Supposons dans la formule générale u=:x'^, nous aurons

dx" ^ 1.2'^ ' i .■>... .k 1.2...//.^

cl l'expression de B^ devient

' R/ u-hiM <^°^' k[k—i) 1 d"x' ^ I d'x^'\

^2t * \ I y^i d^n , , x" dx" x'* dx' J

Sans nous arrêter à réduire cette formule, il sera plus simple de calculer directement les dérivées successives de ç (a;*), afin d'obtenir, par in'duîtion, la loi de leur formation. En posant

(Ml trouvera par les différentiations successives

(6) ^ = [-ixY ç' (ar») + 20 (2x)» <p" (^') + 60 [ix] op'" (jT») ,

et l'on est conduit à écrire

+ «(«— )...(/»-ap+.) (,^)„-,, .-,(^., + . . , \ .7.. . . p \ t i \ I

les termes du second membre devant être arrêtés lorsque la loi évidente de formation donne des coefficients égaux à zéro.

142 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRE^iTlEL.

Pour vérifier cette formule, il suffit de montrer que si on la suppose vraie pour une valeur de n, elle est vraie, par cela même,- pour la valeur immédiatement supérieure. Or en admettant la formule (7) le coefficient de f-'-P\x^) d?ns ^"7.;^ est évidemment ' - . "

c'est-à-dire

ce qui confirme-la loi annoncée.