dx^ dx"-^ ' ' ' . dx

Pour démontrer cette formule, admettons -qu'elle soit vraie pour une valeur du nombre n, et prouvons qu'elle, est vraie, par cela même, pour une -valeur immédiatement supérieure. Or en différentiarit les deux membres' de l'équ;»tion (a), on en déduit ■ • ' •

.dx"+' ■ \dx dx" : dûe"+' )~^"\dx' dx'-' ~^ dx dx" ."/i jw— i). . .(« — /.-H ij / (/*+'P d"-''Q t/*P J"-*+ ' Q \ / d."+' P d" P dQ

1.2.3...^ \</x*+' "^Tï^* "•" 7/ï* dx"-*-*-' ) '' "^ VS^ ^'^'d^Th!

En réduisant le- second ternie de cbaque parenthèse avec le premier de la parenthèse précédente, et remarquant que la somme de deux coefficients de la puissance n'""^ d'un binôme est un coefficient de la puissance (n+ i )'*"'*, cette équation devient

'/'■+' PQ ^ p </■+' Q , , ^ ^ f^Q' [n + i)n d'P d"-'Q ' •

(w + i)w. . . (» + I — /.- + t ) (/*P rf""+'-*Q d"+'P

ce qui est la formule ( i ) dans laquelle n est changé en « -^ i , et dont la généralité est ainsi démontrée. ^ .

140. Dérivées d' une fonction de fonction . -^ Soit m une lonction de a-, etç (m) une fonction de fonction que nous désignerons par j- On trouve en différentiantsuccessivement et en représentant par œ' (m), ç" (m), (^"' (u),. . .', les dérivées successives de la fonction 15s (u.),

et l'on voit aisément que l'expression de -t4 est de la forme

dx~

. , iduy „

dx' ~

. d'u , - dx^'^

, . ..du d'u

A,, A./, . . . , A„ .dépendaftt de « et de ses dérivées, mais ne variant pas avec la forme (le la fonction ç».

• Pour obtenir ces coefficients, posons

et, par conséquent,

^ ' dx" T \ J , 1.2'^' 1 . 2 . . . /f ^ 1.1. . .11^ ,

Les coefficients B,, B.j,...,B„ étant indépendants de la forme de 9, on peut les déterminer en faisant sur cette fonction des hypothèses particulières. Nqus supposerons successivement, 9 (m) = «<, <p [u] = lâ, . . . , «p (m) =:u", et en appliquant l'équation (5; aces différents cas, on 'obtiendra, efitre les inconnues fi,, B.^,'. . . . B„, les n. équations suivantes : ■ • • •

dx"

il" IW) „ «(« — !„. « « — I ) ( « — 2 ) ,, , „

dx" I . ?. • 1.2.6.

Pour résoudre ces équations et calculer l'un quelconque des coefficients, B^ par exemple, ajoutons-les jusqu'à celle de rang ^inclusivement, après avoir multiplié la

première par a; . -1 la seconde par ^^ — > la troisième par —5— — ^, — ■

la quatrième par

>(A--,)(A--a)(fr-3) .

et ainsi de suite; toutes les inconnues B,, Bj, . .'. , B^ disp;iraitront, à l'exception de B*. En effet, k' étant un nonibte quelconque inférieur à k, le coefficient de B^ est .iipn's cette addition',

/f(/.-i)...(/.-— A'-i) (/f'-f-oj^'-f- 2)

I iO PRKMikHK PARTIE. - CALCUL DlFFÉRENllEL.

c'est-k-dire

OU entiii,

II y a exception quand on suppose ^=A-', et la somme est dans ce cas ( — i)*"^' -;,•

L'équation obtenue en ajoutant les équations f6^i respectivement multipliées pai les facteurs indiqués, est donc

' ^ , >i ['lid"u k(li- — i] I d-ii' /,(-A — i)[/r — ?.) r d'il' . i f/"«n

i(^ ' ' Y^udx" i.a «' dx" 1.2.3 «^ dx" a* dx'\\

D'après cela, la formule (5) fera connaître la dérivée n'""' d'une fonction <p(«,, en fonction des dérivées n''^'"" de toutes les puissances de u, dont l'exposant ne surpasse pas n.

141 . L'expression trouvée pour représenter — * peut se transformer de la manière

On a

■ /" \* / ^i / "\* , mT /' « /r(A-— i)m' i «*"1

Différentions n fois les deux membres par rapport à r, en traitant a comme une constante, nous aurons

''"' ' ' " I, d"a klk — i] I d-u'-

dx" L =* dx" 1.2 a' f/x" a* dx" J

et si l'on fait a = m dans le second membre, il coïncide avec l'expression de Ha- —,: On a donc enfin

pourvu que, dans le second membre, la lettre a, traitée dans les différenliations comme une constante, soit remplacée ensuite par la lettre u.

L'expression de —4— est d'après cela

la soinination s'étendant à toutes les valeurs entières de k, depuis i jusqu'à /i, et la lettre a qui figure dans le second membre devant être remplacée par u après la iliflërentiation effectuée.