Appliquons ce qui précède à quelques exemples. Soit

on'en déduit

ÏA\ dérivée de la fonction x'" par rapport âx est donc l'inverse de la dérivée de

y" par rapport à r, c'est-à-dire — ^^^ , et en remplaçant y par sa valeur, cette

dérivée est > c'est-à-dire —x'"

mx '"

Ainsi la dérivée de x'" est —x"" m étant un nombre entier quelconqu*.

Soit encore

X =sin^; on en déduit

j=:arcsinx.

La dérivée de arc sin x par rapport à a- est donc l'inverse de celle de sin y par rap-

port à y, elle est donc =^— > c'est-à-dire

En posant

X = cosj,

on verrait de même que la dérivée de arc cos x est

Ce résultat, qui est fort important, exige quelques explications.

La fonction sin x est une fonction bien définie, c'est-à-dire que, pour chaque valeur de a;, sin x a une valeur unique et déterminée : il n'en est pas de même de la l'onction arc sin ,r. Car, à un même sinus, correspondent un nombre infini. d'arcs différents; si a désigne l'un d'entre eux, les autres sont compris dans les formules jKn + 'y. et (a-K + i);r— y., K étant un entier arbitraire, et l'on conçoit

dès lors que l'expression générale de leur dérivée doit avoir le signe ±. Si d'ailleurs on considère en particulier l'un des arcs compris parmi ceux que représente l'expression arc sin x, la détermination du signe de la dérivée sera toujours facile. En posant, en effet,

la dérivée dej par rapport à x est » et il n'y a dans cette expression aucune

ambiguïté. Le signe ± se présente seulement lorsqu'on remplace cos y par ± \/i —x^, et l'on voit que le signe du radical doit être celui de cos j'. De même,

en posant

X = cos j, on a

j=arccos:r,

et la dérivée de v par rapport à a; est : — ■> c'est-à-dire ,~^ le signe de l'ex-

pression étant contraire à celui de sin j.

En posant

x = lang r, on a

^-= arc langar.

Donc la dérivée de j par rapport à a; est

ces' y

Ici il n'y a pas d'ambiguïté, et cela tient à ce que les arcs qui ont même tangente ayant pour expression générale Kn-i-a, ils diffèrent les uns des autres par une partie constante, et ont tous même dérivée.

35. La considération des fonctions inverses permet de déduire l'une de l'autre les dérivées des fonctions a* et log x, qui ont été trouvées séparément. Si l'on a

on en déduit

X=\ogx.

Par conséquent la dérivée de log a; par rapport à x est l'inverse de celle de a'' par rapport à y, c'est-à-dire, les logarithmes étant pris dans la base a,

log e log^

Dérivées des fonctions de fonctions .

36. Si la lettre u désigne une fonction donnée de la variable x, toute fonction de u sera une fonction de x que l'on désigne sous le nom de fonction de fonction. L'origine de cette dénomination s'aperçoit immédiatement.

Ainsi donc si l'on a

y considéré comme dépendant de x est une fonction de fonction.

Nous allons montrer que si les fonctions 9 et F sont de telle nature qu'on sache former leurs fonctions dérivées, on pourra trouver aussi la dérivée de y par rapport à X.,

Supposons, en effet, que l'on donne à a; un accroissement Aa? et qu'il en résulte

pour M un accroissement i«/, pour j un accroissemenl ^y,

on a identiquement

dx Xx Am

jr = H,

on aura

y = sifi M.

en passant à la limite, t^x tendant vers zéro, le premier membre de cette équa- ^81

tion a, par définition, pour limite la dérivée dey par rapport à x, et les deux facteurs du second membre tendent respectivement vers la dérivée de u par rapport à x, et vers celle de j par rapport à u. En désignant donc ces deux dérivées par ç' [x] et par F' («), on voit que la dérivée de j par rapport à x est

résultat que l'on peut énoncer de la manière suivante :

Im dérivée d'une fonction de fonction est le produit des dérivées des fonctions simples qui servent à Informer, prises chacune par rapport à la variable dont elle dépend immédiatement.

Exemples. — Soit la fonction y == cos d; = sin(-— a;)- Cette expression peut être considérée comrne une fonction de fonction. En posant, en effel.

L'application de la règle générale donne pour la dérivée de y par rapport à x

(— i)cosM = — sin a-, résultat conforme à ce qui a été trouvé (30).

Soit la fonction j= cotx = tang (- — xy En posant

on aura •

j:=langM.

L'application de la règle donne pour la dérivée dey

Soit encore la fonction la;*. Posons

L'application de la règle donne pour la dérivée de j

et, en effet, \.x^ étant égal à 5\x, il est clair que sa dérivée doit être égale à cinq fois celle de \.x.

37. Comme dernier exemple, formons la dérivée de la fonction y = x", m et n désignant des nombres entiers. Cette fonction peut être considérée comme une fonction de fonction. En posant, en effet,

on aura

En appliquant la règle générale et se rappelant les résultais obtenus (26), (34), on trouve pour la dérivée de y

I m — II m

, I — I ni -—I m — I

T=mu"'-'-x" =:—x " X" =—x" » Il n u

:|ï. et par conséquent la dérivée de x" s'obtient par la même formule que lorsque l'ex-

posant — est entier.

38. On peut étendre la règle donnée pour former la dérivée d'une fonction de fonction à des expressions .liées à la variable a? au moyen de plusieurs fonctions intermédiaires. Posons, en effet,

et cherchons la dérivée de y par rapport à x. Soient A a; un accroissement attribué 'ace; A M, At', ^w, Ay, les accroissements correspondants de m, t', w, y : on a identiquement

Ax \iv àv Au \x

et l'on voit que si Aa; tend vers zéro, le premier membre a pour limite la dérivée de y par rapport à x, et les facteurs du second membre tendent vers les dérivées de y, w, c, u, prises, pour chacune d'elles, par rapport à la variable dont elle dépend immédiatement. On en conclut que la dérivée de j est le produit obtenu en multipliant les dérivées des diverses fonctions y, w, v, u, prises, pour chacune, par rapport à la variable dont elle dépend immédiatement.

Dérwée d'un produit.

39. Soient u, \^, w, des fonctions données. d'une même variable x, nommons y leur produit dont on veut avoir la dérivée. On a

On en conclut, en prenant les logarithmes népériens des deux membres,

]y=z\u-\-\v-\-\iv,

et si l'on prend les dérivées des deux membres, on trouve, en appliquant la règle des fonctions de fonctions et désignant pary, u', v', w', les dérivées day, u, v, w.

d'où l'on déduit

^ /|,» ly

y=- u' + - v" + — w' =: vwu' + uu/v" + uvw' .

Ainsi, la dérivée d'un produit est la somme des produits obtenus en multipliant successivement la dérivée de chaque facteur par le produit de tous les autres.

Dérwée d'un quotient.

40. Soient u etf deux fonctions d'une même variable x, nommons y leur quotient dont on veut avoir la dérivée. On a

on trouve, en prenant les logarithmes des deux membres,

1j = 1m — If,

et si l'on prend les dérivées des deux membres, cette équation donne, en adoptant les mêmes notations que précédemment,

d'où l'on déduit

yu ' yV vu' — uv'

Telle est la formule qui donne la dérivée d'un quotient-» lor.sque l'on connaît les dérivées u' et v' de ses deux termes.

Dérivée d'une puissance.

41. Soient « une fonction de x, et m un exposant quelconque, positif ou négatif. Si l'on pose

en prenant les logarithmes des deux membres on en conclut,

\y'=zzm\u,

et si l'on prend les dérivées des deux membres par rapport à x, on a, en adoptant toujours les mêmes notations,

y" mu'

d'où l'on déduit

myu' ,

y' :=: — : = fllU'" ' U .

Remarque. — Si l'on suppose u = x, on aura m'= i, et la formule précédente montre que la dérivée de la fonction x"" est mx"~* . Ce résultat avait été obtenu dans le cas d'un exposant eutier (26) ou fractionnaire et positif (37). On voit qu'il est entièrement général, car la démonstration précédente s'applique à toutes les valeurs positives ou négatives de m sans exception.

Dérivée de u.

4-2. Considérons enfin l'expression composée u\ dans laquelle u et t- désignent des fonctions de la variable x. Posons

En prenant les logarithmes des deux membres on en conclut

et si l'on prend les dérivées par rapport à x des deux membres de cette équation, en appliquant au second la règle donnée (39) pour la dérivée d'un produit, on a

d'où l'on déduit

Si l'on suppose, par exemple, ' ^

V=zX, M:=X,

OU aura

et la dérivée de ar^ est

Quelques applications.

43. Les résultats obtenus dans ce chapitre permettent d'obtenir la dérivée, d'une fonction explicite formée d'une manière quelconque au moyen des opérations simples. 11 est important de se familiariser avec ces premiers principes que nous résumerons en en donnant quelques applications.

I " Dérivée de arc tang -^— — 5— -r = y

Posons

Za^x — x^

a(a'-3^')~"' on aura

j = arclangM,

et y est une fonction de fonction, dont la dérivée est le produit de — —— , par la dérivée de a. Or en appliquant la règle (40) on trouve pour dérivée de u

d'ailleurs

I a«(fl'— 3x')' i-hM'"~ (a'-f-xM'

la dérivée demandée est donc, toutes réductions faites,

fl' + x' '

Ce résultai était facile à prévoir, car les formules connues de la trigonométrie montrent que la fonction j est égale à 3 arc tang r et, en l'écrivant ainsi, on trouve immédiatement l'expression précédente pour dérivée.

„ r^. ■ , 1 /I^-Sln;r

2° Denvee de \/ -. — = y.

Y 1 — siiia,- "^

• I • 1 I sin ^

Considérant y comme la puissance - de la fraction -: — et traitant cette fonc-

•^ ' ■?. I — sin X

tion par la règle donnée (41 ), on trouve pour dérivée de y

I cosjc(i — sin.r) + cos;r(i + sina;) acosa: __ i

/i + sin^ (i — sin.r)' ?.(i— sina:)v/(i — sin'.r) i — sinx

V ' — sina-

On peut parvenir au même résultat en remarquant que -^m

tang I 7 -4- r 1 ■ ■

/i-l-sina; /t! X

V I — sina? ° \4 2

or la dérivée de tang (7 + - ) est égale à '- , et cette expression est

2 ces 1,1

(i équivalente à celle qui précède.

3" Admettant la formule

sm^4-sm2a-

n-i- 1 . nx

sm X. sin —

sinn;r =

sin -

en déduire l'expression de la somme

cosa?+ 2C0S2^ -t-. . . -I- n coswx.

11 suffit de prendre les dérivées des deux membres et l'on a

n-^i . X . 7.n-\-i I. n + \ sin - sin X sin- x,

cosa?-f-2cos2.r + 3cos3x + . . .-H nco'snx^^ '■

sin^ —

4° En admettant la formule

. / f\ . / 2îr\ . / (m — i)t\ «,\nmx

sin ar . sin .r -I ) sin Lr H . . . sin ( jc + i^ — = — ,

en déduire l'expression de la somme

- -f- ...-(- cet pc H 1 ff.

cet a; -t- col ( .r H 1 -f- ...-(- col ( a: -f-

Il suffit de prendre les logarithmes, puis les dérivées des deux membres de l'é- (}uatron ; on trouve

cota: + col [ x-i I -h . . . + eot ( x -\ ir ) = /?( col mx.

Emploi des dérivées pour l'étude des fonctions .

44. Lorsque l'accroissement infiniment petit d'une fonction est de même signe que celui de la variable, on dit que cette fonction est croissante; elle est décroissantedansle cas contraire. En adoptant ces définitions et disant, par exemple, qu'une fonction est croissante, cela signifie évidemment croissante avec la variable.

Lorsqu'une fonction y [x) est croissante, sa dérivée est positive, car la fraction

?j i — n — i Jqjjj gg^g dérivée est la limite, est constamment positive; si la fonction 9 [x] est au contraire décroissante, Ja dérivée est négative. Ces remarques évidentes sont souvent utiles dans l'étude des valeurs successives d'une fonction; nous en donnerons quelques exemples :

i" Considérons la fonction

la dérivée est

sina;

, xcosx — sin .r

et comme, entre les limites x = o, x = -, on a toujours x < tang x, et par suite

ajcos X — ûnx < o, cette dérivée est négative : la fonction est donc décrois-

santé ; et cette fonction étant d'ailleurs égale à l'unité pour a; = o, et à - pour x =z -, elle est, pour toute valeur intermédiaire de x, plus petite que l'unité et plus grande que^.

a" Soit la fonction

la dérivée est

Elle est négative pour les' valeurs positives de x, la fonction est donc décroissante, et comme elle est nulle pour a; = o, on a pour toute valeur positive de .r

H»' l{\-ir x) — aî<o.

Ik

3" Considérons enfin la fonction

dont la dérivée est

cette dérivée étant positive pour les valeurs positives de x, la fonction est croissante, et comme elle est nulle pour œ = o, elle est constamment positive et l'on a

ensorte que, pour toute valeur positive de x,l{\-h a;) est compris entre a; et x ?

Qx^

on peut par conséquent le représenter par a- ^, 9 étant moindre que l'unité.

Oindre de grandeur d'une dérivée infiniment petite.

45. Considérons une fonction de x, f {x), qui s'annule pour x = o. La dérivée (j)' {x), pour la valeur zéro de la variable, est égale, par définition, à lim '"^-^ — Il-i,

c'est-à-dire à la limite du rapport ^^- Elle est nulle par conséquent toutes les

fois que pour de très-petites valeurs dex, y (x) est infiniment petit d'ordre supérieur à celui de x.

On peut aller plus loin : lorsque x étant infiniment petit du premier ordre, f {x) est infiniment petit de l'ordre n, a,' {x) est infiniment petit d'ordre « — i . On peut en effet, dans ce cas, représenter ç (x) de la manière suivante :

A étant une constante et s une fonction de x qui s'annule avec la variable. On aura par suite, en nommant s' la dérivée dé e,

(2) <f' (x) =nx"-' [A + e) +x"e'.

Or je dis que xe tend vers zéro. Cela est évident lorsque s' ne croit pas indéfiniment. Examinons donc seulement le cas où s' est infini lorsque x est nul; consiTdérons la courbe dont l'équation est y = s , cette courbe passe par l'origine et est en ce point tangente à l'axe des y.

Soient MT la tangente à cette courbe en un point M infiniment voisin de 0, et MQ l'abscisse du point M. s' est la tangente de l'angle QMT, donc x^ est égal à Qï, il est, par suite, moindre que QO, c'est-à-dire moindre que s; s tendant vers zéro avec X, il en est donc de même de x-z . D'après cela a;" s est infiniment petit par rapport à a?"-', et l'expression (2) de <p' [x) est un infiniment petit de l'ordre

n — I . On voit aussi que le rapport — „r, a pour limite nA.

Cette remarque a été utilisée par M. 0. Bonnet dans la démonstration de plusieurs propositions importantes dont nous parlerons plus tard.

Différentielle d' une fonction d' une seule variable.

46. Si l'on représente par ç [x) une fonction de la variable x, et par ip' [x) sa dérivée, on a

^' [x] — lim i-^ -i 3-5—' ,

h étant infiniment petit. Par conséquent, en désignant par £ un autre infiniment

petit,

If [x + h] — <f [x] = h[<f' (x) + e] =^ htf' {x] + fii;

d [x) étant une quantité finie, ht est infiniment petit par rapport à Aip' {x), et la différence 9 (a? -t- A) — ? [x] est égale à Aip' [x), en négligeant une^ortion infiniment petite de sa valeur.

Le produit h^' {x) peut par conséquent (11), lorsque h est infiniment petit, être substitué à l'accroissement ç [x -\- h) — ç [x], dans tout problème où il s'agit de calculer un rapport ou une somme d'infiniment petits; on donne à ce produit le nom de différentielle de 9 {x] et on le représente en écrivant la lettre d devant la fonction.

(conformément à cette notation, la différentielle de a? se confond avec l'accroissement même de cette variable, puisque la dérivée est dans ce cas égale à l'unité. En substituant donc, à la lettre A, l'expression équivalente dx, la différentielle d'une fonction ip {x) prendra la forme

d . <p(x) = If' [x] dx.

C'est celle dont nous ferons habituellement usage.

Cette différentielle r/. ç (ic) n'est pas, ainsi qu'on l'a expliqué, rigoureusement égale à l'accroissement de 9 {x), mais elle peut le remplacer lorsqu'il est infinimenf petit, et il n'en résulte aucune erreur sur les limites des sommes ou des rapports <lans lesquelles il figure.

47. La représentation géométrique des résultats ajoutant presque toujours ii \:\

'li PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.^

clarté, il est bon d'indiquer ici la signification géométrique de la didérentielle. Considérons la courbe dont l'équation en coordonnées rectilignes est

le coefficient angulaire de la tangente au point dont les coordonnées sont x et y est (24) !p' (x), et l'équation de la tangente, en nommant t élu les coordonnées courantes de cette droite, c'est-à-dire les coordonnées de l'un quelconque de ses points,

Si donc, à partir du point de contact dont les coordonnées sont x et j, on attribue à l'abscisse d'un point de la tangente un accroissement / — a; = A, l'accroissement correspondant de l'ordonnée est

et la différentielle A 9' (a?) est l'accroissement' de l'ordonnée j, correspondant a un accroissement/* de l'abscisse, lorsqu'on substitue à la courbes» tangente. Lors donc qu'on remplace l'accroissement <p (x -h h) — f [x], de la fonction y (x), par la différentielle y' {x) h, cela revient à remplacer un arc de courbe infiniment petit par sa tangente. Ces deux substitutions sont équivalentes, et permises dans les mêmes circonstances.

48. La différentielle d'une fonction ip {x), étant, d'après ce qui précède, le produit de la dérivée (p' [x] par l'accroissement dx de la variable, il semble que l'emploi de la différentielle, identique au fond à celui de la dérivée, ne pourra présenter aucun avantage spécial, si petit qu'il soit.

La remarque suivante montrera pourtant qu'il en est autrement et que l'emploi des différentielles peut être plus commode que celui des dérivées.

De la relation

X=<f[x), on déduit

(A) il}'= t' [x) dx,

dx

dx est arbitraire, dy l'est 'lonc également; le rapport -j- est seul déterminé et égal

à la dérivée 9' (x), on peut donc dire que :

y étant une fonction de x, l'une des différentielles dy et dx est arbitraire, et son rapport à la seconde est égal à celui des accroissements infiniment petits que peuvent prendre simultanément x et y.

Or celte définition, évidemment équivalente à celle que nous avions adoptée d'à-

bord, a l'avantage très-réel que les deux quantités, ccely, y figurent absolument de la même manière. Donnons sur ce point quelques développements.

Si y est une fonction de x, x est, par cela même, une fonction de y, et rien n'oblige à prendre l'une de ces variables plutôt que l'autre, ou que toute fonction de l'une et de l'autre pour variable principale. Or l'emploi des dérivées exige absolument que l'on fasse un pareil choix, parce que la dérivée n'a de sens déterminé que lorsqu'on indique quelle est la variable dont on prend la dérivée et la variable principale par rapporta laquelle on la prend. Si l'on considère au contraire la différentielle dey définie par la relation

lA) f/}=f' [x] dx-,

cette équation nous fait connaître le rapport des différentielles dy et dx, c'està-dire celui des accroissements infiniment petits que l'on peut simultanément attribuer à X et à j; l'une de ces différentielles est arbitraire, mais rien n'indique que ce soit dx plutôt que dy, la relation ^ A ) pouvant aussi bien s'écrire

d.r = — dy,

et donnant, sous cette forme, la différentielle de la variable x considérée comme fonction de la variable jet correspondant à une valeur arbitraire de dy.

l\ y a plus : la différentielle d'une fonction reste la même, quelle que soit la variable par rapport à laquelle cette fonction soit exprimée. Soit en effet

une fonction de ii dans laquelle la lettre u désigne elle-même une fonction (\e x,

Il =if(x].

La différentielle dey, en considérant/ comme fonction de x, est le produit de (/a; par la dérivée de j (36), iL' (a)ç' (.r), on a donc

dr=-i>'{u)<f'[x)dx.

Or la différentielle de j, considérée comme fonction de u, est

rfj=iJ('(H j du,

ge qUi est précisément la même chose, pourvu que, dans cette dernière équation, on remplace la différentielle du par la valeur

du— -/ [x) dx,

qui résulte de la définition même, lorsque u est considéré comme fonction de x.

On voit dans ce cas, comme dans le précédent, que x, y, u, désignant trois variables susceptibles de s'exprimer au moyen de l'une d'entre elles, les relations

du = (f' [x) dx, df^'^' [u)du,

qui lient les différentielles dx, dy, du, laissent l'une de ces dilïérentielles arbitraire, et font connaître seulement les rapports des accroissements infiniment petits que peuvent prendre simultanément x, y, et u, rien d'ailleurs n'imposant l'obligation de choisir l'une d'elles pour variable principale de préférence à une autre.

i9. La même remarque s'étend à un nombre quelconque de variables x, y, z, u, i', w, pourvu qu'elles soient tellement liées, qu'on puisse les considérer comme des fonctions de l'une quelconque d'entre elles. Si l'on calcule dy, dz, du, dv, dw, en considérante; comme variable principale, on obtiendra des résultats de la forme

dj'=iy' dx, dz = z'dx, (lu=z u' d% dv = v'dx, dw:=w' dx,

ou, ce qui revient au même.

dy dz du dv

dw dx

et l'on pourra, sans nouveau calcul, adopter une nouvelle variable principale, u par exemple, les rapports des différentielles dy, dz, du, dv, dw, dx, resteront les mêmes, il suffira de regarder du, et non plus dx, comme recevant une valeur arbitraire.

Pour calculer les dérivées des diverses variables prises par rapport à la variable principale u, il suffit de diviser par du les différentielles de ces mêmes variables. Les dérivées sont par conséquent

dy y

dz z'

dv v'

dw w'

dx I

du~ u''

du m'

du u'

du «'

du ~ u

ces résultats sont parfaitement d'accord avec ceux que l'on déduirait de la théorie des fonctions de fonctions.

Dérivées partielles des fonctions de plusieurs variables .

50. Lorsqu'une fonction dépend de plusieurs variables indépendantes les unes des autres, on peut en prendre la dérivée par rapport à l'une quelconque de ces variables, en considérant dans cette opération toutes les autres comme des constantes. Une dérivée prise de cette manière se nomme une dérivée partielle .

La recherche d'une dérivée partielle se fait absolument comme celle de la dérivée d'une fonction d'une seule variable et n'exige aucune explication nouvelle.

Si f (x,y, z) est une fonction de trois variables a;, j, ;:, les dérivées partielles par rapport à ces trois variables s'écrivent de la manière suivante :

flf df di/ ■ " , dx dy dz

Le sens qu'il faut attacher à ces expressions résulte de ce qui précède. '-?-. est la limite du rapport de l'accroissement infiniment petit de (p à l'accroissement correspondant de X, lorsque j et s restent constants ; de même, dans le calcul de ^, a; et -

sont tous deux constants, x et y le sont dans le calcul de^^-

51. La fonction considérée y restant la même, peut être exprimée d'une infinité de manières différentes, car on peut substituer aux variables x,y, z, trois variables nouvelles qui en soient des fonctions déterminées. En posant, par exemple,

u = ji,[x,j';z), v = -]f,[x,x,z), iv — -^i[x,j';z),

la fonction ç pourra être exprimée au moyen de u, r, w, et il y aura lieu de considérer les dérivées partielles ~i —■, -^- Nous verrons plus loin le moyen de les calculer sans qu'il soit nécessaire de former explicitement l'expression nouvelle de la fonction ^. Mais il est bon de remarquer dès à présent que, pour déterminer la

valeur de j^, il ne suffit pas de connaître la fonction ç et la variable u. Cette dérivée

dépend aussi du choix des deux autres variables v et w que l'on adjoint à u pour exprimer ç, et qui doivent rester constantes dans la différentiation. Considérons, par exemple, la fonction

on a

Posons

9 prend la forme

<tz=x--[x+y + z)yz;

■£^ = -ix[x-\-y+z]yz-Jrx'xz

x+y+zz=:u, yz = v; 9 == x'uv.

m PREMikRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et SOUS cette forme on a

do I ,

-r- = ■^.xuv =:^ 2J' [X -h y + z] yz. dx

On voit donc que la même fonction ç peut avoir, par rapport à la même variable x, des dérivées partielles très-différentes, et que ces dérivées dépendent du choix des variables que l'on adjoint à x pour exprimer 9 et qui restent constantes dans l'opération.

52. L'exemple précédent ne peut laisser aucun doute sur l'exactitude de la proposition énoncée. Nous croyons utile cependant d'ajouter quelques explications pour faire mieux sentir la raison de la différence que nous signalons.

Considérons, pour plus de clarté, une fonction de deux variables seulement

cette fonction z peut s'exprimer également au moyen de x et d'une nouvelle variable ayant avec les deux premières une relation connue. Si l'on choisit une variable u définie par l'équation

(2) u = -if[x,x),

on peut, entre les équations (i) et ( 2), éliminer j et en déduire une relation de la forme

La dérivée ^ prise dans l'équation (i) est la limite du rapport de l'accroissement de z à celui de x, lorsque y reste constant.

La dérivée -reprise dans l'équation (3j est la limite du rapport de l'accroissement de z à celui de x, lorsque u reste constant.

Or il est clair que, y restant constant, u est variable, et, u restant constant, y est

variable; les deux valeurs de t^ déduites des équations (i) et (3) n'ont donc pas la

même définition, et il est tout simple qu'elles ne soient pas égales.

Si l'on considère l'équation (i) comme représentant une surlace, -j^ est la limite

du rapport de l'accroissement de z à celui de x lorsqu'on se déplace sur la surface sans changer j, c'est-à-dire sur une section parallèle au plan des ZX. En déduisant

au contraire -T^ de l'équation (3), on calcule le rapport de l'accroissement de = à

celui de x, lorsqu'on se déplace sur la surface en laissant à u une valeur constante,

c'est-à-dire en suivant une certaine courbe qui dépend de la nature de cette fonction M. Or le rapport de l'accroissement de z à celui de x n'est pas le même pour toutes les courbes que l'on peut tracer sur une même surface à partir d'un point donné. Cela est si vrai, qu'en choisissant la courbe qui résulte de l'intersection de la surface avec le plan parallèle à celui de XY, pour laquelle z est constant, ce rapport peut toujours être rendu égal à zéro. Lors donc que z contient deux variables et que rien n'indique la variable adjointe à a? et supposée constante dans l'opération, -^.n'est pas déterminé.

. DIJférenticUe d'une functi.on de plusieurs variables.

53. l/accroissement iniinin)enl petit d'une fonction de plusieurs variables peut s'exprimer comme celui des fonctions d'une seule variable, au moyen d'une expression fort simple qui n'en diffère que d'une portion infiniment petite de sa propre valeur. Considérons d'abord une fonction ç [x,y) de deux variables indé- |)endantes l'une de l'autre. Donnons à chacune de ces variables des accroissements infiniment petits du premier ordre /* et k, l'accroissement de 9 sera

? (x -I- h, y + A-) — îp (ar, j) = f [x + /', r +- A") —^[x -H A, y] -\-^[x+ h, j) — <? [x, y).

Or la difl'érence

<!( [X + A, r- + /i ) —tix -H II, y)

peut être considérée comme l'accroissement de la fonction tf[x-{-h, y) dans laquelle la variable j a reçu l'accroissement^. On aura donc (46), en négligeant les infiniment petits du second ordre,

^mû* 9 {x-^/i, y •+- /.-) — f[x-h h, y] = /c?'^ [x -h h, y).

*De même, en négligeant les infiniment petits du second ordre, on a

<t{x-hh,y)—f{x,y)=/i<f'Jx,y),

f'x *^^ ij désignant les dérivées de 9 prises par rapport \ x ai par rapport à y. D'après cela on a, en négligeant toujours les infiniment petits du second ordre.

Maisf^ {x-4-h, y) diffère infiniment peu de 9,, {x, y), le produit par k de la différence de ces expressions peut donc être négligé, et l'on peut écrire, en négligeant toujours les infiniment petits d'un ordre supérieur au premier,

<t(x + h,y+k] — ^{x,y) = liy'Jx,y)+-/,f'^ {T,y).

54. L'expression précédente est fort remarquable : elle montre que pour les valeurs des variables infiniment peu différentes de valeurs données x et y, l'accroissement de la fonction est une fonction du premier degré des accroissements h et k respectivement attribués à a; et à y. On suppose toujours, bien entendu, que les infiniment petits du second ordre soient négligés.

Si l'on représente par dx et par dy les accroissements arbitraires h et k, et que l'on remplace en même temps les dérivées ç' , 9' , par les notations convenues

-j- et -T^i l'expression de l'accroissement de la fonction ^ devient

da , dis ,

-~ ax + -T-^ dr.

dx dy

Cette expression se nomme la différentielle totale de 9, et ou I4 représente par la notation dr^, en sorte que l'on a, par définition,

rto =-■ -7- OX H — 7-^ dr.

dx dy '

Cette différentielle «?y est, en négligeant les infiniment petits du second ordre, l'accroissement de la fonction ç correspondant aux accroissements infiniment petits dx et dy attribués à a; et à j.

A peine est-il nécessaire de faire observer que, dans le second membre de l'équation précédente, les numérateurs des fractions —-■> -j--, ont des significations différentes, et que ni l'un ni l'autre ne doivent être confondus avec la différentielle totale rfç qui s'écrit de même.

du Le numérateur de -r- est la différentielle de © par rapport à x, çonsidéréeeommc

seule variable.

Le numérateur de -j- est la différentielle de 9 par rapport à r, considérée comme

seule variable.

Enfin le premier membre est la différentielle totale qui est la somme des deux autres.

Il y a certainement un inconvénient à écrire de la même manière des quantités essentiellement différentes, mais le lecteur bien prévenu n'y verra pas de difficulté sérieuse.

55. Des raisonnements tout semblables montrent que l'accroissement infiniment petit d'une fonction de trois variables 9 (a:, y, z), lorsque x, y, z reçoivent des

accroissements infiniment petits du premier ordre, h, k, l, peut être représenté, en négligeant les infiniment petits du second ordre, par

do , </* , da ,

dx dy dz

et en posant h = dx, k = dy, l = dz, cette somme se nomme la différentielle lo/ak deç; on a donc par définition

, , , du , da , dm ,

(') '^'^ = di''''+/r''r+-^,dz.

Lorsque dx, dy, dz sont infiniment petits du premier ordre, d<f représente, en négligeant les infiniment petits du second ordre, l'accroissement de ç correspondant aux accroissements infiniment petits dx, dy, dz des trois variables.

On doit faire ici la même remarque que dans le cas des fonctions de deux variables, l'expression d(p a dans l'équation ( i ) quatre significations distinctes.

56. Le théorème et la définition précédente s'étendent sans difficulté au cas d'un nombre quelconque de variables. L'accroissement infiniment petit d'une fonction <p [x, y, z, u, v) correspondant aux accroissements infiniment petits /«, k, l, m, «des variables, est égal, en négligeant les infiniment petits du second ordre, à

d is , drs , df , do d (f

dx dy dz du dv

et si, dans cette somme, on représente les accroissements h, k, l, m, n par dx, dy, dz, du, dv, on obtiendra l'expression

dtu , do , dt , d'il , do ,

■y^ ax+ — dy -i- -r- dz + -r- du -i / u^'

dx dy ' dz du dv

que l'on nouiim- différentielle totale de (p et que l'on représente par do : celte diflérentielle peut remplacer l'accroissement de la fonction lorsque dx, dy, dz, du, dv sont infiniment petits.

57. D'après ce qui précède, u désignant une fonction de plusieurs variables indépendantes, que nous supposerons, pour fixer les idées, au nombre de trois, si l'on attribue à ces variables trois accroissements infiniment petits dx, dy, dz, l'accroissement de u sera donné , en négligeant les infiniment petite du second ordre, par la formule

{ j- ) » ( 7~.) ' (77 ) étant trois fonctions de x,y et z, indépendantes de dx, dy et

dz. On peut énoncer ce résultat en disant : Si l'on donne k x, y, z et u, quatre accroissements infiniment petits simultanés, il existe, en négligeant les infiniment petits du second ordre, une équation du premier degré entre ces quatre accroissements, et trois quelconques d'entre eux restent arbitraires.

Cette forme de l'énoncé est importante, parce que la fonction u n'y «st plus distinguée des variables dont elle dépend; x, y, z et m sont quatre variables liées par une équation ; chacune d'elles peut être considérée comme fonction des trois autres.

L'équation du premier degré qui lie dx, dy, dz et du, étant successivement résolue par rapport à chacune de ces différentielles, fera connaître les dérivées de la variable correspondante, par rapport aux trois autres considérées comme indépendantes. Si l'on a, par exemple,

(i) du — Pdx + Qdy+Rdz,

en regardant u comme fonction de x, y et z, on aura

p du „ du du

dx dy dz

Or l'équation ( i ) donne

Par suite

dr = ^ du — -pi dx — -T^dz.

du du

dy ^ I dy dx dy dz

du du dx du dz du

dy dy dy

l.a première de ces équations est évidente, car les deux quotients y- et -^

représentent tous deux le rapport des accroissements infiniment petits que peuvent prendre simultanément (4-8) jet u, lorsque z et x restent constants.

Dérivées des Jonctions composées .

58, Une-fonction composée est une fonction dont la définition implique des opérations à exécuter sur d'autres fonctions qu'il faut préalablement former. Soient u et ^^ deux fonctions de la variable r. Toute fonction de la forme

est une fonction composée de x.

Nous allons nous proposer de chercher la dérivée d'une fonction composée. Lu tel problème serait plus naturellement placé après les règles relatives a la détermination des dérivées, mais nous avons dû en différer la solution à cause des simplifications apportées à cette recherche par les théorèmes démontrés dans les paragraphes précédents. (

Si l'on donne à j; un accroissement infiniment petit A.r, il eu résulter», pour u et V, deux accroissements Aa et At^, et, en négligeant les infiniment petits du second ordre, l'accroissement Aj de/ sera (54)

d'où l'on conclut , -^

\x du àx dv il.*-

lorsque Aa; tend vers zéro, les limites des deux membres sont rigoureusemenl égales puisque dans l'équation (i) on n'a négligé que les infiniment petits du

second ordre; on a donc

* dy d'j du d<^ dv

dx du dx dv dx

On verrait de même que u, v, w désignant trois fonctions de x, la dérivée de la fonction composée/ = ç (m, v, w) est exprimée par la formule

dy d(f du df dv d<f dw

dx du dx dv dx dw dx , .

Généralement, la dérivée d'une fonction composée d'un nombre quelconque de fonctions

est exprimée par la formule

dr d'j du t/ï dv di/ dw da dz </^ dt

dx du dx dv dx dw dx ' dz dx dl dx «

ce que l'on peut énoncer en disant : la dérivée d'une fonction composée est la somme des résultats obtenus en prenant les dérivées de la fonction proposée dans laquelle on considère successivement chacune des fonctions dont elle dépend comme variant seule avec x, toutes les autres étant traitées comme des constantes et la dérivée se réduisant alors à celle d'une fonction de fonction.

59. Le théorème précédent peut s'appliquer a la détermination déjà obtenue de la dérivée d'un produit ou d'une expression de la forme m*".

Considérons d'abord le produit

f:= UA'.W,

u, V, «^désignant des fonctions de la variable x. Ce produit peut être considéré comme une fonction composée de u, de v et de w, et l'on a, en appliquant le théorème précédent,

dy du du dw

dx dx dx dx

ce qui s'accorde avec le résultat obtenu (39). De même en posant

U t\. V désignant des fonctions de x, on peut considérer y comme une fonction composée et l'on a

dy dy du dy dv __| du .\ ^^

dx du dx dv dx dx dx

ce qui s'accorde avec le résultat déjà obtenu (41).

Dérivées des Jonctions implicites.

60. On désigne sous le nom de fonction implicite toute fonction |)ien définie dont l'expression analytique n'est pas donnée.

Earmi les fonctions implicites, nous considérerons seulement ici celles qui sont définies par des équations non résolues.

Considérons d'abord le cas le plus simple, celui d'une fonction y définie par une équation entre cette fonction et la variable x,

Pour déduire d'une telle équation la dérivée, ou, ce qui revient au même, la différentielle de y, remarquons qu'en supposant y remplacé par sa valeur en x, la fonction çp sera identiquement nulle ; sa différentielle sera donc égale à zéro, et l'on aura

on en déduit.

et le problème est résolu.

dif , df ,

-dx+-dy=.o,

dif

dy dx

dx df

Ty

Il faut bien observer que l'équatiou (2) est une conséquence rigoureuse de l'équation f 1). Comme, en faisant le raisonnement d'une manière incomplète, on pourrait être conduit îi penser le contraire, nous insisterons sur ce point important.

L'équation

ayant lieu identiquement lorsqu'on y a remplacé j par sa valeur en x, l'accroissement de cette fonction est rigoureusement nul ; il semble donc que sa valeur

-^dx+ -^dr, ax dy •

dans laquelle on néglige (53) les infiniment petits du second ordre, n'est pas égale à zéro, mais seulement infiniment petite du second ordre, en sorte que l'on a rigoureusement

c étant infiniment petit du second ordre. Cette équation serait suffisante pour four-

nir la valeur de -r^» car j- est nul à la limite; mais on peut démontrer que s est

rigoureusement nul et que l'équation (2) a lieu sans aucune erreur. Remarquons en effet que, y étant une fonction de x (peu importe qu'elle soit connue ou inconnue), dy est de la forme Kdx; le premier membre de l'équation (2) est donc le produit de dx par un certain coefficient fonction de x; or il faut que ce coefficient .soit nul pour que le produit soit infiniment petit d'un ordre supérieur au premier, et dans ce cas il est rigoureusement égal à zéro.