PRÉFACE. XXXVII

l^es ouvrages et les Mémoires d'Euler contiennent un grand nombre de sommations de ce genre, que nous sommes bien loin de reproduire tontes; c'est dans son bitroduction à l'étude de l'analyse infinitésimale et dans la collection des Mémoires de Saint-Pétersbourg qu'il convient de les étudier. Malgré l'importance de la série de Taylor, il est souvent plus simple d'obtenir les termes du développement qu'elle devrait fournir, en employant d'autres méthodes dont le Chapitre III du second Livre fournit des exemples. On y a placé d'abord plusieurs démonstrations d'une formule générale due à Lagrange, et qui exprime sous forme de série ordonnée suivant les puissances de a la racine z d'une équation quelconque, mise préalal)lcment sous la forme

Cette belle formule a été l'objet de nombreux travaux, et d'habiles géomètres ont différé d'opinion sur le caractère distinctif de la racine qu'elle fournit. Ces questions seront discutées plus tard. Dans ce Chapitre nous nous bornerons à donner sur ce point quelques indications fort simples. La formule de Lagrange donne comme corollaire deux autres formules dignes d'intérêt, qui sont dues à Burmann et à Abel.

La méthode des coefficients indéterminés est très-souvent la plus commode à employer pour obtenir les termes d'un développement dont la légitimité a été démontrée ; nous donnons plusieurs exemples de son application, en signalant de remarquables séries dues à M. Tchébychef. La théorie des fonctions génératrices, créée par Laplace, quelques remarques sur les notations symboliques, et une digression sur les fonctions désignées par X„etsur les noml)res de Bernoulli, terminent le Chapitre, qui n'a pas d'autre vmité que l'absence du théorème de Taylor dans l'étude de séries qui pourraient s'en déduire.

Le Chapitre IV contient la définition des fonctions imaginaires. Les points principaux qui y sont traités ont été indiqués plus haut à l'occasion du théorème de Taylor.

Le Chapitre V est consacré au développement des fonctions de plusieurs varial)les ; il contient l'extension à ce cas de la formule de Taylor et de celle de Lagrange.