A' C ~ OA' ' B' C ^ OA

Les triangles ABC, A'B'C ont donc leurs côtés proportionnels et sont semblables. Il résulte de là que l'angle de deux courbes quelconques est le même que celui des courbes correspondantes. Cet angle, en effet, peut toujours être considéré comme appartenant à un triangle infiniment petit, dont le troisième côté soit convenablement choisi, et qui, d'après la remarque précédente, se transformera en un triangle semblable.

Il est clair aussi que deux surfaces qui se coupent en un point auront pour transformées deux surfaces qui, au point correspondant, formeront le même angle dièdre. Si l'on considère, en effet, un tétraèdre infiniment petit, les faces du tétraèdre transformé qui, à cause de leur petitesse, peuvent être regardées comme planes, seront semblables à celles du tétraèdre primitif, et par conséquent les dièdres des deux figures seront égaux. Or un dièdre quelconque peut évidemment appartenir à un tétraèdre infiniment petit convenablement cboisi.

Les angles restant invariables dans la transformation, un système de surfaces orthogonales aura pour transformé un nouveau système dont les surfaces seront également orthogonales. L'intersection de deux surfaces du premier système corres-

pondant évidemment à celle de deux surfaces du système transformé, les lignes de courbure de l'une quelconque des surfaces transformées sont les lignes correspondantes aux lignes de courbure de la surface qui lui a donné naissance.

Ce théorème s'applique, on le voit aisément, à la transformation par rayons vecteurs réciproques d'une surface quelconque, qu'elle fasse ou non partie d'un système de surfaces orthogonales. La restriction est en effet inutile, parce que la condition qu'elle exprime est remplie par une surface quelconque, sans qu'il y ait aucune exception. Si l'on trace en effet, sur une surface quelconque, les lignes de courbure de l'un et l'autre système, et que par les points de chacune d'elles on élève des normales, on formera deux séries de surfaces développables se coupant orthogonalement, et qui, avec les surfaces parallèles à la surface donnée, formeront évidemment un triple système orthogonal dont celle-ci fait partie. Le théorème précédent lui est par conséquent applicable, et lorsqu'on la transforme par ravons vecteurs réciproques, ces lignes de courbure ont pour transformées les lignes de courbure de la surface obtenue.

Détermination des lignes de courbure dans quelques cas simples.

()84. La détermination des lignes de courbure d'une surface revient à trouver une courbe d'après la direction connue de sa tangente en chaque point, (le problème conduit aune équation différentielle qui a été formée (665). La recherche de l'équation sous forme finie, quand on veut prendre pour point de départ cette équation différentielle, conduit à un problème de calcul intégral que nous n'aborderons pas dans ce chapitre, et que l'on est loin d'ailleurs de savoir résoudre d'une manière générale.

Nous nous bornerons à traiter quelques cas simples dans les(|uels des considérations géométriques font connaître les lignes de courbure. Il est facile de vérifier rnsuitc que leur équation satisfait à l'équation différentielle connue.

685. Surfaces de révolution. — Les lignes de courbure d'une surface de révolution sont évidemment les méridiens et les parallèles de la surface. Les normales aux différents points d'un méridien sont en effet situées dans le plan de ce méridien, et se rencontrent par conséquent deux à deux. Les normales aux différents points d'un même parallèle forment un cône au sommet duquel chacune est rencontrée par \\\ normale infiniment voisine. Ces lignes de courbure se coupent, comme cela doit être, à angle droit.

Les deux rayons de courbure principaux sont évidemint-nl, eu t;lia(|nr point, le rayon de courbure de la ligne méridienne et la portion de normale comprise entre la surface et l'axe.

Lorsque la surface de révolution est sphérique, toutes les normales passent par le centre, et une ligne quelconque tracée sur la surface peut être considérée comme ligne de courbure.

686. Les résultats précédents peuvent aisément se déduire des formules données plus liaut.

Soit

(i) z = ci>{x'-{-f')

l'équation d'une surface de révolution autour de l'axe des :;. On en déduit

dz

L'équation différentielle des lignes de courbure (665) devient, par la substitution de ces valeurs,

(2) [89"(^'+jM-4?"(^'+r')][^r (^)V(^'-r') ^'-;r/j=o.

Le second facteur égalé à zéro donne deux valeurs de -i^ ,

dx

dy __ X dx r

dy y

dx X La première de ces équations équivaut à

ydy-\-x dx =^ o ; on en déduit

La seconde peut s'écrire

dy dx

ou en déduit

(5) lx—lx = c,

cl elle exprime par conséquent que le rapport - est égal à une constante, i.a première de ces équations représente évidemment la projection des parallèles sur le plan des XY, et la seconde la projection des méridiens. Si la fonction 9 était telle, que l'on eut

l'équation (2) serait identiquement satisfaite, et les lignes de courbure deviendraient indéterminées. Ce cas est celui où la surface est spliérique. Si nous posons en effet X- -+- v'-' = u, l'équation (6) devient

9"{«) on en déduit

9'M'') et

Le second membre est la dérivée de \/—c— Zju; on a donc

c et c désignant deux constantes. L'équation de la surface de révolution dont les lignes de courbure sont indéterminées est par conséquent

ou

(2Z-+-2c')'-4-4(a:'-Hr') = — c', équation d'une spbère dont le centre est sur l'axe des z.

687. L'analyse précédente prouve que parmi les surfaces de révolution la sphère est la seule dont les lignes de courbure soient indéterminées. On peut démontrer aisément qu'aucune autre surface ne partage avec elle cette propriété.

Pour que les lignes de courbure d'une surface soient indéterminées, il faut évidemment (jue chaque point soit un ombilic, et que la direction des sections princi- 1. V»o

pales soit arbitraire. La sphère et le plan remplissent évidemment cette condition: nous allons montrer qu'elles sont les seules. Considérons en effet une surface dont chaque point soit un ombilic; les deux rayons de courbure étant égaux en chaque point, les deux nappes de la surface, lieu des centres de courbure, se confondent. Si l'on considère sur cette surface une ligne quelconque, elle sera le lieu des centres de courbure relatifs aux points d'une certaine ligne tracée sur la surface proposée. Les normales menées parles points de cette dernière ligne sont par conséquent tangentes à la première : on en conclut que si .M est un point de la surface lieu des centres de courbure, et A le point correspondant de la surface proposée, la droite AM est tangente à toute courbe tracée par le point M sur la première surface; le lieu des points M a donc, en chaque point, une tangente et non un plan tangent. Ce lieu est par conséquent une courbe et non une surface; mais alors toutes les normales à la surface proposée devraient être tangentes à une même courbe et former une seule surface développable. Cela est évidemment impossible ; le lieu des points M doit donc se réduire à un point, et la surface lieu des points A est une sphère.

688. L'analyse conduit aisément à la même conséquence. Si tous les points d'une surface sont des ombilics, on a (635), pour toutes les valeurs de a; etde v,