X +JI V
— Équation aux dérivées partielles à laquelle
doivent satisfaire P et 0
— Deux fonctions imaginaires qui ont môme
dérivée ont une différence constante. . . 3G4
— Définition de quelques fonctions. 365 et Z--i
— Distinction entre les fonctions bien et mal
déterminées SjS
— ('ommcnt on désigne une valeur spéciale
|)0ur une fonction mal déterminée SyS
— Si la courbe qui sert à définir cette valeur
se déforme , il y a changement brusque lorsqu'elle traverse certains jiointsdu plan
— Étude de S x -\- y /-^
— Élude de (i +2)™
TABLE ANALYTIQUE. 771
No«dcs§S
FoNCTio.NS UE PLUSIEURS v.\RiABLEs.— Extension aux fonctions de plusieurs variables. 48-.* Fonctions génératrices — Leur définition. 33;
— Principes de leur théorie 33; et 34o
— Quelques applications 34 1
Fonctions implicites. — Dérivées d'ordre
supérieurdesfonclionsiraplicites. i65ct i6!i
— Maximum et minimum des fonctions implicites 4**4
Fonctions inverses. — Déterminant d'un
système de fonctions inverses 76
Fo.nctions SV.MÉTRIQUES. — .\pplication du calcul des résidus au calcul des fonctions symétriques des racines d'une équation 44**
— Application à deux équations à deux inconnues i5o
Fraction. — Véritable valeur d'une fraction
— Recherche de la fonction de forme donnée
qui s'écarte le moins possible d'une fonction donnée 488
— A|)plication à la recherche du polynôme
de degré « qui s'écarte le moins possible de zéro 491
Fonctions de fonctions. — Déterminant d'un
système de fondions de fonctions 75
— Dérivées successi\es d'une fonction de
fonction i4o et 141
— Dérivées de la fonction y (j') 142
— Dérivée d'ordre quelconque d'une fonc-
tion do fonction 3o8
Fonctions oe pusieur-s variabi.es. — Expression de son accroissement infiniment petit sous forme de série 393
— D(!veloppemenl en série ordonnée suivant
les puissances et les produits des variables 394 et 395
— Extension de la formule de I^agrange aux
fonctions de deux variables 397
— Démonstration de Jacobi 3g8
— Maximum et minimum des fonctions de
deux variables 480
qui se présente sous la forme - 4^'
— Cas où la fraction contient deux variables. k^'>.
— Fraction qui se présente sous la
forme 2 453 «t 45 j
Fractions continies. — Leur définition.. . . 419
— Transformation de la série
A, Aj Aj en fraction continue. 4/0
— Application à I2 et à 7 k-i\
Transformation d'une série de la forme B,-B, + B,
Application à 1 -1- 71 -|- y' z' 4- .
Transformation de
Â~Â5"^ÂBc
Développement de 1 en fraction cou-
tmue.
— Dévelop|)emenl d'une fonction sous forme
de fraction continue, méthode générale.
— Développement do (1 -'rx)" sous forme de
fraction continue 4^17
— Développement de arc tang x 4-i«
— Tninsformation de la série
— On en déduit le développement de ■~
en fraction continue 4/<)
— Transformation en fradion continue de la série
Application à (i -f-x)"
Application à l(H-x) 43-/
Application à c* 433
TABLE ANALYTIQUE
No»des§§
Galss. — llèglesde convergence d'une classe
de séries il\;i.
— Développement en fraction continue de la série
I H -oc-,
Pf'desSS
Gauss. — Définition de la courbe d'une surface 720
— Lorsqu'on développe une surface la cour-
bure est invariable 724
— Expression du produit des rayons de
courbure 741
IIerschel. — Théorème d'Herschel; relatif au développement de » (c*^ ) 345
Imaginaires. — Représentation géométiique
des quantités imaginaires 260
— Le module d'une somme est moindre que
la somme des modules 260
— Définition d'une fonction imaginaire SSg
— Condition pour que P + Qv/— 1 soit fonc-
tion de X -\-r \J — : 36o
— Définition de z'" lorsque z est imaginaire. 365
— Définition de e* 366
— Dérivée de e- 367
— Définition de sin z et de eos z 368
— Définition de tang z 869
— Définition de 1 z 370
— Dérivée de 1 z 371
— Définition de z'" pour une valeur quel-
conque de m ' 372
— Application des fonctions imaginaires au
développement de cot .r 387
— Application des fonctions imaginaires au
développement de ( 2 cos x)'" 385
Indéterminées (Formes). — Fractions qui se
présentent sous la forme - — 45i et 452
— Fractions qui se présentent sous la forme
=£. 453 et 454
QO
— Autres formes indéterminées 456
7- Emploi des séries pour trouver la véritable valeur d'une forme indéterminée.
458 et 46i
Indicatrice.— Définitionde la courbe nommée
indicatrice par M. Dupin 638
— Son emploi pour la démonstration de
quelques théorèmes 638 et 645
Indicatrice spiiérique. — Sa définition. . . . 566 Infiniment petit. — Définition d'un infiniment petit I
— Des infiniment petits de différents ordres. i
Infiniment petit. — L'accroissement infiniment petit d'une fonction est de même ordre que celui de la variable 2
— Si les coordonnées des points d'une courbe
s'expriment en fonction d'une variable a, la distance de deux points infiniment voisins de la courbe est de même ordre que la différence des valeurs de a auxquelles ils correspondent 4
— Si les points d'une courbe correspondent
un à un à ceux d'une autre courbe, la distance de deux points voisins est de même ordre que celle de leurs correspondants 5
— Si une ligne droite se déplace suivant
une loi continue, l'angle de deux positions infiniment voisines est de même ordre que la variation correspondante du paramètre 6
— Si le.'î points d'une surface correspondent
un à un à ceux d'une autre surface, la distance de deux points voisins de l'une est de même ordre que celle de leurs correspondants sur l'autre 7
— La distance d'une courbe à sa tangente,
à distance infiniment petite du point de contact, est infiniment petite du second ordre 8
— Il existe en chaque point d'une courbe
plane un cercle qui la touche, et qui s'en approche infiniment plus que la tangente. 10
— Condition nécessaire et suffisante pour que
deux infiniment petits puissent être substitués l'un à l'autre dans la recherche de la limite d'un rapport ou d'une somme 11 et 12
TABLE ANALYTIQUE
N0'des§§ Lnfimment petit. — Condition pour que deux points voisins puissent être substitués l'un à l'autre dans la recherche d'une tangente 1 3
— Le plan tangent d'une surface est à dis-
tance infiniment petite du second ordre de tout point de la surface infiniment voisin du point de contact i6
— Condition pour qu'un point puisse ôtro
substitué à un autre dans la détermination d'un plan tangent 17
— La différence entre un arc et sa corde est
infiniment petite du troisième ordre.. . 19
NOS des §§
Infiniment petit.— .\ccroissement infiniment petit d'une fonction exprimé sous forme de série 276
— Accroissement infiniment petit d'une fonc-
tion de deux variables SgS
— Ce que l'on nomme valeur principale. . . 548
— La dérivée d'un infiniment petit a pour
valeur principale la dérivée de la valeur principale 549
— Distanced'unecourbeàsonplanosculateur 608
— Distance de deux tangentes infiniment
voisines 609
Jacobi. — Définition du déterminant d'un
système de fonctions
— A donné l'expression simple de
fi-'d — x') 2
Uaf"
Jacobi. — Démonstration de la formule de
Lagrange 3i4
— Démonstration de la formule de Lagrange
dans le cas de deux variables 398
— Théorème relatif à une courbe fermée
quelconque 726
KuMHER. — Méthode pour décider de la con- 1 Kummer. — Méthode de sommation pour les
vergence d'une série 243 et 244 | séries 255, 256 et 267
Lagrange. — Reste de la série de Taylor
— Formule de Lagrange pour développer la
fonction définie par l'équation
— Généralisation due à Laplace
— Quelle est la racine développée par la
formule de Lagrange
— Seconde démonstration due à Jacobi
— Application de la formule au développe-
ment de(i — 2</j;-(-j:')~^
— Application de la formule au développe-
ment do
— Développement de la racine d'une équa-
tion du second degré
— Développement de la racine de l'équation
jf*' + rij: — ù = o
— Développement de la racine de l'équation
«„=rt,X-|-rt,x'-+-...-|-0„x"
— Développement de — — ■ lorsque l'on sait
dévclopperle8puissancesentièresdey(2).
— Expression symbolique de la série de
Taylor
— Extension de la formule aux fonctions de
deux variables
Lamé. — Formule remarquable relative aux courbures de deux séries de lignes orthogonales 5u
— Formule analogue pour les courbes tra-
cées sur la sphère 558
— Formules analogues relatives à une sur-
face quelconque 739
Laplace. — Démonstration qu'il a donnée de
la formule de Lagrange 3i i
— Généralisation de la formule 3i2
— Auteur de la théorie des fonctions géné-
ratrices 337
— A donné l'expression symbolique du dé-
veloppement de y (.r+/i, /+/), a étendu la formule de Lagrange aux fonctions de
deux variables 398
Legenure. — .\ étudié le premier certaines fonctions qui naissent du développement
ihil-iJct + z')''' 354
Leibnitz. — A déduit le développement
de 7 de la théorie des intérêts
(I.rr
composés 125
L1011VI1.LK. — Ce qu'il nomme courbure géo-
désique 54/
TABLE ANALYTIQUE
N°sdes§§
Logarithmes. —Étude de la fonction l(i+z),
lorsque z est imaginaire 877
— Développement de 1 (i +z), lorsque z est
imaaiinaire 38i
TV'o'desSS Logarithmique (Spirale). — Son rayon de
courbure 5o4
— Sa développée 532
Maclalbi.n. — Série que l'on désigne habituellement sous le nom de théorème de Maclaurin
— Démonstration du théorème de Maclaurin,
déduite de la méthode des coefficients
indéterminés
Mannheim. — Démonstealion du théorème de M. Dupin sur la surface dont les lignes de courbure sont circulaires
Maxiha et minima.— Définition du maximum d'une fonction d'une seule variable
— Condition du maximum et du minimum .
— Plus courte distance d'un point à une
courbe 474 et
Maxima et mimma.— Conditions de maximum ou do minimum pour les fonctions de deux variables 480
— Extension aux fonctions d'un nombre
quelconque de variables
— Maxima et minimades fonctions implicites. Mimma (Ligne). Voy. Géodésiqiœ [Ligne). —
Le plan osculaleur de la ligne minima sur une surface est normal à la surface.
— Les tangentes à une série lignes géodési-
ques sont normales à une même surface.
Mo>GE.— Propriété caractéristique des droites
normales à une même surface G49
MunPHY. — Application élégante du théorème
de Taylor 807
Normal (Plan). — Plan normal à une
courbe à double courbure 92
— Équation du plan normal à une courbe à
double courbure 92
Normale. — Équation de la normale à une
courbe plane 78 et 79
— Angles formés par la normale à une
courbe plane avec les axes de coordonnées 81
— Distinction entre la normale intérieure et
la normale extérieure 82
— Normale à une surface courbe gS
— Angles de la normale avec les axes 96
— Distinction entre la normale intérieure et
la normale extérieure . .• 96
— Équation de la normale à une courbe
plane 78 et 79
— Il n'existe pas en général de surface nor-
male à un faisceau donné de droites .... O47
— Condition nécessaire pour que la surface
existe 648
— Propriété caractéristique des normales à
une surface 65o
— Expression des angles qui caractérisent
la direction de la normale dans le voisinage d'un point donné 65i
— Lorsque des rayons normaux à une sur-
face sont réfractés, quelle que soit la surface de séparation des milieux, ils restent normaux à une surface 65g
Normale. — Surface tangente aux normales
d'une surface donnée 673
— Cette surface a deux nappes qui, vues
d'un point quelconque, paraissent se couper à angle droit 675
— Lorsque les normales d'une surface sont
tangentes à une sphère, elles sont
aussi tangentes à un cône 676
Normale (Principale). — Sa définition 587
— Calcul des angles qu'elle forme avec les
axes 587
— Surface lieu des normales principales. .. 596
— Les normales principales ne sont pas tan-
gentes à une même courbe 597
— Plus courte dislance de deux normales
principales infiniment voisines 600
— Normale principale de la développée d une
courbe 61 3
Normale (Sous-). — Expression de la sousnormale 680
— Expression de la sous-normale en coor-
données rectilignes 80
— Expression de la ligne que l'on nomme
sous-normale en coordonnées polaires.. 87 Notation symbolique. — Représentation
symbolique de la série de Taylor 343
— Application de la notation symbolique au
développement de « (x + h) — ^(x).. . 344
— Démonstration du théorème d'Herschel. 345
TABLE ANALYTIQUE
N<>«dcs§§
Ombilics. — Leur définition 635
— Il faut deux équations pour les détermi-
ner 635
Orthogo.nales (Courbes). — Distance de
deux courbes infiniment voisines 5o7
— Expression du rayon de courbure en fonc-
tion des coefficients de la distance de deux points voisins 5o8
— Théorème de M. Lamé sur la variation
des courbures de deux systèmes de courbes planes orthogonales , . 5i i
— Loi de variation des côtés des .rectangles
qui décomposent un plan 5i4
— Courbes orthogonales sur la sphère,
théorèmes analogues à ceux qui se rapportent aux lignes planes 556 à 56i
— Théorème analogue relatif aux lignes tra-
cées sur quelques surfaces ySg
— Théorème de M. Dupin 68i
Oscui.ATEUH (Cercle). — Définition du cercle
oscillateur lo
— Se présente à l'occasion de la plus courte
distance d'un point à une courbe 474
NOS des §§
OsccLATECR (Cercle). — Il ne diffère pas
du cercle de courbure 540
— Le cercle osculateur d'une courbe à dou-
ble courbure ne diffère pas du cercle de
courbure 583
Osculateur ( Plan). — Sa définition. 562 à 5&)
— L'angle du plan osculateur avec la tangente
voisine est infiniment petit du si>cond ordre 567
— Intersection du plan osculateur avec la
tangente voisine 5C8
— Intersection de deux plans osculateurs in-
finiment voisins 569
— Intersection de trois plans osculateurs
infiniment voisins 570
— Surface-enveloppe des plans osculateurs. . 571
— Équation du plan osculateur 574
— Plan osculateur de l'hélice 577
— L'axe du plan osculateur est l'intersection
de deux plans normaux voisins 593
— Distance d'une courbe au plan osculateur. 608 OscuLATUicE (Sphère). — Sa définition 601
— Détermination de son centre et de son
rayon 6o3 à 60C
Osculatrices (Courbes). — Leur définition. 539
Paoula. — Remarque relative aux points
singuliers 467
Plan tangent. — • Démonstration géométrique de l'existence du plan tangent en un point d'une surface 1 5
— Le plan tangent d'une surlace est à (iis-
tance infiniment petite du second ordre de tout point de la surface infiniment voisin du point do contact 16
— Condition pour qu'un point puisse être
substitué à un autre dans la détermination d'un plan tangent 17
— Détermination géométrique de quelques
plans tangents 17
— Équation du plan langent a une surface. 94
— Détermination de quelques plans tan-
gents 98 et 99
— Remarque relative aux problèmes précé-
dents 100
— Plan tangent d'une surface réglée loa
— Cas où la surface réglée est développable. io3
PoiNsoT. — A levé le premier les difficultés relatives aux développements de sin/«x et de cos/«x en séries ordonnées suivant les puissances de sïnx et de cos jt. 298
— A le premier précisé le sens des formu-
les sur le développement des fonctions angulaires 385
Poisson. — Objection à la formule ( 2C0Sx)"' = cos«/j;-|-/«cos(/n — ■i)x-^-. . . donnée par Euler 384
Produits infinis. — Expression remarquable de jTSOus forme de produits infinis. 4'''>
— Développement en série du produit
{i+xz)(\+x'z)(i + x'z).... 327
— Développement de
{t+xz){t+a^i)(i-hx''z) 3a8
— Développement de
— Développement do
— Développement de e~' en produit 335
TABLE ANALYTIQUE
N<>'des§§
Produits infinis.— Condition de convergence
de I +a,)(i-f-aj)...(H-aJ,...
a,, «j,... a„ étant réels et de même signe 4oo
— Quels que soient les signesdea,,aj,...a„,
le produit est convergent lorsque les deux séries
sont toutes deux convergentes 401
— Produits dont les facteurs sont imagi-
naires 4o3
— Expression de sin x sous forme de pro-
duit infini 4o4
No"dcs§§ Produits infinis. — Expression de cosx.. 4o5
„ , cos X — cos n . „
— Expression de —^ — 406
— Expression de
i — cos (l cos X -f- cos a
I + cos a Expression decosx-l-tang-asinj: . 407
Expression de cos .r — tang-osinx.. .. 407
Expression de ■
Rebroussement (Point de). Voy. Singulier.
— Le rayon de courbure est nul en un
point de rebroussement de première espèce 5oi et 5oa
RÉSIDU. — Définition du résidu d'une fonction 434
— Toute fonction qui devient infinie n'a pas
un résidu correspondant 435
— Trouver le résidu d'une fonction donnée
pour une valeur de la variable qui la rend infinie 436
— Notations employées pour représenter les
résidus , 438
— Si f (x) devient infinie pour x =a, la
différence
conserve une valeur finie 439
— Application du théorème précédent à la
décomposition des fractions rationnelles 44'
— Somme des riésidus d'une fraction ration-
nelle 442 et 443
RÉSIDU. — Changement de la variable indépendante dans un résidu 444
— Application de la théorie des résidus à la
démonstration de quelques séries 447
— Application de la théorie des résidus au
calcul des fonctions symétriques des racines d'une équation 448
— Extension au cas de deux équations à
deux inconnues 45o
RoBEBTs (William). — Remarque sur un mode de transformation des courbes qui n'altère pas l'angle sous lequel elles se coupent 90
Roche.— A donné une expression du reste
de la série de Taylor 275
Rodrigues. — A donné le premier une expression remarquable de la fonction désignée par X„ 355
— Propriété caractéristique des lignes de
courbure 669
Roulette. — Rayon de courbure d'une roulette 5o6
ScHLOMiLCH. — A donné une expression du
reste de la série de Taylor 275
Sections principales. — Leur définition. . . 627
— Moyen de les déterminer 633
— Relation remarquable entre des varia-
tions relatives à deux déplacements effectués suivant les sections principales 636
— Surface dont les lignes de courbure sont
des sections principales 700
SÉRIES. — Définition d'une série convergente
et divergente 220
SÉRIES.- Sommation immédiate de quelques
séries 221, 222, 223 et 224
— Sommation de quelques séries par la dé-
composition en séries plus simples 225 et 226
— Transformation d'Euler pour les séries
ordonnées suivant les puissances de x.. 25o
— Nécessité de n'employer dans la transfor-
mation que des séries convergentes... 25 1
— Remarque curieuse à ce sujet a5i
— Seconde démonstration qui donne une
limite de l'erreur commise 252
TABLE ANALYTIQUE
SÉRIES. — Sommation par la méthode de
Slirling 253 et a54
— Méthode de M. Kummer. . . 255, 256 et 267
— Multiplication de deux séries à termes
réels et positifs aCg
— Multiplication de deux séries telles, que
les modules des termes forment une série convergente 270
— Développement de a' 280
— Développement de 1 (1 +x) 281
— Singularité que présente cette série
pour x= I , lorsque l'on groupe convenablement les termes 282
— Développement de { i + x)" 283
— Condition de convergence de la série pré-
cédente, pour x= I 284
— On peut, du développement de ( 1 + x)'",
déduire celui de 1 ( i 4- x) 285
— On peut également en déduire le déve-
loppement de arc sin X 286
— Et celui de [i—'xa.x+x')' ■> 288
— Définition et expression de la fonction
nommée X, 288
— Développement de sin x 289
— Développement de cos x 290
— Développement de cos mx en série or-
donnée suivant les puissances de sinx. 291
— Développement de sin mx en série or-
donnée suivant les puissances de sin x. 292
— On en déduit le développement de x en
série ordonnée suivant les puissances
de sin X 294
— On en déduit aussi les développements
de sin x et de cos x en séries ordonnées suivant les puissances de x 295
, sinw.r , .
— Développement de „, en séné or-
donnée suivant les puissances de tang x. 299
— Développement de arc tang x 3oo
— Développement de arc tang (x+/i) 3oi
— Diverses conséquences de celte formule. 3oi
— Dévelop|)ement de arc sin x 3oa
— Développement de (arc sin)' 3o3
— Développement de x col x 3o4
— Développement de et de ^ ... 3o5
— Divers développements déduits de celui
de X cos X 3oC
— Série de Bernoulli Sog
— Application de la série de Bernoulli 9Û
calcul numérique de v/2 et de ^'3 3io
— Série de Lagrange . 3 1 1
— Généralisation de la formule 3i2
— Quelle est la racine développée 3i3
— Lorsqu'une fonction est développable en sé-
rie ordonnée suivant les puissances dex,
No»des§§
le développement de la dérivée ne contient pas de terme en - 3i4
SÉRIES. — Démonstration de la formule de
Lagrange par Jacobi 3i 4
- Développement de (i —2 ox — x')'' déduit de la formule de Lagrange 3i5
— Développement de I - Racine de
+ V/l+xy équation du second degré développée par la formule de Lagrange.
— Racine de l'équation x"^' + nx— b — o.
— Racine de l'équation
a, = a,x-+-OjX' -t- . . . -H a„ a" développée suivant les puissances de a„.
— Théorème de Cayley 32o
— Série de Burmann 32i
— Application au développement de e°^ en
série ordonnée suivant les puissances
de zc*' 322
— Série d'Abel 323
— Développement en série de quelques pro-
duits infinis 327 et 33o
— Puissance «'"'"' d'une série 33 1
— Théorème d'Eisenstein démontré par
M. Sylvester 332
— Série de Stirling 333
— Formule de M. Boole 334
— Formule- de M. Tchebitchef 335
— Limites hors desquelles le développement
d'une fonction en série ordonnée suivant les puissances de la variable est impossible 379
— Développement de 1 { i -f- z) lorsque z est
imaginaire 38 1
— Série remarquable dé^iuite de la précé-
dente 382
— Développement de (i -l-z)" lorsque z est
imaginaire 384
— Développement de — 387
c'—i Développement do tang x et de cosécx.
— Développement de ( i — 2 az -l- a') ' ex-
pression des coefficients 389
— Développement do la fonction / définie
par l'équation
lang/= cosa.tang X 390
— Démonstration des formules I I I
cot X = — h-
tang X =
gin air
