PRÉFACE. XXXV

raison de l'existence des beaux théorèmes de Giuchy, qui seraient sans cela incompréhensibles. Nous nous bornons à indic[uer dans ce volume comment les valeurs infinies ou mal déterminées d'une fonction font connaître les limites en dehors desquelles son développement est impossible. Nous aurons à y revenir dans un autre volume, où l'emploi du calcul intégral simplifiera les démonstrations en permettant de les compléter. Cette théorie est d'autant plus importante, que Lagrange affirme dans un ouvrage célèbre que le théorème de Taylor, loin de devoir être regardé comme une conséquence du calcul différentiel, doit être étalili à priori et contient les véritables principes de ce calcul, dégagés de toute idée d'infiniment petit ou de limite. La démonstration donnée par l'illustre auteur, malgré l'autorité imposante de son nom, n'a pu être acceptée parles géomètres, mais on n'en doit pas moins admirer cette affirmation si foi^melle, quoique non justifiée, d'un principe qui, établi im demi-siècle plus tard sur des bases bien différentes, devait acquérir en même temps un degré de généralité auquel les partisans de ces idées ne songeaient pas même alors. En voyant combien d'explications délicates sont nécessaires pour fixer le sens et les limites du théorème de Taylor, on comprend qu'il tient à des vérités d'un ac^'ès trop difficile pour qu'on en puisse faire, comme l'avait voulu Lagrange, la pierre fondamentale de l'édifice : quelque élégante et facile que soit la doctrine à laquelle on est conduit en se plaçant tout d'abord aussi haut, les géomètres ne peuvent oublier que la précision des énoncés et la solidité absolue des preuves sont le caractère essentiel des sciences mathématiques, et si l'on est excusable de s'en écarter momentanément pour atteindre plus vite im but important, on ne saurait se montrer trop sévère lorsqu'il s'agit d'établir les bases d'une longue suite de théories.

Lorsque dans la série de Taylor on attribue à la variable une valeur imaginaire, elle se transforme en série ordonnée suivant les sinus et cosinus des multiples d'un même arc. Les séries de ce genre, si importantes aujourd'hui, ont été considérées pour la première fois par Daniel Bernoulli, qui par des procédés ingénieux, mais singulièrement hardis, et, il faut l'avouer même, bien peu rigoureux, a donné l'expression d'une constante, de la variable X, du carré et du cube de cette variable, en série de cette forme. Qu'il nous suffise de dire ici que le point de départ de la démonstration

\xxvi PRÉFACE,

est l'é(jnatiojî

= cosx -\- C0S1X -j- coaix- -{- . . .+ cosMjr 4-. . . ,

cjue Bemoulli nomme incongrue vera, et qu'il faudrait simplement appeler inexacte et absurde, car le second membre est évidemment indéterminé. Une année après, Euler, portant son attention sur ces questions, les a rattachées à sa théorie des exponentielles imaginaires ; mais c'est dans ce siècle seulement qu'une importante application, due à Fourier, fut l'occasion de noiivaux travaux qui montrent, en toute rigueur, la possibilité de représenter par des séries de ce genre toutes les fonctions continues ou discontinues. Mais ce sujet important n'appartient pas à ce volume, et nous nous bornons à y faire connaître les méthodes simples et peu rigoureuses d'Euler.

Il était impossible de s'étendre autant que nous l'avons fait sur la théorie des séries, sans rencontrer un grand nombre de résultats élégants et célèbres qui se déduisent des formules générales. On doit faire néanmoins une distinction essentielle entre une série ordonnée suivant les puissances ascendantes d'une variable ou toute autre loi régulière, et une série purement numérique dont la somme représente un nombre et non une fonction : la particularisa tion de la lettre variable peut conduire de la première à la seconde, mais le problème inverse est indéterminé. Par exemple, la formule

TT t 1 I I I

donnée sans démonstration par Newton, peut être considérée indifféremment comme provenant de la série

*0 ^5 /)->7 *y-!) 'yi I

*Af tA^ *A/ ^Âj *A/

dans laquelle on suppose x =■ i , ou de

sin3^ sin5^

( sin j?

où l'on suppose ,2;= -• Elle appartient ainsi à deux théories très-différentes, et pourrait d'ailleurs se déduire de beaucoup d'autres.