MM"=MP

Or MP est égal à do'^, et M'P est un arc correspondant à l'angle rfw et décrit avec le rayon du parallèle, lequel dépend de o-, suivant une loi variable avec la nature de la surface, en sorte que l'expression est de la forme annoncée

ds' = fl a' + :f {a)da>\

13t. Les formules générales que nous venons de faire connaître se présentent particulièrement dans l'étude générale des cartes géographiques. Si l'on suppose que la surface de la terre (quelle que soit d'ailleurs sa forme) soit découpée par deux séries de courbes orthogonales auxquelles nous donnerons les noms de méridiens et de parallèles, et telles, que par chaque point de la surface il passe une courbe de chaque espèce, définie par la valeur d'un paramètre que nous nommons a pour les méridiens (on leur donne le nom de longitude) et j3 pour les parallèles (on désigne ce paramètre sous le nom de latitude), pour représenter sur un plan une série de points situés sur la surface de la terre, il faut établir une dépendance entre les coordonnées x, y des points situés sur le plan, et les valeurs a, /3 des paramètres relatifs aux points correspondants de la surface. Si la distance de deux points voisins sur la surface de la terre est donnée par la formule

ds' — Xda'+Bd^', celle des points correspondants de la carte sera exprimée par

ds'^ —dx'-<r dy,

et la carte serait parfaite si le rapport ^^ était constant. Malheureusement une telle

condition ne serait possible que si la surface de la terre appartenait à une classe de surfaces nommées développables, ce qui est très-loin d'avoir lieu.

ds Si le rapport -p ? sans être constant, est le même dans toutes les directions autour d'un même point, les petites portions de la surface ne seront pas déformées, et la carte devra être regardée comme satisfaisante pour une contrée de peu d'étendue. Mais nous aurons à revenir sur cette importante théorie et nous démontrerons qu'il existe toujours une infinité de systèmes remplissant cette condition.

EXERCICES

1. On donne sur un pian deux courbes quelconques, et l'on joint par des lignes droites les points de ces courbes pour lesquelles les tangentes sont parallèles ; par un point fixe on mène des droites égales et parallèles aux lignes ainsi définies: prouver que l'arc de la courbe, lieu de leurs extrémités, est la somme ou la différence des arcs correspondants des courbes données.

2. Si l'on considère, sur une lemniscate ayant pour équation p= = a'cos 2w, deux points P# et Q correspondants à des valeurs w' et m" de l'angle w telles, que l'on ait

COS 01 COS w" =r — '

l'arc compris entre le point P et le pôle est égal à celui qui sépare le point Q du sommet correspondant à w = o.

3. Si l'on considère sur la parabole dont l'équation est 2j = x\ trois arcs ayant leur origine au sommet, et pour abscisses de leurs extrémités les trois racines de l'équation

X^ aX^ -+- (j + i\\-a = o.

la somme algébrique des arcs est égale à celle des abscisses de leurs extrémités, c'est-à-dire à a.

4. Si l'on nohwne points correspondants sur la courbe dont l'équation est j' =^27«^x, ceux dont les abscisses x„ x-, ont un produit égal à a% la différence entre un arc quelconque et son correspondant est égale à l'excès de la différence des tangentes correspondantes aux extrémités du premier arc, sur la différence de celles qui correspondent aux extrémités du second, les tangentes étant comptées depuis leur point de contact jusqu'à leur intersection avec l'axe des X.

3. Une droite se meut en restant parallèle à la base d'un cylindre de révolution auquel elle est constamment tangente, le point de contact décrivant une hélice donnée. Chercher l'équation de la surface qu'elle engendre et prouver qu'il existe un hyperboloïde de révolution tel, qu'en adoptant une loi convenable de correspondance entre les génératrices et les points de deux surfaces, une courbe quelconque tracée sur l'une soit égale en longueur à la courbe correspondante sur l'autre.

6. Si l'on représente les points d'une surface réglée au moyen dé deux variables u et v, dont l'une soit constante sur une génératrice et l'autre égale à la distance comptée sur la génératrice entre le point considéré et une courbe fixe perpendiculaire à toutes les génératrices, la distance de deux points infiniment voisins de la surface est exprimée par une équation de la forme

ds^ = dv' + ,^{v,u)du\ 9(f, m) étant un polynôme du second degré par rapport à la variable v.