PQ.PR
dt, -h-é/eï = —
Mais on a, en nommant - et - les courbures géodésiques des deux côtés,
L — Ji
p.~py'
us'
et par conséquent l'équation (a) peut s'écrire
c'est-à-dire
//, nr. ^P' , I dPQ . „„ ^ ô, , I dP[{ , PO-PR
aa, p, «3:, a X2 p, dx, K, K2
or on a
PR = t/a,V'Ë, PQ = rfajV'^, et par conséquent
f/.PR , c?v/l
dxi (1x2
f/.PQ , rfv'G
—, — ^axi — ; — j as:, aai
c'est-à-dire, d'après les valeurs trouvées pour - et - >
-, — =aa:,.vE.v{j.- > daj p.,
dPQ
=zdxi- y/E • v'G • - >
dx, ' ' p,
et l'équation (/j) devient, en supprimant le facteur rfa, (/aj,
dx, p; aa, pj ' U,H2
et en divisant par VE V^ > et à cause de
ds-i ds, p; P2 KiKî
Cette formule peut être transformée absolument comme la formule analogue trouvée (558); elle fournira, entre les côtés successifs des rectangles qui peuvent décomposer une surface quelconque, une relation toute semblable à celle qui a été
trouvée (559) dans le cas de la sphère, et dans laquelle seulement le carré du rayon de la sphère sera remplacé par le produit des rayons de courbure.
"il. On peut facilement déduire des formules précédentes l'expression de la courbure rr^ en fonction des coefficients E et G et de leurs dérivées : l'équation (3) peut s'écrire, en effet,
dx, clx, \/ËG (f V ' da, ) j d \ ' doc, ) ,
ij-Vî ——-j— -= da,~-r— ■= -dot,,
RiR, dx, ^K dx, y/G
ou enfin, en supprimant le facteur r/a, da^,
'd\fG
y/EG
Cette formule a une grande importance.
Si les lignes qui correspondent à une valeur constante de a^ sont géodésiques, on a (734), en choisissant convenablement a,,
ds' = dcc',-hGdxl;
E est
alors
égal à
l'unité.
et la formule R,R.
devient
d'iG ~ dx]
FIN DU CALCUL DIFFÉRENTIEL
TABLE ANALYTIQUE
Abel. — Théorème relatif à la convergence
des séries ï33
— Théorème relatif à la continuité de» séries
ordonnées suivant les puissances d'une variable 265
— Démonstration de la formule
y (x+fl) = 'a[a:)+nrf'{x + b) 1.2
Aire plane. — Diirérentielle d'une aire plane
en coordonnées rectilignes 1 14
— En coordonnées polaires 1 16
— Expression en coordonnées rectilignes de
la difiérentielle précédente 117
Arc de colrbe. — Délinition de la longueur
d'un arc de courbe 18
— La différence entre un arc et sa corde est
un inhniment petit du troisième ordre. 19
Arc de courbe. — Longueur d'un arc de
cycloïde 20
— Longueur d'un arc de développée 22
— Différentielle d'un arc de courbe 118
— Différentielle d'un arc de cycloïde 1 19
— Différentielle d'un arc de courbe en coor-
données polaires " 120
— Différentielle d'un arc de courbe non
plane ra ppor té à des coordonnées polai res. 1 2 1
— Différentielle d'un arc do courbe dans un
système de coordonnées curvilignes 1 23
— Différence entre un arc infîtiiment petit
et sa corde .517 et 55i
— Différence des tangentes menées aux ex-
trémités d'un arc infiniment petit et terminées à leur point de rencontre 519
— Différence entre un arc et la somme des
tangentes à ses extrémités 552
Bernoulli (Nombres de).— Leur définition. 3o5
— Leur introduction dans le développement
de -^ — 3o5
tr+ 1
— Expressions du h'"'" nombre de BernouUi
donnée par Herschel 345
— Valeur numérique dos neuf premiers nom-
bres de Bcrnoulli ... 347
— Ils s'introduisent dans rex|)ression de la
somme des puissances semblables des nombres entiers 348
— fitude de la somme
considérée conune fonction continue
de /t 349 et 353
— Expression du nombre B„ sous la forme
p 1.2.3... a/i/, , II \
B.- ^»-,„.„ [' + ^« + y.+--) 4ii
Bermoulli (Jacques). — Sa démonstration du développement —, lorsque n est
entier tiH
— Exemple donné par lui du danger des
séries divergentes 228
— Série de Hernoulli 309
— .Application à la détermination numérique
de v/2 et de v'^ 3io
Binet. — Application élégante de la théorie
des fonctions génératrices 342
Binôme ( Puissante d'i'is).— Étude de (i + z)""
lorsque z est imaginaire 376
— Développement de (i + z)", lorsque z est
imaginaire 384
— Séries remarquables qui s'en déduisent. . 384 BooLE. — Expression remarquable de la différence y (x+/i) —f(x) 334
TABLE ANALYTIQUE
NOS des §§ Ho^•^■ET(0.). -Théorème relatif à la dérivée
d'une fonction infiniment petite 45
— - Réciproque de ce (liéorôme 549
!S^ Applications à l'étude des lignes courbes 549 et 552
— Théorèmes relatifs à quelques grandeurs
^^ infiniment petites 60g
9m- Méthode pour la détermination des développées 623
— Produit des rayons de courbure d'une
surface gauche '. . 656
BoRciiARDT. — Introduction remarquable d'une équation différentielle dans un problème d'arithmétique v.14
Bouquet. — Remarque importante relati\c à la distance do deux tangentes infiniment voisines 573
BrnMANN. — Série de Burmann 3-2 1
— Application au développement de c"' en série ordonnée suivant les puissances ùc ir^' 'iijt
('.MITES GÉociRAPUigiES. — Indication des conditions nécessaires pour qu'une carte soit parfaite i3i
t^Aiiciiï.— Formation d'une série convergente ou divergente en même temps qu'une
série donnée à termes positifs -234
- Applications de ce théorèrno. a35, Ï36 et 237
— A donné le reste de la série de Taylor. . . 274
—. A créé la théorie des résidus 434
C.AVLEY. — Application de la formule de Lagrange au développement de — j—r >
lorsque l'on sait développer les puissances entières de <p (s) Sïo
(.oKFFiciEN'TS INDÉTERMINÉS. — Application
au déxeloppement des fonctions en série. 324
— Un en déduit la formule de Taylor .... 325
— Développement de .r cot j: 326
— Développement du produit
(i + .rz) {i+j?-z) (i-|-.r"z) 327
— Développement de
— Développement de
Concavité et convexité d'une courbe plane. 492 Constantes arbitraires. ~ Élimination
d'une constante arbitraire 188
— Élimination d'un nombre quelconque de
constantes 189
— Élimination de deux constantes pour for-
mer une équation aux différentielles partielles 191
— Élimination de « constantes dans une
équation qui contient un nombre égal
de variables indépendantes 196
Contact. — Définition de l'ordre du con-
Uct.. 533 et 534
(Contingence (Angle de). —Différence entre l'angle d'une corde avec la tangente et la moitié de l'angle do contingence. ... 5i8
Continuité. — Condition de continuité des
séries 263
Continuité.— Démonstration d'un théorème
d'Abel 265
— Si une série ordonnée suivant les puis-
sances de j: est convergente pour certaines valeurs de x, il en est de même
de sa dérivée 267
Convergence. — Lorsque les termes sont positifs, la condition nécessaire et suffisante de convergence est que la somme n'augmente pas indéfiniment... 229
— Condition de convergence déduite du
rapport d'un terme au précédent 23o
— La convergence de la série à termes
positifs, dont le terme général est »„.
dépend de la limite de {"„)" 23 1
— Convergence des séries à termes positifs.
— «„ étant le terme général d'une série à termes positifs, il est nécessaire pour la convergence que //«„ tende vers zéro. 232
— La réciproque de ce théorème n'est pas
exacte; remarque curieuse d'Abel à ce sujet 233
— Formation d'une série qui est conver-
gente ou divergente en même temps qu'une série donnée à termes positifs. 234
— Application aux conditions de conver-
gence d'une série 235 et 236
— Formation de certaines fonctions du terme
général, dont la limite, si elle dilfore de l'unité, permet de prononcer sur la convergence ou la divergence d'une série 238 et 24 1
— Règles de Gauss 242
— Méthode de M. Kummer 243 et 244
— Convergence (Cercle de). — Ce que l'on
nomme cercle de convergence d'une série. 26 1
— Convergencedesproduitsinfinisdelaformc
(!+«,) (l + aj-(i-faj, ^11 "ji ^,1 étant réels et de même signe. 400
— Cas où les seconds termes, toujours réels.
ne sont pas de même signe 401
— Convergence d'un produit infini dont les
facteurs sont imaginaires 4o3
TABLE ANALYTIQUE
N"des«
rj)NVERGENCE. — La série qui donne ~ — -
cesse d'être convergente lorsque x surpasse ï7r, et peut néanmoins servir au
calcul numérique
(.ooudon.vbes curvilignes. — Différentielle (l'un arc de courbe en coordonnées curvilignes 123 et
— Distance de deux points inlinimenl voisins
dans un sjsième de coordonnées curvilignes
— Cas où le système est orllio}.'onal
— Distance de deux points situés sur une
>urface donnée 1 '-5
— Application des formules précédentes aux
coordonnées polaires 127
— Applicalion au système formé par les sur-
faces homofocaies du second degré
— Distance de deux points infiniment voisins
situés sur une surface de révolution. . . Coordonnées curvilignes orthogonales.— Définition des p&ramèlrcs //„ A^, Aj, introduits par M. Lamé, qui ne changent pas avec la direction des axes i83
— .r, j, a étant les coordonnées reclilignes
d'un point, et p, p,, Pj les coordonnées
curvilignes, on a
dx I do
du II' dx
— Expression de la somme
lï? "^ rf/' "^ dz^ ' dans un système de coordonnées curvilignes orthogonales 184 et
Coi RBES A DOUBLE COURBURE. — TangCntO
aux courbes à double courbure 91
— Plan normal à une courbe à double cour-
bure. (Voy. Courbure, développées, etc.).
Courbes enveloppes. — L'enveloppe est le
lieu des intersection^ successives de
l'enveloppée
— équation de l'enveloppe d'un système de
courbes - 'oS
— Quelques applications 109 et 1 10
('ouBBES PLANES. — Distinction entre la portion du plan intérieure à la courbe, et la portion extérieure 82
Courbes spiiériques. — Détermination du
grand cercle tangent en un point donné. 93
CouBBURE. — Sens do la courbure 49»
— Définition de la courbure 49^
— (Centre de courbure 494
— Rayon de courbure, son expression. . . . 496
— Expressions diversesdu mèrae rayon pour
une courbe plane. 497
io4
Courbure. — Courbure dune courbe plane
en un point de rebrous.-ement 5oi
— Rayon de courbure de l'ellipse, de la cy-
cloïde,delaspiralelogarithmique. 5o4 et So."»
— Rayon de courbure d'une roulette 5o(i
— Courbure des lignes orthogonales 'loS^i
— Définition de la courbure d'une courbe à
double courbure SjS
— Rayon de courbure d'une courbe à double
courbure 584
— Propriété des courbes dont la courbure
est constante C07
— Courbure d'une section normale dans une
surface 624 et 633
— Courbure d'une section oblique 629
— Courbure d'une ligne quelconque tracée
sur une surface 63o et 03*
Courbure (Cercle de). — Sa définition.. 49^
— Il traverse la courbe 496, 525 et 54 1
— Dislance d'une courbe à son cercle de
courbure 52i
— Cercle de courbure d'une ligne sphérique. 544
— Pôle du cercle de courbure 545
— Définition du cercle de courbure d'une
courbe à double courbure 58-/
— Formules élégantes dues à M. Serret. . . . Sgo "Courbure gkodésique. — Définition de la
courbure géodésique d'une ligne sphéri(iue 542
— Courbure géodésique d'un petit cercle. . . 543
— Diverses expressions de la courbure géo-
désique d'une ligne sphérique 54fi
— La courbure géodésique est proportion-
nelle à la distance do la courbe au grand cercle qui la touche 55»
— Définition de la courbure géodésique sur
une surface quelconque 714
— Différentes expressions de la courbe géo-
désique -. 714 et 719
Courbure (Ligne ue). — Définiliondes lignes
lie courbure C(i3
— Leur équation différentielle (-Xvi
— Quand une ligne de courbure est com-
mune à deux surfaces, les surfaces se coupent sous un angle constant 678
— Les lignes de courbure correspondent
aux lignes do courbure dans la transformation par rayons vecteurs réciproques. 683 - Détermination des lignes de courbure des surfaces de révolution 685
— Surface dont les lignes de courbure sont
des sections principales 7o<>
— Surface dont les lignes do courbure sont
indéterminées 687
— Lignes de courbure de l'ellipsoïde 689
768 TABLE ANALYTIQUE
]N"sdcs§§
CoLBBUHE (Ligne de). — Des surfaces déve-
loppables 6go
— Lignes de courbnro de la surfjce enve-
loppe d'une sphéie Cg4
— Le rayon do courbure d'une surface-canal j " est constant 696
\P^ Surface dont toutes les lignes de courbure
sont des cercles 698
— Surfaces dont les lignes de courbure sont
planesetsituéesdansdesplans parallèles. 703
— Surface dont toutes les lignes de cour-
bure sont planes 705 et 706
CoDRBURE (Rayons principaux de). — Leur
définition en un point d'une surface C27
— Moyen de les déterminer C34
— Expression remarquable du rayon de
courbure principal 687
— Méthode élégante pour déterminer le
produit des rayons principaux 654
lV»»des§§ CoLBBURE (Ratons principauxde). — Application aux surfaces gauches 656
— Théorème de Sturra sur les normales d'une surface 658
— Rayon de courbure d'une surface développable 6go
— Unesu rfacedont les deux rayons de courbure principauxsontconstantsestunesphère. . 699
CouRULRE (Seconde). — Définition de la
seconde courbure 58o
— Rapport dos deux courbures 58i
— Expression de la seconde courbure 58g
Cycloïde. — Tangente à la cycloïde 14
— Arc de cycloïde 'ao
— Longueur d'un arc de cycloïde 20
— Dillérentielle d'un arc de cycloïde 1 ig
— Son rayon de courbure 5o4
— Sa développée Sag
DÉRIVÉES. — Définition de la dérivée 3
— Dérivée ; définition -23
— Li^ dérivée de l'ordonnée est le coeffi-
cient angulaire delà tangente 24
— Dérivée de ■v'" 26
— Dérivée de «^ 27
— Dérivée deloga- 28
— Dérivée de sin j: 29
— Dérivée de cos x 3o
— Dérivée de tang x 3i
— Dérivée de arc sin j: 34
— Dérivée de arc cosx 34
— Dérivée de arc tangx 34
— Dérivée d'une fonction de fonction 36
— Dérivée d'une fonction liée à la variable
par plusieurs fonctions intermédiaires.. 38
— Dérivée d'un produit 39
— Dérivée d'un quotient 40
— Dérivée d'une puissance 4'
— Dérivée d'une expression de la former'. /\i
— Dérivée des fonctions simples. ... 25 et 3i
— Des fonctions inverses 32 et 35
— Des fonctions de fonctions 36 et 37
— Emploi des dérivées pour l'étude des fonc-
tions 44
— Ordre de grandeur d'une dérivée infini-
ment petite 45
— Dérivées partielles; leur définition 5o
— Importance des variables qui sont con-
sidérées comme constantes Si
— Dérivée d'une fonction composée 58
DÉRIVÉES. — Dérivée d'une fonction implicite. 60
— Cas de deux équations à deux inconnues. 62
— Cas d'un nombre quelconque d'équations. 63
— Cas de plusieurs variables indépendantes.
64, 65 et 66
— Il existe toujours une fonction dont la
dérivée soit égale à une fonction donnée , il 5
— Définition des dérivées d'ordre supérieur
au premier 182
— Dérivées successives d'un produit i3g
— Dérivées successives d'une fonction de
fonction i4o
— Dérivées successives de <p(x') iji
n — - -Calcul de ^ ' , ,., i43
— Dérivées de arc tang.r 144
— Dérivées de arc sin.r i45
— Dérivées d'ordre supérieur au premier
pour les fonctions de plusieurs variables.. i5g
— L'ordre dans lequel on prend deux déri-
vées successives est indifférent 1 60
— Dérivées d'ordre supérieur des fonctions
implicites i65 et 166
— Expression élégante de j^ — 307
— Dérivée d'ordre quelconque d'une fonc-
tion de fonction 3o8
— Valeurs numériques de quelques dérivées
lorsque l'on suppose la variable nulle. . 146 à i58
NOS des §§
Ukrivbes partielles. — Définition des dérivées parlielles du premier ordre 5o
— La dérivée partielle d'une fonction
donnée, prise par rapport à une variable donnée, n'est déterminée que lorsqu'on se donne les autres variables supposées constantes dans le calcul de la dérivée 5i et Sa
DÉTERMINANTS. — Définition des déterminants 68
— Condition pour qu'un déterminant soit
nul ()9
— Produit de deux déterminants 70
— Définition du déterminant d'un système
de fonctions 71
— Définition analogue à celle de la dérivée. 72
— Condition nécessaire et suffisante pour
que le déterminant d'un système soit
nul 73 et 74
— Déterminant d'un système de fonctions
de fonctions 75
— Déterminant d'un système de fonctions
inverses 76
— Réduction du déterminant d'un système
de fonctions à un monôme 77
— Lorsque l'on développe le déterminant du
système de deux fonctions de variables .r et y, la série qtù le représente ne contient pas de termes en — 398
DÉv ELOPPABLES (SiRPACEs). — La propriété d'avoir un rayon de courbure infini est c^raclérisliquedessurfacesdéveloppables 6g3
DÉv Eix)PPÉE . — Arc de développée 22
— Leur définition 322
— Leurs propriétés 523 et 524
— Développée de l'ellipse 527
— De la cycloïde 529
— Développée d'une épicycloïde 528 et 53i
— De la spirale lof,'arithmique 532
— Développées spliériques 553
— Définilioii de la développée d'une courbe
à double courbure Cio
— Longueur d'un arc de développée 611
— Normale principale de la développée Ci3
DÉVELOPPÉES.- Surface lieu des développées. 6 1 5
— Ije» développées deviennent rectilignes
par le développement de la surface qui
les contient 616
— fiquation des développées C22
TABLE ANALYTIQUE
NOS des
Différentielle. — Définition de la différentielle d'une fonction d'une seule variable
— Interprétation géométrique de la différentielle
— Différentielle d'une fonction de plusieurs variables
— Avantage que l'emploi des différentielles
peut présenter sur celui des dérivées. .
— Cet avantage se montre surtout lorsque
l'on considère plus de deux variables. .
— Définition de la différentielle d'une,fonc-
tion de plusieurs variables 53
— La différentielle peut remplacer l'accrois-
sement de la fonction 53, 54, 55 et 56
— Les variations infiniment petites de plu-
sieurs variables liées par une équation sont toujours liées par une équation du premier degré 57
— Différentielle d'une aire plane 114
— En coordonnées polaires 1 iG
— Différentielle d'un arc de courbe. 118
— En coordonnées polaires 1 20
— Différentielle d'un are de courbe non
plane rapportée à trois coordonnées polaires 121
Différentielle d'un arc do courbe dans un svstème de coordonnées curvilignes. . .
— Différentielle d'un arc de courbe tracé
sur une surface r/0
— Définition des différentielles d'or.lre su-
périeur au premier i33
— Influence de la variable indépendante sur
les différentielles d'ordre supérieur au premier 1 18
Différentielles d'ordre supérieur au PREMIER. — A"/ et f/ysont deux infiniment petits d'ordre « dont le rapport a pour limite l'unité 137
— Différentielles d'ordre supérieur pour les
fonctionsd'une seule variable.. . i33 et i3i)
— D'ordre « d'une fonction de deux varia-
bles; représentation symbolique it)2
— Définition des différentielles de divers or-
dres pour les fonctions de plusieurs variables 162'
— Extension de la formule i63
— Représentati(m de la différentielle par
une formule symbolique 162 el i63
TABLE ANALYTIQUE
Différentielle d'ordre siïpérieur au l'REMiEii. — Cas OÙ les variables ne sont pas indépendantes 164
— Différenlielles d'une fonction de plusieurs
variables non indépendantes 164
— Influenccde la variable indépendantesur les
différentiollesd'ordre supérieur au premier 1C7 Oliiamel. — Remar<iue re'ative à la continuité des séries 264
DupiN (Charles). —Ce qu'il nomme indicatrice 638
— Tangentes conjuguées (J4,'>
— Théorème important relatif aux lignes de
courbure des surfaces orthogonales. . .. ()8i
— A trouvé la surface dont toutes les lignes
de courbure sont des cercles ChjS
KisEiNSTEis. — Auteur d'un théorème relatif au développement des puissances quelconques d'une série 33?.
ÉwcYCLo'iDE. — Tangente à l'épicyclo'ide. . . 83
ÉglATlONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. —
Élimination d'une fonction arbitraire.. . . iSy ~ Formation d'une équation aux différentielles partielles par l'élimination do deux constantes 191
— L'équation obtenue est plus générale que
celle dont elle provient 192
— Formation d'un nombre infini de solu-
tions distinctes de' celle que l'on s'est donnée 1 yS
— Kxtension aux fonctions d'un nombre quel-
conque de variables 196
-^ Élimination de /■ fonctions arbitraires figurant dans / + i équations simultanées 1 99
— Examen d'un cas exceptionnel qui se pré-
sente chaque fois que l'équation auxdifïérentielles partielles obtenue est du premier ordre, sans être du premier degré, par rapport aux dérivées 201
— Des surfaces cylindriques 202
— Des surfaces coniques 2o3
— Des surfaces de révolution 204
— Des surfaces cono'i'des 2o5
— Des surfaces engendrées par une droite
qui rencontre une droite fixe 207
— Des surfaces gauches à plan directeur. . 208
— Des surfaces développables 209
— Des surfaces réglées 212
— Des surfaces-canaux 2 1 3
Équations aux dérivées partielles. —
Des surfaces dont les lignes de courbure
sont planes 706
Équations différentielles. — Définition
d'une équation différentielle 1 86
— Formation des équations différentielles par
l'élimination d'une constante 188
— Élimination d'un nombre quelconque de
constantes 189
— Introduction remarquable d'une équation
ditrérentielle dans un problème d'arithmétique 214
Équations difkére.ntielles totales. — Leur
définition 2 1 5
— Manière de les former par l'élimination
d'une constante 216
— Uneéquation différentielle lotaledelaforme
ne correspond pas toujours à une relation entre x, j el z 217
— Généralisation des résultats précédents. . 218 EuLEB. — Transformation d'une classe de séries 2.'>(>
— A donné le premier les développements
de sin »;.r et de cos iii.r en série ordonnée suivant les puissances de sin .r et de cos .r 404
— A donné le développement
en série ordonnée suivant les puissances de .r 33o
— A donné la formule
(2C0S.r)"'= COS mx -+- m COS {m — 2).r+...
3HJ
Fonctions.— Définitiondes fonclionsinverses. 32
— Définition des fonctions de fonctions 36
— Conditions pour qu'une fonction soit crois-
sante ou décroissante 44
— Étude de la fonction ^ — - 44
— Ftude de la fonction /(i -|-.r) —.r 44
Fonctions. — Formation d'une équation aux différentielles partielles par l'élimination d'une fonction arbitraire..
'97 et 198
— Élimination de /■ fonctions arbitraires figurant dans i+i équations simultanées 190
No'dcsgg
Fonctions. — Fondions que Legendre a dé-
■lignées par X„ 354
— Expression X„ déduite du théorème de
Lagrange 3 1 5
— M(^me expression obtenue directement. . 355
— L'équation X„ = o a n racines réelles
comprises entre — i et + i 35G
— fiquation différentielle du second ordre
à laquelle satisfait X„ '. 357
— Relation simple entre X„, X,^, et X
— Expression de la dérivée
(IX
de de
3Go 36 1
— Définition d'une fonction imaginaire.
— Conditions pour qu'une expression
la forme P 4- Q v/ — ' *oit fonction
