XXXVIII PRÉFACE

Le Chapitre VI fait connaître le développement de quelques fonctions sous forme de produits infinis; les formules fondamentales dont se déduisent la plupart des autres sont celles qui donnent les expressions de sin x et cos x, et qui s'appliquent aux valeurs réelles ou imaginaires de la variable; elles sont dues à Euler, qui, peu rigoureux dans leur démonstration et dans l'étude de leurs conséquences, en a déduit cependant un très-grand nombre de résultats exacts et importants, qu'une analyse irréprochable a confirmés depuis.

1 jCS développements sous forme de fractions continues sont étudiés dans le Chapitre VII, où se trouvent indiquées les formules les plus remarquables obtenues sur ce sujet par Euler, Lambert, Lagrange et Gauss ; ces développements peuvent d'ailleurs varier beaucoup pour une même fonction, et leur importance, si grande en Arithmétique, est beaucoup moindre en Analyse, parce que la condition de n'admettre que des dénominateurs entiers, qui entraîne les plus belles propriétés de ces fractions, est ici supprimée sans que rien vienne la remplacer.

Les principes de la théorie des résidus, créée par Cauchy, sont exposés dans le Chapitre VIII. L'illustre géomètre a remarqué que dans un gi-and nombre de problèmes où figurent des fonctions qui passent par une valeur infinie, la partie importante à considérer, celle qui le plus soiivent détermine seule le résultat, n'est pas, comme toutes les analogies sembleraient l'indiquer, la partie principale, c'est-à-dire la fonction simple, dont pour des valeurs voisines la différence avec la fonction est infiniment petite relativement à chacune d'elles, mais une certaùie fraction dont le dénominateur est toujours du premier degré, dont Cauchy a désigné le numérateur sous le nom de résidu, et dont il a fait dans presque toutes les parties de la science d'élégantes et utiles applications.

Le second Livre est enfin terminé par deux Chapitres relatifs aux valeurs singulières des fonctions et aux questions de maximum et minimum. On a dû les placer après l'étude des séries sur l'emploi desquelles sont fondées la plus grande partie des méthodes et des démonstrations qui y sont exposées.

L'application du calcul infinitésimal à la théorie des courbes et des surfaces fait l'objet du troisième Livre. La généralité des résultats qui s'y trouvent exposés est presque toujom-s absolue, et presque tous les théorèmes sont indépendants de la définition spéciale de la courbe ou de la smface à laquelle