MN

La sous-tangcnte et la sous-normale ont un signe que les formules précédentes donnent exactement, si l'on convient de regarder la sous -tangente comme positive qqand la ligne TP est dirigée dans le sens des X positifs, et la sous-normale comme positive quand PN est dirigé dans le même sens. Nous ne nous arrêterons pas à cette discussion, qui n'offre ni difficulté ni intérêt.

81. On a souvent besoin d'introduire dans les calculs les angles formés par la tangente ou la normale à une courbe avec les axes de coordonnées, et il est nécessaire d'éviter toute ambiguïté sur le sens dans lequel ces angles sont comptés.

Le coefficient angulaire de l'équation de la tangente est j^; si donc oc désigne

l'angle formé par la partie positive de l'axe des X avec la portion de cette tangente supérieure à l'axe, on a

La direction de la normale se détermine parles angles X et [x, que forme, avec les axes, la perpendiculaire abaissée de l'origine des coordonnées sur la tangente. La perpendiculaire pouvant être prise dans un sens ou dans l'autre, les angles /. et a sont affectés d'une certaine indétermination, et l'on peut les changer tous

deux en même temps, en leurs suppléments. Le rapport est, néanmoins,

parfaitement déterminé, et l'on a, quelle que soit celle des directions opposées que

l'on adopte,

, , oos u dx

2/ Ir =- 7-.

cos >. (tr

ou, ce qui revient au même, (3) cosX£/x4- cos(xé(>- = o.

L'équation de la courbe étant

dr . .

le rapport -j- est fourni par l'équation ,

, ,, dV , dV ,

d'après laquelle l'équation (2) équivaut à

rfF ^ (5) dx dr

COSX COSft

Ainsi donc : les cosinus des angles que forme la normale à une courbe plane avec les axes de coordonnées, sont proportionnels aux dérivées partielles du premier membre de l'équation de la courbe.

La somme des carrés de ces cosinus étant, pour une droite quelconque, égale à l'unité, on en conclut

COSX = ± =-:

cospi = ±:

'Il dr

smMfï

les signes supérieurs ou inférieurs devant être pris en même temps à cau.se de l'équation (5).

82. On distingue quelquefois sur la normale à une courbe la direction extérieure et la direction intérieure à la courbe. Pour définir ces deux directions, il faut regarder la courbe dont l'équation est

comme partageant le plan en deu* parties, l'une extérieure à la courbe et délinie par la condition F {x,y) > o, et l'autre intérieure, définie par la condition F {x,y) < o. Cela posé, si nous nommons normale extérieure celle qui est dirigée vers la portion du plan extérieure à la courbe, X et /jt, étant les angles formés par cette normale avec les directions des axes positifs, on aura toujours

CCS X = +

dx j \ dy

ces [i = -I-

dF dr

v/isr-if)'

Si nous portons, en effet, sur la normale extérieure une longueur infiniment petite s, les coordonnées de son extrémité seront

X + s cos >., y -\- £ cos fi.

Or on a (53), en négligeant les infiniment petits du second ordre,

^1 - ^ ^1 \ dY ^ d¥

t {x-\- î cos A, J+ SCOSft) =F(X, j) + -y- s cos >+ -r- t cos |i,

et puisque F (x,j) est nul, le second membre se réduit à

-;— COS

c'est-à-dire, en remplaçant cos X et cos fx par leurs valeurs (81 ),

F (.r + E COS>, J-)-e COSp) = ±£

dFy /dry

/idVy jd¥\

dvy id¥\ I " V \(fxj \drJ

L'extrémité de la longueur s étant, par bypothèse, extérieure à la courbe, la valeur correspondante de F est positive, et il faut, par conséquent, danslesecond membre, adopter les signes supérieurs, ce qui exige qu'on les adopte aussi dans les valeurs de cosX et de cos /u,.

Détermination de quelques tangentes.

83. Donnons maintenant quelques exemples de détermination de tangentes, en choisissant, de préférence, les problèmes déjà traités par des considérations géométriques.

Problème I. — Tangente à la cycloïde.

Soient AX la droite sur laquelle roule le cercle générateur, A le point de contact de ce cercle dans sa position initiale. A' le point de contact du cercle dans une se-

conde position, M la position correspondante du point générateur; on aura, par la définition même. du roulement,

Si l'on prend pour axe des X la ligne AX, et pour axe des Y une perpendiculaire élevée en A, les deux coordonnées du point M seront,

MP=j, PA = x, et l'on aura, en désignant par a le rayon du cercle et par u l'angle M0.4',

j=QP-l-MQ = a — «cos«, x= AA' — 0Q = au — a sin «.

Les deux équations

j:=a (i — cos u), x=za[u — 3ina),

donneraient, par l'élimination de u, l'équation de la cycloïde. Cette élimination est facile, car on tire de la première de ces équations.

M = arc cos

et l'on peut porter cette valeur dans la seconde équation, en remarquant en outre que ron.a

SU! u=\/ — ;

dy^ rtsin udu,

dx z= a [\ —

-co^u)du,

sin M

= cot - u

I — cos «

mais il est plus simple de différentier directement les équations ( i ) et ( 2). On en déduit

d'où l'on conclut

La tangente ayant pour coefficient angulaire cot - u, l'angle qu'elle forme avec l'axe

des X est égal à u, et la normale fait avec le même axe l'angle - u. On en conclut, conformément à ce qui a été dit (14), que la normale est MA', et la tangente MK.

De l'équation

dr I

-j- = col - M dx .2

on peut déduire l'expression de -j- en fonction de j, dont nous aurons à faire usage. On a, en effet.

par suite.

cos II =

ay-

sm u

— cos u =

dr I sin« /o-fl — T

-f- = col - M = - — = 1 /

dx 2 I — cos u y y

Cette équation prend une autre forme si, laissant les axes parallèles à leur direction actuelle et changeant le sens de l'axe des Y, on transporte l'origine des coordonnées au sommet de la courbe,' dont l'ordonnée est 2a. Les formules de transformaXion sont

et l'on a, en supprimant l'indice de j.

dy^ dx

Problème II. — Tangente à l'épicycloïde.

L'épicycloide est la courbe engendrée par un point de la circonférence d'un

cercle mobile roulant sur un cercle fixe, de telle sorte que les arcs des deux circonférences, dont les points s'appliquent successivement les uns sur les autres, soient constamment égaux en longueur.

Considérons un cercle de rayon / roulant sur une circonférence fixe de rayon R. Soit A la position initiale de l'un des points de la circonférence mobile ; lorsque cette circonférence sera venue, dans son mouvement, toucher la circonférence fixe en A', le point A sera venu en M à l'extrémité de l'arc A'M, égal en longueur à A' A. Si l'on prend pour axes de coordonnées deux diamètres rectangulaires CX et CY de la circonférence fixe, dont le premier, CX, passe par le point A; en posant A'CA = ç ,

on aura A'C'M = cp —, el les coordonnées du point M seront

on en déduit

x = [R + ;•) costp — rcos l<f-{ ^\ ,

y= (R -H ;■) bin y — r sin ( » H ^ j^

df = ( R + ;•) cos <p — (OS ( f H ^ j j <f !?,

{ix={l\-\-r) — sin if -h sin ( ^H ^] </?,

et par suite

<lf cosv-cos<p(?+ -^j

dx / H œ \

sm [f+-^j

SIM tf

^"8 T + rr

Or en joignant KM, on voit que l'angle formé par cette droite avec l'axe des X est

i> précisément 9 h — -\ elle est donc la tangente au point M, et la normale est par conséquent dirigée vers le point \'.

Problème 111. — On abaisse, d'un point 0, des perpendiculaires sur les tangentes d'une courbe plane ; déterminer la tangente à la courbe lieu des pieds de ces perpendiculaires.

Pour résoudre ce problème, dont la solution géométrique a été donnée (14), prenons pour origine des coordonnées le point 0; soient a;, y les coordonnées d'un point M de la courbe donnée, l'équation de la tangente MP est

Celle de la perpendiculaire OP,

dx '

si entre ces deux équations et celle de la courbe donnée, on élimine y et x, on obtiendra l'équation de la courbe lieu des points P ; mais, pour déterminer la tangente, cette élimination n'est pas nécessaire. Éliminons en effet entre les équations

( 1 ) et (2) le rapport -/-» nous obtiendrons la relation suivante, entre les coordon-

nées « et / du point P,

c'est-à-dire

(3) • u^-\-t' = uy + tx,

et en différentiant cette équation,

(4) 2 udu-\-itdt=:udy-\- tdx-\- ydu -i-xdt. Or on déduit de l'équation ( 2 )

Il dy -H / dx = o .

L'équation (4) devient donc

2 udu-\-iidl =z ydu -\- xdt,

d'où l'on déduit

du 9.

Ji ~ y

et l'on voit que la tangente cberchée, dont le coefficient angulaire est -r-, est perpendiculaire à la ligne qui joint le potnt P du lieu, au point milieu de OM dont les coordonnées sont - et -• Ce qui équivaut au résultat trouvé (14).

Problème IV. — On abaisse d'un point 0 des perpendiculaires sur les tangentes

d'une courbe plane, et V on prolonge chaque perpendiculaire Qi? jusqu'en un point Q, tel que

OP.OQ = rt%

a étant une ligne donnée. Trouver la tangente à la courbe lieu des points Q.

La solution géométrique de ce problème a été donnée (14). L'analyse conduit facilement au même résultat. En nommant x et y les coordonnées du point de contact M, l'équation de la tangente MT est

et celle de la perpendiculaire OP

On ;i d'ailleurs, en nommant or,, y, les coordonnées du point Q,

et en remplaçant ^ par ^ (à cause de l'équation (2) à laquelle m .— j, ,

t =: X, , satisfont), il vient

ou, en réduisant,

'3' j/, -t- .rx, =a=.

Kn différentianl cette équation, on en conclut

(4) jrdy\-\-y,dy-\- xdx,+x,dx=^o;

mais le point Q, étant sur ta droite représentée par l'équation (a), on a a

}\ dy-\-Xi dx = o, et l'équation (4) se réduit à

ydy, ■+■ xdxît= o, donc

dy, X

dx, ~ J- ' l. n

c'est-à-dire que la tangente cherchée est pcn-pendiculaire à la droite. OM, ce qui est d'accord avec le résultat trouvé (14).

84. Dans la solution des deux problèmes précédents certains ternies disparaissant d'eux-mêmes de l'équation obtenue par la différentiation, il en est résulté une grande simplification dans les calculs. Cette simplification tient à une circonstance géométrique commune aux deux problèmes; elle se présenterait également dans un grand nombre de cas analogues'. Voici l'énoncé général d'un problème pour lequel elle a lieu, et qui comprend les. deux précédents comme cas particuliers.

Problème \ . — Déteiminer la tangente à une courbe dont les points se déduisent, suivant une loi connue, des tangentes à une autre courbe donnée. Soit

l'équation de la courbe donnée; l'une de ses tangentes a pour équation *

u — ) • = -T— I / — .ri.

Les coordonnées x^ , y, du point correspondant de la courbe cherchée sont des fonctions données des coefficients de cette équation, elles ont, par conséquent, des expressions de la forme

„ [dy dr

Pour déduire de ces équations le coefficient angulaire de la tangente cherchée

df,

-^1 posons

dv dr

an aura

dx,

du-+-

d¥, dv

dv,

df'

dl\

~ du

du-+-

dV,

dv,

mais

dv := d [y — ux) = dy — udx — x du.

Or, à cause de l'équation ^ = «, cette valeur de dv se réduit à — xdu, et Ion a

(Ix, =^ -r— an — .r — y— rt«, au av

dy, = ilu

•^ du

dV, , X (lu,

on en conclut

'IL^ 'lïl dy, du dv

dx,

'IIl du

ce qui résout le prohleuie. J.a simplification du résultat tient a ce que la différentielle

dr du se trouvant facteur commun, le rapport -j-^ se détermine sans qu'il soit nécessaire

de connaitre la dérivée de h^j que, sans cette circonstance, il aurait fallu calculer.

On voit que dans l'expression de dx, et dans celle de dy, , les termes en dy et en dx se détruisent, et qu'il ne reste que ceux dont le multiplicateur est du. Les calculs sont donc les mêmes que si, en passant d'une tangente à la tangente infiniment voisine, on se contentait de faire varier le coefficient angulaire u, sans changer les coordonnées x et y du point de contact, et la tangente cherchée est la même que si la droite qui sert à déterminer les différents points de la courbe, tournait autour d'un point fixe : c'est ce que nous avons déjà vu ( 14y.

85. Problème VI. — On porte, à partir, des différents points d une courbe plane donnée, une longueur constante .sur les normales à cette courbe; trouver la tangente à la courbe lieu des points ainsi obtenus .

Soient x,y les coordonnées d'un point de la courbe donnée, t, u les coordonnées du point correspondant de la courbe qui s'en déduit; en nommant >>, ,u. les angles formés par la normale avec les axes, on a évidemment

< = X + /cos ),

« = j-t- /ros li,

on en déduit par la différentiation

dt = dx -h /d cony,

du =: dy -+- Id cos ft.

-Multiplions la première de ces équations par cos >., la seconde par cos //, et ajoutons-les ensuite, il viendra

3 cosXf// + cos (idu = dx cosX -h dy cos ft -{- 1 (cosÀ</cos/. -I- cosfi</cbS{*) ;

mais de l'équation

cos' \ -h cos' fi = I , ■ : -.

on déduit, en différentiant,

(4) , COSX f/cOsX 4- COSpt/cOSft = o,

d'ailleurs (81)

(5) dx cosl -i- dy cos i>. = u, et l'équation ( 3 ) devient

(6) . cos >. f// 4- OOS u</m = o ;

la comparaison des équations (5) et (6) donne

d/'dr du dx

les tangentes aux deux courbes sont donc parallèles, ainsi que nous l'avons trouvé ■géométriquement ( 14 ) .

86. Problème VII. — Lorsqu'un angle de grandeur constante se meut de telle sorte que ses côtés touchent constamment une courbe plane donnée, son sommet P décrit une courbe, dont la normale s'obtient en joignant le point P au centre du cercle qui passe par ce point et par les points A et B, où les côtés de l'angle mobile touchent la courbe donnée.

Soit

l'équation de la courbe donnée ; nommons a, jS et a', jS' les coordonnées des deux points de contact, et a la tangente trigonométrique dé l'angle donné. Outre les égalités /3 = 133 (a), ]S' = ç(a'), on aura, pour déterminer les coordonnées x,yA\x point P, les équations

3 ' ■ . ,/p d^' i d^ dj

Eliminant -r- et -p, entre ces équations, on aura

(4) a{(y—^)[y-^') + [x-:){x-a')]+[y-^')[x-^) — [y-^][x-^']=o. Cette égalité, en y considérant x et y comme seules variables, représente un

cercle qui passe par le point P elles points (a, P) («', /3'). Si l'on difîérentie cette équation, on aura

[2ax—a ( fl -H p') -(- (a' — a) ] dy + [^ax— a ({=< + a') -\-{^ — p')]dx

(5) + j[(.r-P) -« (x a)]-[(x-.) +« (J- p)] '^ij ./a'

Si mainlenant on remplace dans l'équation (5) les valeurs de j — 13 et de j — |S' tirées des équations (i) et (2), les coefficients de da et da' disparaîtront à cause

des équations (i), (2)et (3). L'expression du coefficient différentiel h^ est donc la

même, soit que l'on considère, dans l'équation (4), a et a' comme variables ou comme constants. La tangente, au lieu des points P, se confond donc avec celle du cercle représenté par l'équation (4), lorsqu'on y regarde «, |3, a', |3' comme constants.

Remarque relative aux problèmes précédents.

87. Les problèmes précédents sont tous compris dans ce même énoncé général : les points d'une courbe 1 se déduisent par une certaine construction des points et des tangentes d'une autre courbe S; connaissant la tangente en un point donné de la courbe S, trouver la tangente au point correspondant de la courbe 1.

Le problème a été résolu dans les cas particuliers choisis pour exemples, mais il ne faut pas croire pour cela que la solution soit toujours possible. Si l'on cboisit au hasard la construction à l'aide de laquelle les points de la courbe

1 se déduisent des points et des tangentes de la courbe S, la tangente à la courbe

2 ne sera pas déterminée lorsqu'on se donnera seulement le point correspondant de S et la tangente en ce point. Si cette détermination a été possible dans les cas particuliers que l'on a examinés, c'est que ces cas ont été choisis pour qu'il en fût ainsi.

On a déjà expliqué (84) à quoi tient, pour deux d'entre eux, la simplification qu'a présentée la solution; nous allons montrer pourquoi le résultat demandé est impossible en général.

Soient a; et j les coordonnées d'un point de la courbe S, et/; le coefficient angulaire de la tangente en ce point, x^ et j, étant les coordonnées au point correspondant de la courbe 2, on aura, d'après la définition de c(?lte courbe,

0 et F étant deux fonctions dont l'énoncé détermine la nature. Or on déduit de i i

par suite,

rfF , dY , dV ,

df dnjdy dif dp rfy d<f d<f dp

dy\ dx dy dx dp dx dx ' dy dp dx

dx, dV dV dy dV dp d¥ TF dï dp

dx dy dx dp dx dx " dy dp dx

On voit que -p--, coefficient angulaire de la tangente cherchée, contient non-seulement a;, v et/?, comme dans. les cas particuliers qui ont été examinés, mais encore '-J^- Lors donc qu'on se donnera un pointdelacourheSet la tangente en ce point, l;i tangente au point correspondant de la courhe 2 restera, en général, indéterminée.

Tangentes aux courbes rapportées aux coordonnées polaires.

88. Lorsqu'une courbe est définie par une équation en coordonnées polaires,

on peut facilement déterminer, en chaque point, la direction de sa tangente. SoitiM un point donné sur la courbe ayant w et /s pour coordonnées; soit M' un point voisin, menons les rayons vecteurs OM, OM', et du point 0 comme centre, avec OM pour rayon, décrivons un arc de cercle MP terminé aurayon OM' : on aura évidemment

OM=p, arcMI> = p</«.

De plus, M'P étant l'accroissement infiniment petit de p, peut être considéré (46) comme égal à rfp ; or on a, dans le triangle MM'P,

MP sinMM'P M'P^sinM'Ml*

. 1 I- • MP , , , di,i . ^ ■ . „,,,T, ,.1^1 . sinMM'P

A la limite, rp-r, est égal a p y-> le triangle MM P est rectangle, et le rapport ^■^.j,^^.,

devient égal à la tangente de l'angle V formée par le rayon vecteur avec la portion de tangente dirigée du côté vers lequel l'angle &) décroit. On a donc

langV=p^-

Lorsqu'une courbe est rapportée à des coordonnées polaires, on désigne quelquefois sous le nom de tangente, normalej sous-tangente, sous-normale, quatre lignes que nous allons définir.

Elevons par le pôle 0 une perpendiculaire au rayon vecteur OM; soit T l'intersection de cette perpendiculaire avec la tangente, et N son intersection avec la normale en M, MT se nomme la tangente, JMN la normale, Oï la sous-tangente, ON la sous-normale.

i.e calcul de ces (|ualre lignes n'oltre aucune difficulté. On a

OT=:S, = MangV = p';^, MT = ^ = Y/p^ + ,o' 0,

89. Comme application des formules précédentes, déterminons la tangente à la spirale logarithmique dont l'équation est

f) ^ ae ,

on il

,, «w mu I I

tane V =1 p -^ r= ae = —

'^P mae'"" '"

L'angle V est donc constant et il a pour tangente — • Ainsi la spirale logarithmique

coupe sous «n angle constant les rayons vecteurs issus d'un point fixe. Si l'on suppose m = o, l'angle V est droit et la spirale logarithmique devient un cercle.

Nous appliquerons encore les coordonnées polaires à la solution du prohlt-me suivant.

Problème VIII. — IX'un point fixe 0 situé dans le plan d une courbe S, on mène à cette courbe des rayons vecteurs que l'on prolonge d'une quantité constante}; trous er la tangente à la courbe 1, lieu des points ainsi obtenus.

Prenons des coordonnées polaires et pour pôle le point fixe O; si l'équation de la courbe donnée est . %

I elle de la courbe qui s'en déduit est

et l'on voit que la sous-normale S„ étant exprimée par -p> a la même valeur pour les deux courbes, en sorte que les normales aux points correspondants vont concou-

m PREMIÈRE PARTIE. -- CALCUL DIFFÉRENTIEL.

rir sur la perpendiculaire au rayon vecteur menée parle point 0; de là résulte une construction très-simple pour la normale, et par suite pour la tangente.

Il suffit, en effet, pour obtenir la normale au point M' de la courbe 1, de mener la normale en M à la courbe S et de joindre M' avec le point où cette normale ren-r contre la perpendiculaire ON au rayon vecteur OMM'.

90. M. William Roberls a remarqué que o et o) représentant les coordonnées polaires des points d'une courbe, si l'on pose

p' = p" et w' := «co,

on en déduit

pdai p'dr,)'

et, par conséquent, la courbe dont les points ont pour coordonnées p' et oj et la courbe proposée, coupent leurs rayons vecteurs correspondants sous le même angle. Il en résulte le moyen de déduire de deux courbes données, deux autres courbes qui se coupent sous le même angle qu'elles.

Si l'on considère, par exemple, les droites dont les équations sont

pCOSw = a, p ces (w — (p) = 8,

OÙ « et [i sont arbitraires, et ç désigne un angle constant, ces droites se coupent évidemment sous l'angle 9. On en conclut que les courbes représentées par les

équations

p" ces /i w = 2", p" ces ( « w — t) — f "

se coupent toujours sous l'angle ç, quelles que soient les valeurs attribuées à « et/î. En supposant « = 2, on obtient le théorème suivant :

Un système d'hyperboles équilatères concentriques et semhlahlement placées est coupé par un autre système de même nature sous un angle constant, double de celui que font les axes des deux systèmes.

Si l'on fait n = -> les courbes deviennent des paraboles de même foyer, et l'on

a le théorème suivant : Toutes les paraboles ayant le même foyer et le même axe,

sont coupées par des paraboles de même foyer, mais d'axe différent, sous un angle moitié de celui que font les axes des deux systèmes de courbes.

M. Rohetls a déduit de sa remarque un grand nombre de théorèmes, dont quelques-uns sont indiqués comme exercices à la fin du chapitre.

Tangentes aux courbes à double courbure.

91 . Soient <p {x,y, z) =0, ^ {x, y, z) =0, les équations d'une courbe à double courbure; cherchons sa tangente en un point donné.

La tangente est la limite de la ligne qui joint deux points infiniment voisins, et l'on sait (13) que l'on peut, sans changer cette limite, remplacer l'un des deux points par un autre, qui en soit situé à une distance infiniment petite du second ordre. Si donc x,y, z sont les coordonnées du premier point, on pourra regarder celles du second comme égales & x -+- dx, y -t- dy, z ■+■ dz; on sait en effet (46) que dy et dz ne diffèrent des accroissements véritables de j et de z que par des infiniment petits du second ordre.

Si t, u, i> désignent les coordonnées d'un point quelconque de la droite qui joint les deux points dont les coordonnées sonlx,y, z, x-+- dx,y + dy, z + dz, les équations de cette droite sont

Pour avoir, sous forme finie, les équations de la tangente, il suffit donc de trouver trois quantités finies proportionnelles à dx, dy, dz, et d'écrire que ces quantités sont aussi proportionnelles a t — x, u — y, v — z; or on a trouvé (62)

da (/^j/

dz dy

df d-Sf dy dz

dtf d-if dx dz

dtf d-^ dz dx

d<f d^ dy dx

dif d-i/ dx dy

équations de la tangeûte sont donc

d<f d^ dfd-^ dfd^ dfd^ </<pf/|< d<fd^ dz dy dy dz dx dz dz dx dy dx dx dy

On donne quelquefois à ces équations une autre l'orme qu'il est bon de connaître. Elles expriment qu'il y a proportionnalité entre les différences t — x. Il — y,v — z, et les différentielles dx, dy, dz. Or ces différentielles satisfont aux i-quaticms

rfo , dm , d f ,

d-lf dx

dif Ty

d-if

90 PRi;Mli:iŒ PARTIE. ~ CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Si donc on écrit

dm , , tirs lia , .

on aura exprimé que les différences t — x,u—y,v — z, ont les mêmes rapports que dx, dy, dz, et qu'elles leur sont, par conséquent, proportionnelles. Les équations ( I ) qui représentent deux plans sont donc, si l'on veut, celles de la tangente;

92. Les équations de la tangente à une courbe conduisent, sans difficulté, à celle du plan normal. Pour obtenir ce plan, il suffît en effet de remarquer qu'il passe par le point dont les coordonnées sont x, y, z, et qu'il est perpendiculaire à la tangente. Les formules de la géométrie analytique donnentd'après cela pour son équation

[i — x] dx -\- [u — y)dy-'r[i' — z)dz:=o,

dans laquelle dx, dy, dz, devront être remplacés par les fonctions qui leur sont proportionnelles. On peut d'ailleursdémontrerdirectement cette équation. Soient/, u, v, les coordonnées d'un point quelconque de l'espace, les différences l — x, u — y, V — z, sont proportionnelles aux cosinus des angles formés avec les axes par la droite qui joint ce point au point donné de la courbe dont les coordonnées sont x,y, z. Mais dx, dy, dz, sont proportionnels aux cosinus des angles formés par la tangente à la courbe avec les mêmes axes, et, par suite, la condition pour que ces deux directions soient perpendiculaires, c'est-à-dire pour que le point t, u, v appartienne au plan normal, est précisément

[t — x) dx-ir [u — J-) dy-{- [i' — z) dz z=o.

Courbes tracées sur une sphère.

93. L'étude des courbes tracées sur la sphère a conduit les géomètres à des résultats intéressants, et dont l'analogie avec les propriétés des courbes planes est digne de remarque. Nous nous bornerons à indiquer ici le système de coordonnées le plus habituellement employé pour représenter les points d'une sphère et le moyen d'obtenir la tangente à une courbe définie par une équation entre les deux coordonnées de l'un quelconque de ses points.

Considérons sur la sphère un point P, auquel nous donnerons le nom de pôle ; le grand cercle dont le plan est perpendiculaire au rayon qui aboutit en P, recevra le nom d'équateur; les grands cercles passant par le point P seront des mcridicm, et les petits cercles ayant leurs plans parallèles à l'équateur, des paralUks. J>es

points de la sphère seront définis par le méridien et le parallèle sur lesquels ils se trouvent, le premier étant donné par l'angle ç, formé avec un méridien fixe, et le second par sa distance au pôle, comptée sur un arc de grand cercle, y variant de o k 2- et 9 de o à ;:, tous les points de la sphère sont représentés. Ce système équivaut évidemment à l'emploi de la latitude et longitude géographiques à la surface de la terre, ip désignant la longitude et Q le complément de la latitude.

Soit une courbe définie par une relation F(ô, (p) = o entre les coordonnées de ses points. Soient M un de ses points et M' le point voisin ; du point P comme pôle,'

avec PM (c'est-à-dire R6 pour rayon sphérique, décrivons un petit cercle MM,. Le triangle MM'M, pourra être considéré comme plan et l'on aura

M' étant l'angle formé par la courbe avec l'arc de grand cercle PM'. Or on a

MM, = HsiiiO</5..

F^a première de ces équations est évidente, la seconde résulte de ce que MM, est iin arc correspondant à l'angle df dans un cercle de rayon R sin ô. On a donc

lang M = rr— : r-—- = -: — 7 • -r- •

Ksin Od(f sui ô «*

Si en M' on mène un grand cercle M'Q normal à la courbe considérée, et que du point P on abaisse un arc de grand cercle PQ, perpendiculaire sur M'Q, le triangle sphérique PQM' donnera

sm -j^ = sm6cosM .

Équation du plan tangent à une sur/a ce.

94. L'équation d'une surface en coordonnées rectilignes étant

si à partir d'un point de cette surface, ayant .r, y, z pour coordonnées, on attribue à .r et à j des accroissements infiniment petits dx et dy, on a vu (54) que

l'accroissement correspondant de z peut être considéré, en négligeant les infiniment petits du second ordre, comme égal à . ^

-j- et -T- étant les dérivées partielles de z, lorsqu'on y considère successivement x et

y comme constants.

D'après cela, autour du point dont les coordonnées sont x, y, z, et à une distance infiniment petite de ce point, l'accroissement de z peut être considéré comme une fonction linéaire des accroissements de x etdej, et si l'on- nommer, u, v les coordonnées d'un point situé sur la surface à une distance infiniment petite du point X, y, z, on a, en négligeant les infiniment petits du second ordre,

I \ <l^ I ^ dz , .

Cette équation étant du premier degré en t, u, v, représente un plan qui, évidemment, passe par le point x, y, z, et qui, pour les points infiniment voisins, est à une distance infiniment petite du second ordre de la surface considérée.

Nous allons prouver que ce plan contient la tangente à une courbe quelconque située sur la surface et passant par le point considéré. Menons par ce point M, dont les coordonnées sont a;, j, z, une courbe P située sur la surface, et soit, sur cette courbe. M' un point voisin de M ayant pour coordonnées t, u, v. La tangente à la ligne P est la limite de la ligne droite MM'. Or on peut (13 ), dans la détermination de cette limite, substituer au point M' tout autre point qui en soit situé à une distance infiniment petite du second ordre, et par suite remplacer le point M' de la surface par le point du plan ( i ), dont les coordonnées parallèles aux x et aux v sont t et m; la troisième coordonnée v n'étant altérée, d'après ce qui précède, que d'un infiniment petit du second ordre. Mais après cette transposition du point M', la droite MM' est rigoureusement située dans le plan ( i ); il en est donc de même de sa limite, et la tangente en M à la courbe P, c'est-à-dire à une courbe quelconque menée par ce point sur la surface, est par conséquent située dans le plan (i).

Si l'équation de la surface est donnée sous la forme

^[x,y; z]z=o, il faudra, pour faire usage de l'équation ( i ), calculer d'abord -^ et -^^ -^ 1 <»'de des

formules

dY d¥dz^ dx dz dx '

dy dz dy^~ ' ,

et l'équation du plan tangent deviendra

Le même résultat peut s'obtenir à l'aide de formules données (91 ) pour la déleiniination de la tangente à une courbe à double courbure. Considérons, en effet, sur la surface donnée dont l'équation est ¥{x,y,z) = o, la courbe qui résulte de son intersection avec une seconde surface ayant pour ; équation (p{x,y,zi = o, et passant par le point considéré x, y, z. On a vu (91) que la tangente à cette courbe peut être représentée par le système des équations

,> , \ df , . df , •. d f

Si la seconde surface est remplacée par une autre, assujettie seulement à passer parle point donné, la courbe d'intersection pourra prendre toutes les situations sur la première surface, et la tangente se déplacera, mais l'équation (ij restant la même, représente un plan dont cette tangente ne sort pas, et qui est précisément le plan tangent déjà trouvé par d'autres considérations.

Equations de la normale. \

95. L'équation du plan tangent étant connue, on peut former facilement celles de la normale. En supposant les axes rectangulaires, la normale fait avec lesaxes des angles dont les cosinus sont proportionnels aux coefficients de l'équation du plan tangent; cette droite passant par le point x,y, z, les équations sont

Hx dy dz

Si l'équation de la surface est donnée sous la forme

z = y[x,x), celles de la normale deviennent

(dz \ dz

dx I dy

94 PRHMikKK PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEI.

c'est-à-dire

dz du

I \ dz

96. On peut distinguer, à partir de chaque point d'une surface ayani pour équation F [x, y, z) — o, deux directions opposées pour la normale; nous les nommerons direction extérieure et direction intérieure, la direction extérieure se dirigeant vers les points de l'espace pour lesquels on a

et la direction intérieure vers ceux pour lesquels on a au contraire

Si )., [j., V, désignent les angles de la normale extérieure avec les axes de coordonnées, on aura toujours

ros >. :

rfF

COSa-

idvy

d¥ dy

(dpy