\ ..dY ^ „dZ ^

du du du

.. d\ ^dY ^^dZ

dv dv dv

Chacune des deux équations (3) doit être une conséquence des équations (a); car s'il en était autrement, on aurait trois équations distinctes entre X, Y, Z, dont la seule solution possible serait

Il faut donc que les équations (2) puissent s'obtenir en ajoutant les équations (3) après les avoir multipliées par des coefficients convenablement choisis, et l'on a par conséquent, en désignant par M et N des fonctions convenables,

du'

„ rfX -, rfX du dv

dx dv

du dv

tu'

= M -7- -t- N -7- , du dv

dy dv

du dv

-, rfZ ^, c?Z

= M -j- -f-N -j-, du dv

dz dv'

-,, dz .,, dZ du dv

La démonstration de ces équations est en défaut lorsque les deux équations (3 rentrent l'une dans l'autre, c'est-à-dire dans le cas où l'on a

Ces relations expriment que Y et Z sont fonctions de X, ou en d'autres termes que X, Y, Z peuvent s'exprimer tous trois en fonction d'une seule variable; à chaque valeur de cette variable correspond une direction de la normale, et comme il n'est pas possible qu'une surface admette une infinité de plans tangents parallèles entre eux, le plan tangent correspondant est déterminé. L'équation du plan tangent étant déterminée par une seule variable, la surface est l'enveloppe des positions d'un plan dans l'équation duquel figure un seul paramètre, c'est-à-dire une surface développable. Les surfaces développables font donc seules exception au résultat que nous venons d'obtenir.

672. Lorsque après avoir choisi deux variables quelconques u et v, on aura formé les équations dont la possibilité vient d'être démontrée,

dx^d\ ^d\ du du ^' dv

dv '

-,, </X »T/ Ûf^

du dv

dr ,, rfY ^,dY du du dv

dy dv

^„dY „, rfY

= M' -3- + N' -j- , du dv

dz ..dl -, dZ j- = M -7- + N -3-, du du dv

dz dv''

-,, d Z -,, dz

du dv

on pourra eh déduire, en chaque point, l'expression des deux rayons de courhure de la surface. Si l'on se déplace en effet sur une ligne de courbure, on a (iW.) , en nommant p le rayon correspondant,

( -! ; </x = p</X, dr=pdY, dz = od'/.,

c'est-à-dire,

dx du

du-\-

dv =

jdX

du ■+-

dv^

fdY --''[du

dv).

dz du

du-\-

di'

dv^

Idl '-^\du

dv).

rfY

rfX'

En remplaçant dans ces équations -j--> "3~ ' * * * ' po"'' les valeurs déduites du système (i), on obtiendra trois équations de chacune desquelles on pourra déduire la valeur de l'un des trois rapports

et ces valeurs seront précisément les mêmes. Or on sait, cependant, que ces trois fractions ne sont égales que dans le cas d'une surface dévcloppable; en excluant donc ce cas, il faut que les expressions identiques fournies pour ces rapports par

nos équations se réduisent à - > et pour cela on doit avoir

(M — p)rfM-f-M'rff = 0, (5)

Nrfa + (N' — p)rf«' = o; on en conclut

équation du second degré qui fera connaître les rayons de courbure, p étant connu, les équations (5) fourniront la valeur du rapport V qui convient à la ligne de courbure correspondante.

Si l'on suppose que l'une des lignes de courbure corresponde à une valeur constante de «, on a pour cette ligne du = o; comme rff est nécessairement alors différent de zéro, les équations (5) donnent

M' = o, N' = p, ce qui s'accorde avec les résultats obtenus plus directement (670).

Surface tangente aux normales d'une surface donnée.

673. Les normales d'une surface sont, en général, tangentes à deux autres surfaces que les résultats précédents permettent de définir. Si l'on considère, en effet, les lignes de courbure de l'un des systèmes, les normales menées à la surface par les points de chacune d'elles sont tangentes à une même courbe, et la surface lieu de ces courbes est évidemment tangente à toutes les normales de la proposée. Les lignes de courbure du second système peuvent servir de même à déterminer ufte seconde surface également touchée par toutes les normales de la première.

674. Aucune autre surface ne partage avec celles que nous venons de définir la propriété d'être touchée par toutes les normales de la proposée. Supposons, en effet, une surface 2, touchée en chacun de ses points par une des normales de S. Nous pouvons concevoir que l'on ait tracé sur 2 des courbes tangentes en chaque point à la normale correspondante de S; les tangentes à l'une de ces courbes forment une surface développable dont les génératrices sont normales à S et coupent par conséquent celle-ci suivant une ligne de courbure. La surface 2 est par conséquent le lieu des arêtes de rebroussement des surfaces développables formées par les normales aux divers points des lignes de courbure.de S, c'est-à-dire l'une des deux surfaces définies au paragraphe précédent.

675. Les deux surfaces auxquelles sont tangentes, comme on vient de le voir, les normales d'une même surface, ont entre elles une certaine dépendance. En les choisissant arbitrairement, il serait impossible, en général, de trouver une troisième surface dont les normales leur fussent tangentes à toutes deux.

Les deux surfaces 2 et 2', auxquelles sont tangentes les normales d'une même surface S, sont telles, en effet, qu'en quelque point de l'espace qu'on suppose placé l'œil d'un observateur qui les regarde, leurs contours. apparents paraissent se couper à angle droit.

Pour démontrer ce théorème, considérons un point quelconque de la surface S, et les deux lignes de courbure qui s'y croisent; les normales à la surface, menées parles points'de chacune de ces lignes de courbure, forment deux surfaces développables dont chacune est tangente à l'une des surfaces 2 et 2', et son arête de rebroussement est située sur l'autre. Il semble au premier abord que toutes les génératrices de la surface développable étant tangentes aux surfaces 2 et 2', cette surface leur est elle-même tangente à toutes deux, mais cela n'a pas lieu cependant, comme on l'a expliqué (662) pour celle qui contient l'arête de rebroussement, parce que le plan qui contient deux tangentes infiniment voisines d'une surface cesse d'être tangent à la surface lorsque la ligne qui joint les points de contact se confond à la limite avec chacune des deux tangentes.

Les deux surfaces développahles qui se coupent suivant la normale en un point donné de S sont perpendiculaires l'une à l'autre, comme les lignes de courbure suivant lesquelles elles coupent la surface S: or, en supposant l'œil d'un observateur placé en un point quelconque de la génératrice commune de ces deux surfaces, les cônes circonscrits à 2 et à 2' ayant ce point pour sommet passeront tous deux par la génératrice des deux surfaces développables auxquelles ils seront tangents; ils se coupent par conséquent à angle droit: c'est ce qu'il fallait démontrer.

67G. Quoique le théorème précédent établisse une dépendance très-intime entre les deux surfaces auxquelles sont tangentes les normales d'une surface donnée, il s'en faut de beaucoup que, l'une d'elles étant donnée, il soit possible de déterminer l'autre. Si l'on se donne en effet une seule surface à laquelle soient tangentes les normales d'une surface inconnue, on pourra déterminer celle-ci d'une infinité de manières, en traçantsur la première une série quelconque delignes géodésiques (()()2; dont elle coupera les tangentes à angle droit.

Cherchons par exemple une surface dont les normales soient tangentes à une sj)lière. Il faut, d'après ce qu'on vient de dire, concevoir sur la sphère une série quelconque de grands cercles; la surface cherchée coupera à angle droit les tangentes à ces jcercles, et sera par conséquent le lieu d'une série de développantes de cercle.

Il est aisé de voir que dans le cas dont il s'agit, la seconde surface à laquelle les normales sont tangentes est un cône ayant pour sommet le centre de la sphère. Quels que soient, en effet, les grands cercles tracés sur la sphère, leurs plans, (|ui passent tous par le centre, enveloppent un cône ayant ce centre pour sommet, et toutes leurs tangentes, étant situées dans les plans tangents de ce cône, touchoni évidemment sa surface.

Réciproqu(!ment, si l'on se donne une sphère et un cône quelconque ayant pour sommet le centre de celle-ci, les plans tangents à ce cône coupent la sphère suivant des cercles dont les tangentes, qui touchent à la fois la sphère'et le cône, sont les normales d'une même surface. Cette surface peut être engendrée, comme on le voit bien facilement, par une développante de cercle située dans un des plans tangents au cône, et qui se meut, sans changer de forme, pendant que le plan qui la contient roule sur le cône en le touchant successivement suivant toutes ses génératrices.

677. On peut indiquer plus généralement la description des surfaces dont les normales sont tangentes à une surface développabh; donnée. Toutes les normales ii la surface inconnue, dont les points de contact sont sur une même génératrice de la surface développable, sont en effet dans un même plan; elles sont donc tangentes

à une même courbe, et percent par conséquent la surface inconnue suivant une ligne de courbure qui évidemment est plane. Choisissons pour cette ligne une courbe arbitraire située dans le plan tangent à la surface développable: si l'on suppose ensuite que ce plan roule sur la surface en la touchant successivement suivant chaque génératrice autour de laquelle il tourne, pour passer à la position infiniment voisine, la courbe arbitraire étant entraînée, sans changer de forme, dans le mouvement du plan qui la contient, engendrera la surface demandée.

Chacun de ses points se meut, en effet, à chaque instant, normalement au plan même de la courbe, et par conséquent la normale à la surface engendrée est la normale même à la courbe génératrice située dans le plan de cette courbe, et touche constamment la surface développable donnée.

Ligne de courbure commune à deux surfaces.

(578. Lorsque la courbe d'intersection de deux surfaces est ligne de courbure de l'une et de l'autre, les deux surfaces se coupent sous un angle constant.

Si, en effet, on mène par chaque point de l'intersection une normale à chacune des surfaces considérées, ces deux systèmes de normales envelopperont deux courbes qui sont (610) deux développées de la courbe d'intersection. Or on a prouvé (619) .que les normales issues de chaque point d'une courbe et tangentes à deux développées différentes forment un angle constant.

Réciproquement, si deux surfaces se coupent sous un angle constant, et que leur intersection soit une ligne de courbure de la première, elle est aussi ligne de courbure de la seconde.

Les normales menées à la première surface par les points de l'intersection enveloppent en effet une développée de celle-ci ; or, en faisant tourner chacune d'elles d'un angle constant autour de la tangente à la courbe d'intersection, pour obtenir les normales à l'autre surface, on déterminera (619) les normales tangentes à une seconde développée de la courbe d'intersection; cette ligne est donc une ligne de courbure de la seconde surface, puisque les normales menées à cette surface par les différents points sont tangentes à une même courbe.

Lorsqu'un plan ou une sphère coupe une surface suivant une ligne de courbure, cette ligne peut toujours être considérée (619) comme étant, en même temps, ligne de courbure du plan ou de la sphère : le théorème précédent est donc applicable, et par conséquent les deux surfaces se coupent sous un angle constant. Réciproquement, si un plan ou une sphère coupe une surface quelconque sous un angle constant, l'intersection, étant nécessairement ligne de courbure du plan ou de la sphère, est aussi ligne de courbure de la seconde surface.

679. Les théorèmes précédents peuvent aisément se démontrer analytiquemenf .

Soient, en effet,

les équations de deux surfaces qui se coupent suivant une ligne de courbure commune. Nommons x, y, z les coordonnées d'un point de l'intersection, et dx, dy, dz les variations relatives à un déplacement infiniment petit effectué sur cette ligne; les angles formés avec les axes par les normales aux deux surfaces étant «, ^, 7,

«', /5', 7', on a

ces txdx ->r ces (3 dy -|- ces y rfz = o , ces a' dx -I- cos P' rf/ -H cos y' r/z = o ;

de plus, l'intersection étant une ligne de courbure de chacune des surfaces,

on a '669)

dx dy dz

d cos a d cos (3 d cos y

dx dy dz

dcosac' d cos (â' d cos y' '

d'après lesquelles on déduit de (1)

cos a d cos st' -f- cos (3 rf cos j3' -+- cos y d cos y' = o , cos «' d cos « -I- cos (3' </ cos (3 + cos y' rf cos y ^ o ,

et en ajoutant ces deux équations,

d { cos « cos a' -f- cos P. cos j3' + cos y cos y' ) = o ,

c'est-à-dire

cos « cos «' -H cos (3 cos (3' -(- cos y cos y' = consl.

Cette équation exprime évidemment que les deux surfaces se coupent sous un angle constant.

680. Réciproquement, si deux surfaces se coupent sous un angle constant, cl que l'intersection soit ligne de courbure de la première, elle est aussi ligne de courbure de la seconde. On a alors, en effet, en adoptant les notations du paragraphe précédent,

dx dy dz

dcosx rfcos(3 drosy

le signet/ se rapportant toujours à un déplacement infiniment petit effectué sur la I. 89

70e PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

ligne d'intersection, et pour exprimer que l'angle des deux normales est constant,

{ 2 ) d{ ces « cos a' + cos p cos (3' -|- ces ■/ ces y ' ) = o ;

on a enfin les deux équations

fos a. dx -+- cos j5 dy + cos y dz=^o, (3)

cosa' dx -\- cos(3'</j+ cosy' dz=^ o,

qui expriment que la courbe d'intersection est perpendiculaire aux deux normales.

Des équations (i) et (3) on déduit évidemment

( 4 ) ces et' d cos a + cos (3' d cos (3 -+- cos y' dco^y =^ij,

qui, combinée avecl'équation (a), donne

(5) (OS a d cos a' -f- cos {3 c? cos j3' -|- cos y d cos y' = o , et on a d'ailleurs

(6) cosa'J cosa'-+-cos(3' t? cos j3' + cosy' </cosy' = o,

et les équations (5) et (6), rapprochées des équations (3), donnent

, , dx dy dz

' d cos «' d cos P' (/ cos y'

ce qui exprime (669) que l'intersection est une ligne de courbure de la seconde surface.

Surfaces orthogonales.

681. Nous avons déjà considéré (123) les systèmes de surfaces qui, se coupant orthogonalement, partagent l'espace en parallélipipèdes infiniment petits, (^ette étude, qui semble appelée à prendre une grande importance, a déjà fourni de beaux résultats à la géométrie et à l'analyse. L'une des propositions les plus célèbres et les plus importantes dans cette théorie est le théorème suivant dû à M. Charles Dupin.

Lorsque trois séries de surfaces se coupent orthogonalement, l'intersection de deux quelconques d'entre elles est une ligne de courbure de l'une et de l'autre.

Considérons, en effet, un point A où se coupent trois surfaces du système considéré, et soient AX, AY, AZ les tangentes aux trois lignes d'intersection, et aussi, d'après nos hypothèses, les normales aux trois surfaces; prenons ces lignes pour axes

de coordonnées, et considérons trois points M, N, P respectivement situés sur elles à distances infiniment petites et égales entre elles du point A. On peut, en négligeant les infiniment petits du second ordre, regarder ces points comme situés sur les courbes d'intersection auxquelles les axes sont tangents. Soient a, jS, 7, a', /5', 7' les angles formés avec les axes par les normales en M aux deux surfaces qui se coupent suivant AM; ces deux normales étant perpendiculaires l'une à l'autre, on a ( I ) ces a ces a' -+■ ces ^ ces ^' ■+- ces y ces y' = o.

y. et y' différant infiniment peu d'un angle droit, et ^ étant infiniment petit ainsi que 7'. cette équation devient, en négligeant les infiniment petits du second ordre,

ces P' -1- CCS y = o.

Soient de même a,, jS,, 7,, «', , |5', , 7'^, les angles formés avec les axes par les normales en N aux deux surfaces qui se coupent suivant AN, et a,, ^j, 7,, a.\, /5'j, 7, les angles analogues relatifs au point P: on aura de même

cos/, -i-cosa, = 0,

Cos«, 4-cospj=: o;

mais d'après le théorème démontré (649), on a

cos (3, = cos /, ,

( 4 ) cos y = cos x\, • i

cos a, =; cos j3'.

Si l'on remplace les premiers membres de ces trois équations par leurs valeurs déduites de (2) et (3), on a

(5) . cos P' -t- cos «', = o , cos y', -H cos P' = o , cos«', -f-cosy', =0.

Ajoutant les deux premières membre à membre, et retranchant la troisième, on a enfin

(6) 2cosi3' = o;

on en déduit immédiatement 7 CQsy', = o, cos«', =0, cosa, = o, cosy = o, cos|3i = o.

L'équation (6) exprime que la normale en M à l'une des surfaces qui passent par ce point est perpendiculaire à l'axe des Y, et située par conséquentdans le plan ZAX; elle rencontre donc la normale en A qui est AZ, et AA' est la direction d'une ligne de courbure: on verra de même qu'en vertu des cinq équations (7) les lignes de courbure des trois surfaces qui se coupent en A sont tangentes aux axr»;

AX, AY, AZ; et comme A est un point arbitrairement choisi, on voit que chaque courbe d'intersection est tangente en chaque point à l'une des lignes de courbure des surfaces sur lesquelles elle est située, ce qui exige évidemment qu'elle soit clle-niènie une ligne de courbure.

682. Le théorème précédent ayant une grande importance, nous en donnerons une seconde démonstration.

Soient

<p,(^, j, z)=p,, (f2{x,x, z) = p,, Otix, y; z) = pi

les équations des trois systèmes de surfaces dans lesquelles p,, pj. pi désignent des paramètres arbitraires dont la valeur les caractérise. Supposons les axes choisis de telle manière que l'origine des coordonnées soit un point où se croisent trois de nos surfaces. Supposons de plus que la première surface soit tangente au plan des XZ, la seconde au plan des XY, et la troisième au plan des YZ ; les surfaces se coupant toujours à angle droit, on a identiquement

c/çi ^92 c? tp 1 </cp, do, do-,

dx dx dy dy dz dz '

doidaf-i dv^tdo-i d^-^da^-^

dx dx dy dy dz dz '

, 5 . ^ rfçs d^ (l^ ^9, • rf^j (U^

dx dx dy dy dz dz

Différentions l'équation (i) par rapport à .r, l'équation (2) par rapport à j, et l'équation (3) par rapport à z, nous aurons

, , , dj^ (Pjl2 . ^Jf2 ^'9' , d'(f, d(f>, dj^ t/' y, (/'y, dc^-, d 9, d' o-, __

dx dx'' dx dx'' dx dy dy dy dx dy dx dz dz dz dx dz '

/ K \ 'L?2 ^llîl i ':Lî2 ^'^'' | îlîi <^'?3 <ijf>3 d" o\ dj^ fi?^93 d 9., d^-^

dx dx dy dx dx dy dy dy'' dy dy'' dz dz dy dz dzdy '

,g, </93 </>. t/91 </'93 </93 c?'9i (/9, (/'93 rfy3'(/'9i ^9, t/'Oa dx dx dz dx dx dz dy dy dz dy dy dz dz dz^ dz dz'

Si dans ces équations, qui sont identiques, on suppose x=o, y = 0, :; = o, on aura, d'après les hypothèses faites sur les plans tangents à l'origine,

doi dcp, rffflj do-> do, doi

dx ' dz dy dx ' dz dy

et les équations deviennent

(7) ^ rf''9, (/y, (/'oi

rfj rfjT dy dz dxdz '

(8) l?i iflii ^ fL?! ^!9l :^ o

</:p </x rfj </2 dzdy ° '

dx dx dz dy dy dz

Des équations (7) et (9), on déduit

c?x </j rfa: dy dz dz ~ ° '

qui, combinée à (8), donne

dx dx dy '

rf?3 rf'9»

et comme -P--, -^ ne sont pas nuls, on en conclut

on trouverait de même

dx dy ' dy dz '

dxdz

ce qui démontre (667) que les lignes de courbure sont, à l'origine, tariguiilts aux axes de coordonnées, et comme l'origine est un point arbitraire de l'espace, les lignes de courbure sont en cbaque point tangentes aux intersections des surfaces deux à deux, et sont par conséquent ces intersections mêmes.

683. Les géomètres ont obtenu, par des méthodes sur lesquelles non.s aurons à revenir, et qui ne peuvent être exposées en ce moment, un grand nombre de systèmes de surfaces orthogonales, dont, par cela même, le théorème précédent fait connaître les lignes de courbure. Bornons-nous à montrer ici comment, un tel svstème étant connu, on peut en déduire une infinité d'autres. Il suffit de faire subir aux surfaces qui composent le système donné la transformation par rayons rerieun réciimxjues, qui consiste, comme on sait, à joindre chaque point >I du système à un point fixe 0, et à prolonger OM jusqu'en un point M' tel, que le produit OM.O.M' soit

éfçal à un cairo donné. Le point M' ainsi défini est dit le coirespondanl de M. Chaque point de la figure primitive ayant son correspondant, chaque ligne et ciiaque surface a évidemment une ligne ou une surface correspondante. Un triangle infiniment petit quelconque ABC est transformé de cette manière en un tri-

angle semblable A'B'C. On a, en effet, par hypothèse, en désignant par K une ligne donnée, OA.OA'=:K% OB.OB' = K-, OC.OC'=K-. lieu résulte que les triangles OAB, OA'B' sont semblables, et que l'on a