LOS' X

Dérivées des fonctions inverses.

32. Lorsque deux variables sont liées par une équation, chacune d'elles peut être considérée comme fonction de l'autre. Si l'on a, par exemple,

OU peut concevoir cette équation résolue par rapport à j et mise sous la forme

le signe ç désignant une fonction que l'on nomme fonction inverse de celle qui est désignée par le signe ^. D'après cela, si l'on prend une fonction quelconque d'une variable, puis la fonction inverse du résultat, les deux opérations se détruisent et l'on retombe sur la variable elle-même. Ainsi, en admettant les notations précédentes, on a

■Sf[^[x)]=-i/{y)=x.

Exemples. — Si l'on a on en conclut

j= \ix.

La racine carrée est donc la fonction inverse du carré; il est clair d'ailleurs que les deux opérations se détruisent lorsqu'on les effectue successivement. Si l'on a

on en déduit

Le logarithme est donc la fonction inverse de l'exponentielle. On a d'ailleurs, conformément à la remarque générale,

33. Connaissant la dérivée d'une fonction, on peut trouver celle de la fonction inverse. Soit x une fonction de y définie par l'équation

x—^ir).

Supposons que l'on déduise de cette équation

La dérivée ç' (y), de x par rapport à j, est la limite du rapport de Vaccroissement de a; à l'accroissement correspondant de y. Si donc, pour nous servir d'une notation qui sera souvent employée, on nomme Aa; l'accroissement de x, et Av

l'accroissement correspondant de j, la dérivée ç' {y) est la limite du rapport — ^^■

La dérivée <^'{x), de j par rapport à .r, est la limite du rapport de l'accroissement de y à l'accroissement correspondant de x, c'est-à-dire -^» et comme les va-

riables x et j sont les mêmes que dans le cas précédent, les rapports — ^ et — ont des limites inverses l'une de l'autre, et l'on a par conséquent

Cette relation fait connaître la dérivée de la fonction ij;.