DÉTERMINANT D'UN SYSTÈME DE FONCTIONS

Définition des déterminants .

68. Lorsqu'on résout un système d'équations du premier degré en nombre égal à celui des inconnues, les formules qui expriment les diverses inconnues ont un dénominateur commun que l'on nomme le déterminant du système des coefficients. D'après cette définition, toutes les fois que le système de «^ quantités est disposé en groupes de « lignes contenant chacune n de ces quantités, il y a lieu de considérer le déterminant du système. On représente habituellement un déterminant en écrivant la lettre D à la gauche du carré où sont inscrits les coefficients qui servent à le former; on a, par exemple,

nb' — ba'.

^f I." .ji

a', h' — a h' c." — a c' b" + b <:' a" — b ii' c" -+- c a' b" ■

La théorie des déterminants appartient à l'analyse algébrique. Nous nous bornerons à rappeler l'énoncé des théorèmes fondamentaux qui seront invoqués dans ce chapitré.

69 . Pour qu'un déterminant soit égal à zéro, il faut et il suffit qu'il existe une même relation linéaire entre tous les tenues d'une même ligne, soit verticale, soit horizontale. .Ainsi, par exemple, pour que l'on ait

il faut et il suffit qu'il existe quatre facteurs, /,, ).., I3, X,, tels quel'on ait

À, c + \iC' -h *j c" -+■ l, c"' = o, X, <i 4- >, d' -+- ).; d" + h d" = o.

70. Ae produit de deux déterminants formés par un même nombre de lettres peut! être mis sous J orme de déterminant.

Si l'on considère les deux déterminants

«;, a',, a], al.

b'\, b",, leur produit est égal au déterminant

bï,..

bl,

c\, cl

c'. Cl,..., cl

dans lequel les éléments sont détinis par l'équation =

c. = a, 0* 4- a., b + a.^ b: -^ . . .~\- a bt

qui fait connaître l'un quelconque d'entre eux lorsque les nombres k et i reçoivent successivement toutes les valeurs i, 2, 3,. .„, n.

Nous regarderons les deux théorèmes précédents comme bien connus, «t nous ne nous arrêterons pas à les démontrer.

Définition du déterminant d'un système de fonctions . 71 . Si l'on considère n fonctions de n variables indépendantes

tp, [Xi, X,, x„. . ., x,,), -f, (.r,, x„ Xi,. . . , .r,,),. . ., y„ [x,, x^, x-,,. . ., .r„],

les dérivées de ces fonctions, prises par rapport aux diverses variables, sont au nombre de n*, savoir

, dai da, da, d a,

(/.T, dx-2 dx3 dx„

dx,

d<f, dtf, dx-, dx^ '

dtf:

dx„

dif„ dxi

d<f„ d<f„ dx/ dx/

d^„ ■■' dx„

Le déterminant du syslèine de ces «* dérivées a été nommé par Jacohi le déterminant du système des fonctions, et, en adoptant la notation proposée par (juelques géomètres, nous le représenterons par

Si, par exemple, (js(a-,j) et i!*(^,y) sont deux fonctions des variables x et y, on aura d'après cette notation

■*' D (x, y] dx dy dy dx

72. Le déterminant d'un système de fonctions joue, dans l'étude simultanée de plusieurs fonctions contenant un nombre égal de variables, un rôle analogue à celui «jue joue la dérivée dans l'étude d'une fonction d'une seule variable. Le but de ce chapitre est d'indiquer cette analogie, qui se manifestera mieux encore par la suite.

La dérivée d'une fonction est la limite du rapport de l'accroissement intiniment petit de cette fonction à l'accroissement correspondant de la variable.

Le déterminant d'un système de fonctions peut recevoir une définition analogue qui résulte du théorème suivant :

Sii l'on considère n fonctions (p,, fp.,' f n • • • - 9h> contenant chacune n rariah/es .r,, .X2, Xj, .... .v„, et (jue l'on attribue à chaque variable un accroissement infiniment petit, il en résultera, pour chaque fonction, un accroissement correspondant. Si Ton choisit arbitrairement n systèmes différents d'accroissements pour les variables, il en résultera fH)ur les fonctions n systèmes d'accroissements correspondants . Le déterminant du système des fonctions est égal au rapport du déterminant du système d'accroissements des fondions au déterminant du système correspondant d' accroissements des variables.

Soient, en effet,

</, X,, d, x~, . . ., dy .r„,

les n systèmes d'accroissements infiniment petits attribués successivement aux n

variables, a:,, j?j, j:,, r„; l'accroissement d'une fonction ©, {a:^, a-.^, . . . , ,r„)

est (^56) de la forme

</» ç, = L?i rfj X, 4- -T^ </i X. + • . • + ^ di, x,„ dx, dx, dx,

*\m représente successivement tous les accroissements considérés, quand on v

attribue aux indices A; et Moules les valeurs entières depuis i jusqu'à n; mais d'après cette expression de </'*9,, on voit (70) que le déterminant du système

est le produit de deux autres déterminants, savoir ceux des deux systèmes

da.

dx:

dx/ ■

■ ' / ' dx„

d^jj

dx,

dx.

dx,:

dm,,

cLk,

dit./

■■' dx/

On en conclut que le déterminant du système B, c'est-à-dire le déterminant du système des fonctions proposées, est le rapport du déterminant du système (A) au déterminant du système (C), c'est-à-dire le rapport du déterminant du système d'accroissements infiniment petits des fonctions, au déterminant du système d'accroissement correspondant des variables. Le théorème est donc démontré.

Cas où le déterminant est nul.

73. Lorsqu'une fonction d'une variable est constante, sa.. dérivée est nulle. Il existe pour un système de fonctions un théorème analoi>uc.

Lorsque plusieurs fonctions ne sont pas distinctes, c'est-à-dire lorsquil existe entre elles une relation nécessaire, leur déterminant est égala zéro.

Montrons d'abord l'analogie de ce théorème avec celui dont nous le rapprochons et dont l'énoncé paraît très-différent.

Lorsqu'une fonction y [x) d'une seule variable n'est pas constante, à chaque valeur do la foriction correspond une valeur déterminée de la variable, et l'équation

(ij ■ ?("f) = .r

IJVRK PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES. 6fi

peut être résolue par rapport à x. Si au contraire la fonction © est constante, en donnant sa valeur, on ne détermine pas x dont cette valeur est indépendante, ( l l'équation ( i ) ne peut plus être résolue par rapport à x.

Si l'on considère maintenant deux (onctions ^, f.r,, x.,), Oj (r,, a\) et que Ton pose

ces deux équations peuvent être résolues par rapport à a;, et à x.,, pourvu que les fonctions ç, eitf^ soient distinctes et indépendantes; mais s'il existe entre elles une relation nécessaire, l'une des équations devient une conséquence de l'autre, ou bien elles sont incompatibles, et dans l'un et l'autre cas il n'est pas possible de les résoudre par rapport à j-, et à a^^.

L'analogie que nous avons signalée consiste, on le voit, en ce que, dans les deux cas, les valeurs des fonctions étant supposées connues, ne déterminent pas les valeurs correspondantes des variables; il en est évidemment de même pour n fonctions, lorsqu'il existe entre ces fonctions une relation indépendante des valeurs assignées aux n variables dont elles dépendent.

Démontrons actuellement le théorème énoncé : lorsque plusieurs#fonctions ne sont pas distinctes, le déterminant du système de ces fonctions est égal à zéro.

Soient 9,, ©2. fs. • • • .?« les fonctions considérées, et

yne relation à laquelle elles satisfont identiquement, c'est-à-dire quelles que soient

les valeurs attribuées aux variables Xt, x,, r„ dont elles dépendent.

De l'équation (3) on déduit, pour un système d'accroissements infiniment petits quelconques de ip,, (f.,, . . .,<f„,

dF , dF , dF ,

n— d<f, -h -1— df: -I- ... -h -j— dfn^o,

en sorte que, si l'on considère n systèmes d'accroissements attribués aux fondions 9,, 9j, . . . , ©„, et qu'on les dispose sur n lignes horizontales,, afin de former le numérateur de la fraction qui représente (71 ) le déterminant du système de fonctions, il existera une même relation linéaire entre les n termes de chaque ligne horizontale. On sait qu'un tel déterminant est nul, le déterminant du système de fonctions, dont il est le numérateur, est donc égal t» zéro. C'est ce qu'il fallait démontrer.

7i. Réciproquement, si le déterminant du système do n fonctions 9,, 9. 9,,.

est égal à zéro, il existe entre ces n fonctions une relation indé|>endante des valeurs ;iltribuées aux variables.

«T" PIŒMltRE l'ARTlE. CALCUL DIFFÉRENTIEL.

' Supposons, en elTet, qu'une telle relation n'existe pas; on pourra alors allribuer à Œ,, Ço. • • • . ?« des valeurs arbitraires et indépendantes les unes des autres, et il en résultera pour a-,, .r.,, . . .,x„ des valeurs correspondantes déterminées. Posons donc

Si nous attribuons à ces fonctions des accroissements infiniment petits, (^/'>, , do-, , . . . , d(^,„ j?,, iCo, . . . , Xn prendront des valeurs nouvelles, et recevront dc; accroissements déterminés dx^, dx^, . . . , dx„ qui satisferont (56) aux relations

da, , do, , do, , ,

-j— dx, + -j— dxi + . . . + -j^ dx„ = d'4, , dx, dx-, dx„

d-Dy dif, , 'do,

-7— ax, H — ; — dx, -+-... H — j— dx„ z= do: ,

dx, dx, dx,,

dm,, j d(f„ , d o„ , ,

-r^- ax, -\ — ; — dx, -f- . . . H — r^ dx„ = (I o„ , dx, dx-, dx„

lesquelles sont par conséquent compatibles, quels que soient (/v,, do.,, . . . , d's„. Or cela ne p«ut être, puisque, par bypothèse, le déterminant du système des coefficients est égal à zéro; il y a donc contradiction à admettre que <p,, ©o, .. ., 0,, puissent recevoir des accroissements arbitraires, c'est-à-dire à regarder ces fonctions comme indépendantes.

Déterminant d un .système de Jonctions de Jonctions.

75. La dérivée d'une fonction de fonction F(«) par rapport à une variable ,r dont u dépend, est le produit de la dérivée par rapport à it-, -j- par la dérivée —

de u par rapport a x.

Ce théorème se généralise de la manière suivante :

Si n fonctions cp,, ©2, ...,(p„ dépendent immédiatement de n variable.i w,, it.^, ..., u„ et que u, , a.,, ..., u„ soient elles-mêmes des fonctions de a?, , x.^, ..., x„ ; le déterminant du système des fonctions f, , (p^, .... cp,,, par rapport aux variables x , , x.^, ..., x„, est le produit du déterminant de ce système de fonctions par rapport à u,,u.,, ..., u,,, par le déterminant des fonctions u,, u.^, ..., //„, par rapport à x,, x.,, ..., r,;. En sorte que l'on a

-T) (ipi. If, f„) D(yi, 'S,, . . . , y,.) D (;/,, II,, .... //„ ,

1) {x,, x„ . . . , x„) JJ [u,, ii„ . . ., u„) D [x„ x„ . . ., x„)

Donnons en effet aux variables ^, , -^2. • • • . -^ny « svstèmes d'accroissements infini-

ment petils .,

ûf, X, d, Xi ... di x„ ,

d„x, d„X: . . . d,iX„ ,

il en résultera pour//,, ii.,, ..., u,, des accroissements déterminés

f/, Ml d, II. ... d, II,,, dt ti, d, II. ... d. Il,,,

d„ii, d„ic, . . . d„u„, et poiii ç,, 'i,. ..., (j,„ les accroissements correspondants

d, ep, d, f.. ... d, o„, d,<fi di »• ... d; œ„ ,

Lv. déterminant de ç,, ipa, ■ • • , <p„, par rapport -àx^, x.^, ... ,x,„ est égal au rapport du déterminant du système (C) à celui du système f A).

Le déterminant de 9,, «p., . . . ,9,,, par rapport à m,, «2, • • • . u„, est égal au rapport du déterminant du système (C) à celui du système (B).

Le déterminant de u^, u.^, . . . , u„, par rapport à ic,, x.^, . . . ,x,„ est égal enfin au rapport du déterminant du système (B) à celui du système (A). Et il est évident, d'après cela, que le premier de ces trois déterminants est égal au produit des deux autres. Ce qui démontre la proposition énoncée.

Déterminant d'un système de fonctions inverses.

70. La dérivée par rapport à x d'une fonction ç ix) est l'inverse (32) de la dérivée de x par rapport à t^.

r.c théorème se généralise de la manière suivante :

.*>'« (p,,çp2 9,, sont fonctions de Xi,x.^, ...,x,„ réciproquement a,, .r^, ...,.r„

peuvent être considérés comme des fonctions rfe 9,, Sj ç»„. Ae déterminant des

fonctions 'f ,, 5^, -. . . , ç„, par rapport à x^, x.,,, .... x,„ est égala i unité divisée par le déterminant des fondions X ,, x^, ... , x,„ par rapport aux variables rp , , Ço, . . . , ç„.

Soient, en effet,

d, Xi d, X: ■ . . d, x„ ,

d.x, rf,,r,. . . . d, j'„ .

rf, is I È?i <p.. ... d,y„,

diij, d-jif, . . . d,rf„, .

(/„ œ, d„if< ■ . . (/„'f„

H systèmes d'accroissements des variables a:,, a-o, ...,a„, et les accroissements correspondants de ç,, Çj, . . ., (f,,. Le déterminant de 9,, 'j^.,, . . . , 9„, par rapport aux variables a?,, ^2. •••,-»«, est (71) le rapport du déterminant du système (B) à celui du système (A) ; et le déterminant de x,, x.,, ..., x„, par rapport à çp,, ç^, ..., ç-„ considérées comme variables, est le rapport du déterminant du système (A) à celui du système (B), ce qui rend la proposition évidente.

Exemple. — Si l'on a deux équations

et que l'on en déduise

on aura la relation

a: = ij/, (m, f),

d(fi dnji d(ft d<f2 I

dx dy dy dx dx dy dx dy du dv dv du

On peut vérifier directement cette formule au moven des règles données (64) pour la différentiation des fonctions implicites.

Pour calculer, en effet, ^5 ^1 ^7 -—, au moyen des équations (1), prenons successivement les dérivées de ces équations par rapport à u, en traitant v comme constant, puis par rapport à c, en traitant u comme constant. Nous aurons

(/», dx dx du

dw,

d <f2 dx

dfi

dx du

ru^""'

df, dx

da.

dr.

dx dv

dv-""'

df2 dx dx dv

<l<fi

dr,.

dv- '

on en déduit

df, dy

du '

df2

dit

dff,

dif.

doji dx

dr.

dx dy dy dx

df, dx

(/», (/(pj d<f, dif,

dx dy dy dx

fl la substitution de ces valeurs dans la formule (3) la rend identique. Réduction du déterminant à un monôme.

77. Le théorème au moyen duquel on a transformé (71) la définition du déterminant, laisse arbitraires les « systèmes'd'accroissements infiniment petits attribués aux variables x,, X2, . . . , ix;„; ï\ permet, par conséquent, de donner au déterminant plusieurs formes distinctes : nous nous bornerons k indiquer la plus remarquable, qui le réduit à un seul terme.

Parmi les in quantités, x,, x,, . . .,x,„ /,,/i, ■ . .,/„, on peut en choisir n à volonté, les autres sont alors déterminées. Si donc on suppose que n — j d'entre elles restent invariables, toutes les autres devront changer à la fois et les rapports de leurs accroissements infiniment petits seront déterminés. Cela posé, nous supposerons que les n systèmes d'accroissements simultanés attribués aux variables soient compris dans le tableau suivant :

di Xi , d, X. , ■ . . .

o , d^Xi, ' . .

O , o , rfj OTj

. . , Mj Xa ,

, . , fZj x„ ,

rfi/i , o, O, . . . , O,

d-.j\, d^f,, o, . . . , 6, d,f, , dif. , rfj/j , . . . , o,

I.a première ligne de ce tableau indiqu»; que les premiers accroissements infiniment petits attribués à a;,,rj, ■■.,x,„ .sont tels, que/2,/3, ...,/„ ne changent pas. < •' qui, comme on l'a dit, détermine complètement leurs rapports. La seconde ligne montre que les seconds accroissements adoptés, savoir d^x,, d^x^, . . . , dnx„, sont

tels, que/j,/< f,^ ne changent pas, et l'on suppose, de plus, d-^x, — o. Cela

détermine encore les rapports de tous les accroissements, puisque, comme dans le cas précédent, n — 1 des quantités considérées sont supposées invariables. Enfin la

•lernière ligne montre que dans le n'*'"'' système d'accroissements, x,, x.j x„,

restent invariables.

Après avoir profité ainsi de la liberté laissée par l'énoncé dans le choix des accroissements simultanés, on aura (71 ) l'expression du déterminant du système, en divisant le déterminant des quantités contenues dans le carré de droite par celui #"» des quantités contenues dans le carré de gauche, mais, à cause des termes nuls,

chacun de ces déterminants se réduit évidemment au produit des termes placés dans la diagonale, et leur rapport est

h] rf./ d.',f\ d,f, ... d„f„ id,f,\ /chf,\ ld„f„\

d,x, d-.X: d,x, ... d„x„ \d,xj \dixj '"' \d„xj'

|il est donc, comme nous l'avions annoncé, réduit à un seul terme. Pour comprendre la signification des rapports ( j-^j » ( j^) ' • • • ' ij-) ' •' f'*"^ ^e reporter au tableau (A). J

On voit par ce tableau que -^ est le rapport de l'accroissement de /, à celui ^^

de a-,, lorsque /a, /s, ...,/, sont supposés invariables; il faut donc, pour le calculer, exprimer/, en fonction des variables a;, , /o,/, ...,/„, et prendre la dérivée du

résultat par rapport à a:, : de même -^— est le rapport de l'accroissement de / ii

celui de .r.^, quand a:,,/,/, .. . , /„ sont invariables; il faut donc, pour le calculer, exprim(!r/2 en fonction des variables .r,, x^, J\, . . . ,/„ et prendre la dérivée du résultat par rapport à. Tj. En continuant ainsi, on verra que pour calculer les facteurs du produit (i), il faut mettre les équations qui lient les an variables ^^•4, 12 x,„ /,, f^, . . ., /„, sous la forme suivante :

J2 = r:![X, , Xi, Ji , . . . , . . . ,J„), Ji ^^ i'i (^l , -^2 , ^3 , J 4 , • • • , Jnjf

Jn t^ Il [Xi , X^ , ... Xn ] ,

et le produit des dérivées ^i -p--, •••, -/^, est alors le déterminan t ciierclu

' dx X dx. dx„

Comme application, cherchons le déterminant du système suivant :

x = ^ ces S, r=p sin 9sin -i,

Z =z a sin 6 COS -il,

fj, $ et à étant les variables indépendantes.

On déduil de ces équations.

,'r =: p COS 6,

y = p sin 9 sin ■^■

Sous cette forme, l'expression de z ne contient que l'une des variables p, 5. d-, celle de a; en contient deux, et celle de y enfin les contient toutes trois. Le déterminant est donc, en vertu du théorème précédent,

dz dx dr ù , . , . . . „

j îT'-fr = -•( — p sm e p sm ôcos^}/ = — p'sm9.

d 0 ai a-if z ^ ' "^ '^

EXERCICES

1. La condition nécessaire et suffisante pour que deux fondions d'un nombre queiconi|ue de variables dépendent l'une de l'autre, est que leurs dérivées partielles, par rapport aux mêmes variables, soient proportionnelles.

2. La condition nécessaire et suffisante i)0ur (jue n fonctions de n + p variables aient entre elles une relation indépendante de ces variables, est que les déterminants des n fonctions, par rapport à n quelconques des variables, soient égaux à zéro.

3. Si deux angles « et v sont liés à deux autres angles 9 et 1, et à trois constantes nu n,p, pur les équations

cosH sinMcosi» sin m sin <>

mcos9 «sin9cosi{< /)sin9sin^jl le déterminant des fonctions u et v, par rapport à 9 et i|/, est

mnp sin 8

sin« (m'cos'9-i- H'sin'9 cos'il- -^-;>'sin'9sin'^I/)•J

4. Soient «,, «,,...,«„, n fonctions distinctes de n variables x,, x,,. . . ,x„. Si l'on établit entre ces fonctions une relation

on pourra, en vertu de celte relation, exprimer l'une des variables, *„ par cxempli', in

fonciioii des n— i autres, et il sera permis de regarder «,, u~,.. ,«„-,, coninif Imiciionsd'' Xi, X::,. . . ,a;„, ; on aura alors

D ( a, , Mi , . '. . , M„i ) __ du,, D ( «, , M, , . . . , u„ )

^:,p[x„x-,,. . .,X„^i) dV, h {x,,x,,. . . ,x„)

dx„

, , , . , dF, , • ■ . ' j • j ,. . , *■

la dérivée -j— étant prise en ayant égard a ce qae7«,,M.,. .. ,M„sonl des fonctions de x,,.

o. Les données étant les mêmes que dans la «lueslion précédente, si l'on se donne une .^seconde relation

et que l'on regarde, par suite, «,, u,, . . . ,Un~i, comme fonctions de jr,, x„ . . . ,x„,, on aura

D (Fi, F;) D (m,, u,,. . .,«„,) D (Fi, F^) D («,, u,,. ..,»„) .

J) [x,„ x„^,) I) (x, ,x,,. . .,jr„j) D(j/,„«„,) D(x,, .r,,. . .,r„)

G. Si l'on pose

X t Xz Xu~^\ IU = 5 «3 = 5 ■ • • î U„-, = >

Xn étant une fonction de x^, x-^, . . . ,a-„, définie par l'équation

x] -i- x'i + . . . + xl= I,