THÉORIE ANALYTIQUE DES TANGENTES ET DES PLANS TANGENTS

Équations de la tangente et de la. normale a une courbe plane. %>•

78. Lorsqu'une courbe plane est définie par une équation connue entre les coordonnées rectilignes a; et j de ses points, on peut, d'après ce qui a été dit (24), trouver l'équation de la tangente à cette courbe. On a vu, en effet, que le coefficient angulaire de cette tangente, au point dont les coordonnées sont x et y, est la dérivée

-f- de y par rapport à x, et les chapitres précédents font connaître le moyen de la

calculer.

En représentant par f et m les coordonnées d'un point quelconque de la tangente dont le point de contact a pour coordonnées x et y, l'équation de cette tangente est

La normale qui lui est perpendiculaire et qui passe également par le point dont les coordonnées sont .x et j, a pour équation

dx , .

ou, ce qui revient au même,

(m — /) dy-\- [t — x'] dx = o.

79. L'équation de la normale peut s'obtenir plus directement. Soient, en effet, « et M les coordonnées d'un point de la normale; le cercle dont ce point est le centre et qui passe par le pied .r, y de la normale, a une équation de la forme

(r — «)'-+- (.r — o= = RS

X et y désignant les coordonnées de l'un quelconque de ses points. En dilférentiant cette équation, on en conclut

[y — «) dy -^ [x — l)dx = o.

74 PREMlkKK PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et comme ce cercle touche évidemment la courbe proposée au point dont les coordonnées sont X et y, le rapport ^ a •» même valeur en ce point, pour le cercle et

pour la courbe; on peut donc, dans l'équation (2), regarder dy et «fcp comme se rapportant à la courbe, et elle ne diffère pas alors de l'équation déjà trouvée (78) entre t ei u.

80. Les axes de coordonnées étant rectangulaires, si l'on abaisse, du point de contact M, l'ordonnée MP, la ligne PT, comprise entre le point P et l'intersection T de la tangente avec l'axe des X, reçoit le nom de sous-tangente.

On la désigne abréviativement par S,; MN étant la normale, PN est la sous-normale que nous désignerons par S,„ enfin MT et MN reçoivent respectivement les noms de tangente et de normale. Les expressions de ces quatre lignes s'obtiennent immédiatement d'après les équations de la tangente et de la normale : on trouve

dy--