IK

Cette aire NAMP est une fonction implicite de ,r, dont nous allons chercher la différentielle, en supposant, bien entendu, que la courbe NM soit donnée par son équation.

Si l'on attribue à j? un accroissement infiniment petit dœ, représenté par PP', l'aire considérée s'accroît du trapèze curviligne MPM'P', auquel on peut substituer le rectangle MKPP', car cela revient à négliger le triangle infiniment petit du second ordre MKM'. Or on a, en nommant j l'ordonnée MP,

MKPP =jf/.r.

La différentielle demandée est àonc ydx et la dérivée de l'aire, par rapport à x, est y.

115. Le résultat précédent fournit la déinonstration immédiate d'un théorème important:

// existe toujours une fonction dont la dérivée soit égale à une fonction donnée tf [x) .

Pour trouver une telle fonction, il suffit, en effet, de considérer la courbe dont l'équation eu coordonnées rectangulaires est "

l'aire comprise entre une ordonnée fixe et l'ordonnée dont l'abscisse est x, est une fonction déterminée, qui, d'après le théorème précédent, a pour dérivée ç {x).

116. Considérons, en second lieu, une courbe plane rapportée à des coordonnées polaires, et cherchons la différentielle de l'aire comprise entre cette courbe, iin rayon vecteur fixe OA, et le rayon OM qui correspond à l'angle w.

Si l'on attribue à l'angle w un accroissement infiniment petit MOM' représenté parrfoo, l'accroissement de l'aire est le secteur MOM'; du point 0 comme centre, avec OM pour rayon, décrivons l'arc de cercle MP, on peut substituer à OMM' le secteur OMP, en négligeant le triangle infiniment petit du second ordre MM'P. Mais

le secteur OMP est égala p^ — : telle est donc la différentielle de l'aire considérée, et la dérivée de cette aire par rapport à u est -•

117. On a besoin quelquefois d'exprimer la différentielle précédente en employant les coordonnées rectilignes; il est facile de déduire son expression du résultat que nous venons d'obtenir.

On a, en effet, en vertu des formules connues de transformation, en prenant pour origine des coocdorfnées nouvelles le pôle 0, et pour axe des X l'axe polaire,

tanew=-^, w = arctane-;

on en déduit ,

, xdr — ydx

dw = — ^ ,

et, à cause de x^ + y' = p^

p'dbi =^ xdy — ydx ,

en sorte que la différentielle de l'aire AOM est

, . xdr — rdx

Cette formule pourra donner pour dk une valeur négative; il suffit pour cela que l'on ait . ,

xay — yax<Co, ^W

c'est-à-dire, en supposant a; et dx positifs,

dx X*

ce qui suppose que la parallèle menée par le point 0 à la tangente en M, dirigée dans le sens où x augmente, soit au-dessous du rayon vecteur OM, et que, par suite, l'angle w diminue lorsque le rayon OM tourne autour du point 0 pour se transporter sur OM'.

L'e\ipress\onxdy—ydx est donc négative, comme cela doit être, dans le même cas que l'expression équivalente p' dw.

Différentielle d'un arc de courbe.

118. La comparaison directe d'un arc de courbe avec la ligne droite prise pour unité étant impossible, une définition est indispensable. Nous avons adopté la suivante : La longueur d'un arc de courbe est la limite dont s'approche le périmètre d'un polygone inscrit, lorsque ses côtés diminuent indéfiniment. Il a été prouvé (18) que cette définition est légitime, et l'on en a déduit qu'un arc infiniment petit diffère de sa corde, d'un infiniment petit du troisième ordre.

Soit AM un arc de courbe plane, rapporté à des coordonnées rectangulaires OX et OY. Si, l'extrémité A restant fixe, l'abscisse de l'extrémité M reçoit un accroissement infiniment petit représenté par àx, l'arc prend l'accroissement infiniment petit MM'. Or MM' peut (19) être remplacé par sa corde, qui n'en diffère que d'un infiniment petit du troisième ordre, et cette corde est égale à

Le rapport de cette corde à Aa; est donc

et la limite de ce rapport, c'est-à-dire la dérivée de l'arc, est

La différentielle de l'arc s est le produit de cette dérivée par dx, et l'on a , par conséquent,

ds = ^dx' -4- dx' ■+■ dz\ I. i6

Lorsque la courbe proposée est plane, en la rapportant à deux axes de coordonnées situés dans son plan, on trouvera évidemment

ds = sjdx'^ 4- dy\

tl9. Appliquons la formule précédente à l'arc de cycloide. Nous avons trouvé (83), en prenant pour origine des coordonnées le sommet, et pour axe des X la tangente à la courbe,

df . / r

• on en conclut :

dx~^'-- -■'

«?«' = dx'' + c?7' = c?j' I -h ~ — ^ =

lady''

»» Or Jj i/— est la différentielle de av/aaj. La différence .y — 2 v/2 aj est donc

constante puisque la différentielle est nulle. Si l'on compte l'arc s à partir du som- |!S met de la cycloide, les deux termes de la différence sont nuls en même temps

* ♦ quand on suppose y — o, et la constante est, par conséquent, nulle; on a

llonc

On reconnaît bien facilement l'identité de ce résultat avec celui qui a été trouvé (20).

120. Considérons actuellement une courbe plane AM rapportée à des coordonnées polaires. L'extrémité A restant fixe, si l'on nomme p et co les coordonnées de * * l'extrémité M, cet arc, que nous désignons par s, est une fonction de w, dont nous • allons chercher la différentielle.

Attribuons à w un accroissement MOM' représenté par Aw , l'accroissement correspondant de l'arc s est MM' : Am étant supposé infiniment petit, l'arc MM' peut être remplacé par sa corde qui n'en diffère que d'un infiniment petit du troisième ordre. Or, en abaissant du point M une perpendiculaire MP sur le rayon vecteur OM', on a