COS X = 4 COS^ -X—^ COS -^ X

62. Passons à un cas plus compliqué. Supposons que j et z soient deux fonctions de X liées à la variable par les équations

Si ces équations étaient résolues par rapport à/ et à ^, en y remplaçant les variables par leurs valeurs en fonction de x, elles deviendraient identiques, cbacun des premiers membres aurait par conséquent une différentielle rigoureusement égale à zéro, on a par conséquent

da , do , dm ,

^dx+^dr+^^dz = o,

d'où Ton déduit

dx dr (I:

djd^ dr^d-b dodSf dif d^ d<fd-l> d'^dl

dy dz dz dy dz dx dx dz dx dr dy dx

et ces équations font connaître les différentielles dy, dz, ou, ce qui revient au même, les dérivées

d<sid-^-f

d(f d'if

d <si di>

dz dx

dx dz

dx dr

dydx

dx-

df d'if

dtf d-if

dx'

~ d<f dii

dvf dé

dy dz

dz dy

dy dz

dz dy

63. Si le nombre des équations, toujours égal à celui des fonctions inconnues, devenait plus grand que deux, la marche à suivre serait la même, et il n'y aurait rien à changer au raisonnement. Les rapports des différentielles s'obtiennent dans chaque cas par la résolution d'un système d'équations du premier degré, et l'on sait que l'on ne doit pas chercher autre chose que ces rapports, puisque l'une des différentielles est essentiellement arbitraire.

Si l'on a, par exemple,

<f, {x, J, z, u, v)z=o, tpj [X,y, z. II, f)=rO,

les diflérentielles dx, dy, dz, du, dvsoni liées par les équations

do, , ^ dz'^'

dv, ^ du

du-ir

d^, dv

dv = o,

d<f, dx

dx^

^ dy

+ i'^ dz dz

d,f, "^ du

du +

rftp,

dv=zo.

d<f3 dx

, df, ^ du

du+

dif, dv

dv= o,

dtfi dx

d<s>i ■^ dy

dvt 1 dz

d^ du

du +

difi dv

dv = o,

et ces équations, déterminant le rapport de deux quelconques de ces différentielles, permettent de calculer la dérivée de l'une des variables par rapport à une autre variable désignée, que l'on prendra pour variable principale.

64. Lorsque les fonctions implicites que l'on considère dépendent de plusieurs variables indépendantes, il n'y a rien à changer à ce qui précède. Le calcul de la dérivée de la l'onction par rapport à l'une des variables, peut se faire comme si toutes les autres variables indépendantes étaient constantes et en les traitant dans les calculs comme des paramètres constants.

Supposons, par exemple, (jue u et v soient deux fonctions de j? et de j définies

par les équations

F(^, J. Il, f) = o, fi)

Pour calculer les dérivées j- et ^-j on fera absolument le même calcul que si, y

étant une constante, il s'agissait de deux fonctions d'une seule variable. Un second

calcul fera connaître t- et ^• dy dy

Les dérivées -j-i -r-y se déduiront des équations

d¥ , dV , d¥ ,

-r- dx -\ 3- du H p- rfc = o,

dx au dv

do , dm , de ,

-r- dx + -r- du -\ — r- dv = o,

dx du dv

m PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

el les dérivées j- > -r se déduiront des deux suivantes : ay ay

d¥ , </F , dY ,

-f- dy H — j— du + -j- dv —o, ■ ,

dy du dv

d<f , dm , de ,

-r^ dy-{- ^ duA j^ dv — o.

dy du dv

11 est bien entendu que dans les équations (2), du ei dv n'ont pas la même signification que dans les équations (3). Dans les premières, les différentielles sont prises par rapport à x, et dans les deux autres, elles le sont par rapport à j. Ce qui a été dit (48) n'est pas applicable ici : la différentielle d'une fonction est indépendante de la variable par rapport à laquelle on la prend, lorsque la fonction dépend d'une seule variable et que l'on substitue k cette variable une variable nouvelle qui en dépende ; mais ici les deux variables x et j sont indépendantes et leurs différentielles dx et dy ont un rapport entièrement indéterminé.

65. On peut procéder d'une autre manière et calculer à la fois les quatre dérivées

-r-»-i-'-î-» -7-: il faut pour cela prendre pour inconnues les différentielles totales dx dy dx dy ' '■ '

du et dv. Si dans les équations ( i ) on donne simultanément à j? el à y les accroissements dx et dy, il en résultera pour ueiv des accroissementg que l'on pourra regarder, en négligeant les infiniment petits du second ordre, comme égaux à du et dv (54), et les fonctions F et ç ne variant pas, on aura, en négligeant toujours les infiniment petits du second nrdre.

On peut d'ailleurs démontrer que ces équations, qui se présentent à nous comme exactes, aux infiniment petits du second ordre près, sont rigoureusement vraies. En effet, du et dv étant des différentielles, sont, par définition, l'un et l'autre de la forme Mrfar -+- N dy, et par suite les deux premiers membres des équations (4) sont de la forme

P r/x -t- Q dy,

P et Q étant des fonctions de o; et de j; et comme dx et dy sont indépendants l'un de l'autre, une pareille somme ne peut être infiniment petite d'un ordre supérieur au premier que si l'on a P = o, Q = o, et alors elle est rigoureusement nulle.

■ dV -^ du

dF dv

dv =

do Ty

do dv

dv =

En résolvant les équations (4) par rapport h du et 'a dv, on eo déduira pour ces diflférenti elles des valeurs de la forme '

du = A dx -(- B d)%

dv — A' dx -f- B' dy;

et par conséquent (53),

</m du dv dv

,dx--^' dr~^' dx~^' dy~

En exécutant les calculs, on trouve

d(j dF </ (f d F

du dx dv dv dx

dx ~~ d'j/ dF di( é/F'

,dv du du dv

dF d<j> dF d'f

dffdF ily dv

dfdF dv dy

~ d^dF dv du

d<f dF

d^ dF du dv

d<fdF

dx du

du dx

dv dy du

du dy

dx~

~ dfdF

d<^dF'

dy ~ d<f (/ F

d<fdF

dv du

du dv

dv du

66. On peut également déduire des équations (4) dx et dy exprimés en fonctions de du et dv, et si l'on a

on en conclura

dJp^\^ dn-^îi, dv, dy = A', du + B', dv,

dx dx dy dy

dZ--^" Ta;-"" Tu--^" dv-^'

Jl. faut bien remarquer (jue l'on n'a pas ici, comme (33),

dx I

du /du

Les accroissements dont j- exprime le rapport ne sont pas, en effet, les mêmes que ceux qui figurent dans y Lorsque l'on calcule la dérivée partielle-^» u et x varient, y Histant constant. Dans le calcul de -r-» x est considéré comme 'fonction de

u et de V, en sorte que x et u varient, v restant constant; or pour que v reste constant, il faut nécessairement que y change, et par suite les variations considérées sont autres que dans le cas précédent.

Cette remarque étant importante, et l'erreur dans laquelle on tomberait on l'omettant étant des plus graves, nous donnerons ici un exemple.

58 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFl!:RENTlEL.

Soient

y=u — v, les relations proposées entrer;, j, u, v; on en déduit

et par conséquent on n'a donc pas

dx du I

du ' dx 7.

dx I

(/u / du ^dx

67. 11 existe cependant des relations simples qui, dans le cas des fonctions de

, . , , I • ^ 1 j ' • ' dx dx dy dr i - • - • du dv

deux variables, lient les dérivées -ri -r^ -4-^ t-» aux dérivées inverses t-> -;-^

du dv au dv dx dx

du dv ,^ , ..

-1-1 -r ■ v^es relations sont

dy dy , •

~ du

du dx

dx dv dv dx^

dy du

dy dv dv dy

dx du du dy

dx dv dv dy^

dy du du dx

dy dv dv dx

Leur démonstration est extrêmement simple; si l'on suppose x et y exprimées en fonctions de u et de v, puis u et v remplacés, dans ces expressions, par leurs valeurs en fonctions de^ct de j, on aura deux identités équivalentes à a7=x, j = j, et dont les seconds membres se présenteront sous forme de fonctions composées contenant u et ^', qui elles-mêmes contiennent x et y. Or en prenant les dérivées de ces identités par rapport à x, puis les dérivées par rapport à y, les premiers membres

donneront pour résultat ^= ^i-j-.— ^ < -j-. = o, -j- = o, et les seconds membres.

par l'application de la règle des fondions couiposées, donneront précisément les seconds membres des formules ( i ).

On formerait aisément des relations analogues pour un nombre quelconque de fonctions, dépendant d'un nombre égal de variables.

EXERCICES. . '

1. Trouver la dérivée de arc sin x, el celle de arc lang x, sans les considérer comme des fondions inverses et au moyen des formules

arc sin [x-\- h] — arc sin x = arc sin [(ar-i- A) ^i — x'— x y/ 1 — (;p-4-/i)'], arc lang [x ->r- h) — arc tang^ =arc lang -. j-

2. P et Q désignant deux fonctions entières de x, telles que l'on ail

\Ji—9' — (i^t—x\

on a nécessairement

</P dx

n désignant un nombre entier.