DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES D'ORDRE SUPÉRIEUR AU PREMIER

Définition des dérivées d^ ordre supérieur.

132. Les méthodes exposées dans les chapitres précédents permettent de former la dérivée d'une fonction donnée quelconque d'une variable x. Cette dérivée est une fonction de la même variable, et les mêmes règles permettent d'en prendre la dérivée que l'on nomme seconde dérivée de la fonction primitivement considérée. La dérivée de la seconde dérivée est la troisième dérivée, et ainsi de suite indéfiniment. De même que la première dérivée s'indique par un accent placé au-dessus du signe de la fonction, la seconde dérivée est indiquée par deux accents, la seconde par trois, etc., en sorte que les dérivées successives d'une fonction 9 (a;) sont désignées par

Définition des différentielles d'ordre supérieur.

133. En désignant par y {x) une fonction j de la variable x, on a (46), par définition>

(i) dx = <!i'[x)dx.

Si l'on regarde dx comme une constante, cette différentielle dy est une fonction de la seule variable x, et l'on peut elle-même la différentier. La différentielle de dy se nomme différentielle seconde de j, on la désigne par d'^y et l'on a évidemment

(a) d- r = t>" [x] dxK

En regardant toujours dx comme une constante, d^'y esl une fonction de la seule variable x. La différentielle de d^y se nomme différentielle troisième de y, on la désigne par d^y et l'on a évidemment

(3) ' d'y = ^"'{x)dx\

et en continuant à faire des conventions que l'analogie indique suffisamment, on

verra que l'expression de la différentielle n'*'"* de r, d"y, est

[n] d'y^z ,f[x)dx'.

Les équations (i), (a), (3), . . ., (n) donnent, si l'on veut, l'expression des dérivées successives en fonction des différentielles correspondantes, on en déduit :

134. Si l'on attribue à la variable x des accroissements finis, égaux entre eux, et représentés par Aa;, la fonction ç> (a?) prend les valeurs successives «p fa;), ç)(a?+Aa;j,

9 (ic-H ■ià.x], . . . , (f{x-\-nùi.x), que nous représenterons par y' y,, y,, . . . , r„. Posons, en adoptant mic notation souvent employée',

A>-, — Ar = A'j, à J, — AjJ'-, = A'ji , '^,)''«-> — ^y'n-' = A= V,-2 ,

A^y, A"* j, . . ., sont les différences secondes, troisièmes, etc., de y.

Si Aa; devient infiniment petit, Ay peut être remplacé par dy. Nous allons prouver que l'on peut de même remplacer A'j par d^y, A\y par rf'y, et ainsi de suite, en ne négligeant, dans chacune de ces substitutions, qu'une portion infiniment petite de la quantité que l'on évalue. Mais pour faire cette démonstration nous devons préalablement démontrer le théorème suivant :

135. Si une fonction <i^ (x, a) contient, outre la variable r, une lettre a qui en est indépendante, et que cette fonction soit nulle, quelle que soit .r, lorsqu on y suppose

a égal à zéro, il en est de même de la dérivée ^, ' — ;•

Celle proposition devient évidente si l'on remarque que, la lettre a élaul traitée comme une constante dans la différentiation et la valeur de cette constante restant indéterminée, il est indifférent de la fixer avant ou après l'opération. Or en faisant fl=o avant l'opération, la fonction devient nulle, et sa dérivée est par conséquent égale à zéro; il en est donc de même si l'on suppose a égal à zéro après la différentiation eflectuée.

Il est évident, d'après cela, que si la fonction ij/ [x, a) est infiniment petite, cpiel que soit x, pour une valeur infiniment |)('tite de a, il en est de même de s:t dc-

. , dit [x, a] rivee ■ V '•

(IX

13G. Cela posé, considérons la fonction

et adoptant la notation du paragraphe précédent, on a

£ étant une fonction de x et de Ao; qui s'aniiule avec t^x. Si, dans les deux membres de l'équation (2), on change ^ en a; + àx, leurs accroissements di-visés l'un et l'autre par hx seront égaux, et l'on aura

Or, lorsque Ao? tend vers zéro, ^iJ^ a évidemment pour limite o" [x], et— a '

pour limite zéro; car, e étant, quelque soit a;, infiniment petit avec ^x, il en est de

même (135) de sa dérivée et par conséquent du rapport —qui diffère infiniment

peu de cette dérivée. Il résulte de là que Ax étant infiniment petit, et en négligeant les infiniment petits du troisième ordre, on a

c'est-à-dire que, ùix étant infiniment petit, A^y est égal à d'^y lorsqu'on néglige les infiniment petits du troisième ordre.

137. Il résulte de la démonstration précédente que ^.x tendant vers zéro, pour limite la seconde dérivée de y, 9" {x); posons donc

£, étant une fonction de a:; et de A a; qui s'annule avec à.x. Si, dans les deux membres de l'équation (i), on change x en x-^ Ax, leurs accroissements divisés l'un et l'autre par Aa; seront égaux et l'on aura

^x^ Ax \x

Or, lorsque Aa; tend vers zéro, -^^-^ a évidemment pour limite ©'" [x] et — a

pour limite zéro, pour la même raison que dans le cas précédent; il en résulte que, ùt.x étant infiniment petit, on a, en négligeant les infiniment petits du quatrième ordre,

AV= «p'" [x] ^xK •

On verra absolument de la même manière que A*r peut être remplacé par f"{x)Ax*, et que, généralement, A"y est égal à 9" {x) Ax" lorsqu'on néglige les 1

infiniment petits d'ordre «+ i, en sorte que A"y et r/"/ sont deux infiniuionl petits d'ordre n, dont le rapport a pour limite l'unité.

138. Il y a une différence essentielle entre les différentielles d'ordre supérieur et celles du premier ordre. Lorsque plusieurs variables sont tellement liées les unes aux autres, que toutes dépenTlent de l'une d'entre elles, les rapports de leurs différentielles du premier ordre sont complètement déterminés (57). Il n'en est pas de même pour les différentielles d'ordre supérieur, tant que l'on n'a pas fait choix d'une variable indépendante; cela tient à ce que, pour former les différences A* y, A'j,. . . , que l'on peut remplacer, lorsqu'elles sont infiniment petites, psLvd^j, d^y,. . . , il faut attribuera la variable principale a- des accroissements successifs égaux entre eux, et cela distingue cette variable de toutes les autres dont les accroissements correspondants sont, en général, inégaux. Lorsque l'on considère, au contraire, les seules différences et différentielles du premier ordre, on ne donne à la variable x qu'un seul accroissement A.r que rien ne distingue des accroissements correspondants des autres variables.

Remarquons enfin que les différentielles d'ordre supérieur au premier sont nulles pour la variable principale ou indépendante, et que l'on a évidemment, lorsque ,r est cette variable ,

Détermination des dérivées successives d une fonction.

139. Pour former les dérivées successives d'une fonction, il suflit d'appliquer un nombre de fois convenable les méthodes connues qui fournissent les dérivées du premier ordre. Malheureusement les calculs se compliquent souvent de plus en plus, et il est presque indispensable de recourir à des artifices particuliers pour obtenir effectivemenl les dérivées d'un ordre élevé.

Nous allons donner quelques exemples de ces artifices.

Dcruces d'un pivduit. — Si l'on représ>ente par P e( Q deux fonctions d'une iiHriif viiriable x, les relaies connues donnent

dx dx dx

dx- dx' dx dx * dx'

^ dx' ~ ~S^^ dx dx^ "^ dx'' 7^^^ dx' '

I3<i ' PREMltKE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

•'1 l'on est conduit, par induction, à écrire la formule suivante:

d"{PQ) p (M) ^^ (IP d"-'Q n(n—,) d'V d'-'Q dx" ~~ dx" dx dx"-' 1.2 dx' dx"-'