MM' =M'P 4-MP

Décrivons de l'origine 0 comme centre, avec OM pour rayon, un arc de cercle MP', compris entre les rayons vecteurs OM et OM', on pourra, en négligeant toujours les infiniment petits d'un ordre supérieur au premier, remplacer M'P par M'P', et MP par l'arc MP'. L'erreur commise dans la première substitution est en effet égale à PP', c'est-à-dire à la différence entre la longueur OM et la projection do cette longueur sur une direction qui forme avec la sienne un angle infiniment petit; quant à la substitution de l'arc MP' à la droite MP, elle revient h remplacer un sinus infiniment petit par l'arc correspondant. On a évidemment

M'P'^Ap,

MP'= p^o>. * 0 n^' ,

Par conséquent, en négligeant les infiniment petits d'un ordre supérieur an second.

MM' = Ap' + p'ûw .

La limite du rapport ——■> c'est-à-dire la dérivée de l'arc s, est par conséquent

Au

et l'on en conclut

ds= \i/dp' + p'du>\ ds'= dp' ■+ p'dia-.

On a trouvé en employant les coordonnées rectilignes

(/«' = dx- H- dy,

et en employant les coordonnées polaires

ds'- = dp' + p'du.

Ces expressions sont équivalentes, et l'on peut facilement passer de l'une à l'autre. On a, en effet,

X =p COSa, j=:psinu,

on en déduit

dx -=^005 a dp — psinw(/b>, rfy = sin wrfp -)- p cos urfw ,

et en ajoutant ces équations après avoir élevé au carré les deux membres de chacune d'elles,

dx' + dy' = dp' -H p'du'.

m ^ PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

121. On détermine quelquefois les points de l'espace à l'aide d'un système de coordonnées analogues aux coordonnées polaires: OX, OY, OZ étant trois axes rectangulaires, un point M est défini par sa distance p à l'origine, par l'angle 6 formé par ce rayon vecteur avec l'axe desZ et par l'angle t|< compris entre le plan des ZX et celui qui passe par l'axe des Z et par le rayon p.

Pour exprimer la différentielle de l'arc d'une courbe rapportée à un tel système de coordonnées, considérons, en premier lieu, une courbe située sur la surface d'une sphère de rayon p. Les points de cette courbe seront déterminés par les coordonnées 9 et lif. Les points qui, sur la sphère, correspondent à une même valeur de <]> sont situés sur un grand cercle dont le plan , passant par l'axe des Z, forme avec celui des ZX un angle égal à <};, et les points qui correspondent y^ à une même valeur de 0 sont situés sur le petit cercle suivant lequel la sphère est coupée par le cône de révolution d'angle 9 dont l'axe coïncide avec l'axe des Z : le rayon de ce petit cercle est évidemment p sin 9. Le point défini sur la sphère par 'les coordonnées 9et<\i résulte de l'intersection des deux cercles que l'on vient d'indiquer, dont l'un peut être considéré comme un méridien de la surface sphérique , et l'autre comme un parallèle.

Les quatre cercles qui correspondent à deux points infiniment voisins, ayant pour coordonnées, l'un 9 et i|<, l'autre 9 -h d9 el <\i -i- d<^ , forment un rectangle infiniment petit: la distance des deux points est la diagonale de ce rectangle et peut être considérée comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont deux arcs de cercle infiniment petits, et que l'on peut assimiler à un triangle rectiligne; l'un des côtés de ce triangle appartient à un cercle de rayon p et correspond à l'angle d9, il est égal à pd9; l'autre appartient à un cercle de rayon p sin 6 et correspond à l'angle di^, il est égal a p sïn 9 d i]^ : la distance ds des deux points considérés est par conséquent exprimée par la formule

CO|tisidérons maintenant une courbe quelconque dans l'espace. Chaque point de cette courbe est défini par trois coordonnées p, 9 et i^. La valeur de p fait connaître une sphère qui contient le point. Celle de 9 fait connaître un cône sur lequel il se trouve également, et ^ détermine enfin un plan qui, par son intersection avec la sphère et avec le cône, achève de le fixer. Ces trois surfaces, la sphère, le cône et le plan, se coupent deux à deux sous des angles droits ; si donc l'on considère deux points infiniment voisins, les six surfaces qui les déterminent formeront un parallélipipède rectangle infiniment petit, dont la diagonale est la distance des deux points. Le carré de cette distance, ds^, est donc la somme des carrés des trois arêtes, c'est-à-dire, comme on le voit bien facilement,

LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES. 122. La formule précédente peut se déduire de l'équation

</«' = dx'' + rfj' H- dz'.

On a, en effet, " ^

z = pcos9, ^ = p sin s CCS 4", j= psin 9sin^^«,

on en déduit »,

rfs = — psin 9</9 + cosSrfp, #«

</ar = p co.s9rfôcos^ — p sin 9sini|(rfJ/ + sin9cosij«</p, ~^ dy = pcos9rf9sini}< -i- psin9cos^|(rf^|(^- sin 9sini|<</p,

et en ajoutant les carrés on trouve, après des réductions faciles, dx'-\-dy^ + dz^ = dp' +p'û(e= -(- p'sin' 9rf^^^

Différentielle d'un arc de courbe dans un système de coordonnées

curvilignes.

123. Le système le plus général que l'on puisse concevoir pour représenter les points de l'espace, est celui dans lequel un point est déterminé par l'intersection de trois surfaces données, de nature quelconque, et dont chacune se trouve définie par la valeur attribuée à un paramètre qui figure dans son équation. Supposons que les équations de ces trois surfaces soient résolues par rapport aux paramètres variables, et représentons-les par

Donner une valeur à a, c'est assigner une surface sur laquelle se trouve le point considéré; si l'on donne à la fois a et|3, le point est situé sur deux surfaces données et par suite sur leur courbe d'intersection; enfin la position du point est déterminée par l'intersection de cette courbe avec la surface qui correspond à la valeur choisie pour y.

Il est facile de calculer la distance des deux points infiniment voisins dont les coordonnées sont a, p, y, « 4- dx, j3 -«- rf|3, 7 ■+■ dy. En nommant en çffet ds cette distance, on a

ds' z= dx^ -+- ûf/' + dz''.

Mais X, y, z peuvent être considérées comme trois fonctions de a, /3, y, et

l'on a

, dx , dx ,„ dx , d,^-d.+ d^+ d,,

, dz , dz ,„ dz , •et l'on voit, par suite, que l'expression de ds^ est de la forme

• ds' — Arfa' -l-Brfp' + Cdf + Drfa</fi H- E(/a(/7 4- Frfprf-/.

* » ■ ^^ 124. Si les surfaces représentées par les équations données se coupent orthogona-

lement pour toutes les valeurs de a, jS, 7, les coefficients D, E, F disparaîtront de

la formule précédente, et l'expression de ds^ se réduira à la forme

'^ ' Js^==Ac?«' + Bû?p' + C(/7=.

En effet, dans l'hypothèse admise, les six surfaces qui correspondent aux valeurs a, p, 7, a + Ja, |3 + t?j3, 7 + 6^7 des coordonnées, forment un parallélipipèdc rectangle dont la diagonale ds a pour carré la somme des carrés des trois arêtes; mais les arêtes sont respectivement représentées par ce que devient ds quand 011 suppose c?/3 = 0,(^7 = o, puis rfa = o, c?7 ^ o, et enfin d(x. = o, d^ = 0; leurs longueurs sont donc, d'après l'expression générale de ds^,

dtxsfK, é^Pv'b, afvv'C, et l'on a, par suite,

ds'— kda} 4- Brfp' + Cfi?7',

^nsprte que D, E, F sont nuls.

125. La considération du parallélipipède rectangle infiniment petit peut nous donner également l'expression simple des coefficients A, B, C ; A da}, par exemple, est le carré de la distance des points infiniment voisins correspondant aux coordonnées a, |3, 7, a -I- do., j3, 7. Si l'on nomme e cette distance, ses projections sur les axes des coordonnées sont respectivement égales aux produits de s par les cosinus des angles formés par sa direction avec ces axes; cette direction étant celle de la normale à la surface dont l'équation est

,A — ni[x,y,z],

LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFERENTIELLES ET DPS DÉRIVÉES, les trois projections sont représentées par

dx ■■

dx

rfj =

dy

s/m-^m'-m s/m-mn

da.'

dz.

dz

et par suite l'équation

yWf^Wf^'

, jio. , da. , da. ,

«3t ^ -7- dx + -y- .dr -h-f- dz dx dy - dz

lonne

^-V(èy-^($)'-

da.

dz

l—V (—V (—Y [d^) ^ [d^j -^[d-zj

£' représentant, -comme on l'a dit, le produit Adtx^, on en conclut

(dav /«^«v l'^'^y '

\dx) '^[d^J '^ \Tz)

on aura de même B

ot l'expression de ds* devient

ds^ =. ■ ^fî! ^ '^P'

dyy [dy

126. Pour étudier les points d'une surface, on peut admettre que cette surface fasse partie du triple système de surfaces coordonnées, et qu'elle corresponde à une valeur donnée de l'un des trois paramètres, de 7 par exemple. Dans l'expression

précédente, il faudra alors supposer dy = o, et le carré de la distance de deux

points infiniment voisins prendra la forme

a et p étant les paramètres de deux systèmes de courbes qui se croisent à angle droit sur la surface donnée.

127. Les formules précédentes fournissent, comme application particulière, la formule trouvée (121) pour exprimer la distance de deux points infiniment voisins dans le système de coordonnées polaires défini par les équations

z = pcos9, x = p sin6cos4', j = p sin S sin i)/, équivalant à

p = ^a?' -f- j' -I- 2% e = arc tang ■—, ^ ~ arc tang •- •

p, ô et d/ étant ici les trois paramètres désignés dans la formule générale par les lettres a, j3, 7, on trouve le résultat déjà obtenu ( 122)

ds' = dp' + p'rfr + p2 sin' 6 d-^'.

Si l'en veut la distance de deux points infiniment voisins sur une même sphère de rayon p, il faut faire' rfp = o dans la formule précédente, et l'on a

f/s' = p»(rfe'-f-sin'9rf^|-»),

ce qui s'accorde avec le résultat déjà trouvé.

128. Après le système de coordonnées polaires, le système de coordonnées curvilignes le plus fréquemment employé est celui dans lequel chaque point est déterminé par l'intersection de trois surfaces homofocales du second degré. *

Supposons qu'un point soit défini par les valeurs que prennent en ce point les trois racines de l'équation en /jl ,

jt' r' z'

i et c désignant des constantes données.

Pour chaque point de l'espace les trois racines de cette équation sont réelles. Si l'on suppose par exemple b^ < c^ il suffit pour s'en assurer de faire successivement iJ.^ = + i, ii} = b^-z, ij} = b^-^z, jx==c»-£, ^» = c*-f-£, £ étant

infiniment petit et positif. Lç premier membre prendra les signes suivants :

fi' = b'—s —

fl==h'-hZ -\-

li' = c- — ,1 —

et comme le premier membre ne devient pas infini pour les valeurs de p. comprises entre celles qui sont réunies par une même accolade, il faut qu'il s'annule dans chacun de ces intervalles, et l'équation a par suite trois racines,- l'une'comprise entre o et b^, l'autre entre b^ et e*, la troisième entre <;•* et -+- oo . Si l'on adopte la première racine, la surface représentée par l'équation ( i ) est un hyperboloide à deux nappes, elle est un hyperboloide à une nappe si l'on adopte la seconde racine, et un ellipsoïde quand on adopte la troisième. En nommant pi, v, p les trois racines et supposant p.* > v^ > (5^ les trois surfaces ont pour équations

fi» f*' — A' jx^ — c'

-'■' . Il'' "^ ï= — 6= ~ c — v' ~ ' '

on constate facilement qu'elles se coupent à angle droit. *

129. En regardant comme coordonnées d'un point les valeurs de /jl, v, p qui lui correspondent, la distance de deux points infiniment voisins prend une expression remarquable. Commençons par résoudre les trois équations (a). Pour y parvenir, décomposons en fractions simples l'expression

D'après la méthode connue fournie par l'algèbre élémentaire, cette fraction est égale à

' "" "ï ~ -rir^^ A f^ '

en faisant

Si donc on a

on en déduira pour X les trois valeurs, X = p^, X = |J.^ X = v' et les formules (2) font connaître x, y et z, en fonction des trois paramètres qui leur correspondent. On déduit des formules (2), en les différentiant après avoir pris les logarithmes (Jes deux membres.

, .rdp xdu. X d-i

dx= — - + !- + . ,

dz

zçidp Zfidy. zvdv

p2 C' fi'— c'

et par suite, après des réductions faciles,

Si l'on suppose dp = o, c'est-à-dire si les deux points infiniment voisins sont sur l'ellipsoïde dont l'équation est p := const. , cette formule devient

**' Jitf-

130. Sur chaque surface et à chaque système de variables, correspond une forme particulière de l'expression qui représente ds'^. L'étude de ces formes a, comme on le verra plus tard, une grande importance pour la théorie des surfaces, mais nous nous bornerons à donner ici celle qui convient aux surfaces de révolution.

Surfaces de révolution. — En prenant pour coordonnées des points d'une surface de révolution, la longueur a comptée sur le méridien, entre le point considéré et un parallèle fixe, et l'angle w formé par le méridien avec un méridien fixe, on voit

immédiatement que l'expression de ds^ est de la forme

fi

Soient, en effet, M et M' deux points infiniment voisins; AM, A'M'.les méridiens qui leur correspondent; AM = a, A'M' = o--+- rfa. L'angle de ces méridiens étant d(,), on a