Appliquons la formule précédente à la recherche tle

dx'"

dont l'expression, remarquable par sa simplicité, a été donnée et utilisée par Jacobi. La formule précédente appliquée à ce cas donne immédiatement *

c'est-à-dire

rf'"-'(i— xM 2 , , 1.3.5. . .am-

JB — I

dx'"~' ' ' m

- mx'"-' \J \ —x''

+ »t(m-i)(m-2)(m-3)(m-4) ^,„, < JTZrzr.Y \ ^ 1.2.3.4.5 ^^ x)...y

Si l'on pose x = cosa, cette expression devient, en vertu d'une formule connue de trigonométrie, qui sera d'ailleurs démontrée dans un prochain chapitre,

— I r-' • sm mu .

i,lVRE PRESnER. ^ ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET qES DÉRIVÉES. 1 13

Oïl H lioiu-, en posant x = cosu,.

t/"'-' (l — JtM'" 2 , I .3.5...2/H— 1 .

^ = ( — I j"-' sin mil.

ax"~' '• m

144, Dérivées de arc tang X. — On A

rfarctangx i

rfx I -h x-

(l'arclangx ^ i.x • .

dx' .^ {i-+-x'Y il' arc laiig X 6x' — 9.

dx' (i -\-x^]-

il est facile de continuer les opérations, inaià les résultats se compliquent de plus en plus, et la loi générale n'apparaît pas d'elle-même. Pour la découvrir, remarquons qu'en posant '

Il = arclango:,

on :i

du __ dx I

lin fn conclut

-^.■^- — (■-•^•■•")(-')"|(,^^-r-(.^z:7rJ-

Kn réduisant au même dénominateur les deux fractions qui sont dans la parcnllièSe, on verra les imaginaires disparaître et l'expression de la dérivée prendra une forme réelle. . . •

On obtient un résultat élégant en posant

on a alor>

ces/ = sm u =

sm r = ces u == ■ )

V • + •^' X -^ V'— I = ^T+lc' [cosx-i- v'— ' sin/]» X— v'— 1.= V' + -!»'[cos/— v^— I sin r].

mais le théorème de Moivre donne, pour toute valeur positive ou négative de w.

(cosx + ^^1 sin x)"' = coamx -+■ ^—i sin mx , (çosx — ^ — I sin x)" = cosmx — V— i sinw.!f.

Par conséquent,

et comme on a d'ailleurs

= sin"-*-' r,

il en résulte

^3;:;- = 1 . 2 . 3 ... M ( — I )"•+■' sin"-*-' j sin ( n + i ) j.

dx' 145. Dérivées de arc sin x. — On a

</arcsinjr i

dx J

V' 1 — X'' et par conséquent

</"+' arcsiii.r r/" ( I — x) ^(i + jr)

et d'après la formule générale (139)

d'-^'uvc sin jr i .3.

a« — I i+x (2»— i) (2« — 3) \H-xj

n n — ill« — 2 1.3.5. — ï

Il sera utile de remarquer que les coefficients des puissances de - — - dans la

parenthèse sont tous moindres que l'unité. Le rapport du coefficient de ( -

à celui de ( '-] est en effet

izp -t- 1) (n — p) ^ p-h I (2«. -2/> — i) (/>^-I) ~ ^ I

Or ce rapport est moindre que l'unité lorsque l'on a n ~p > p + i, c'est-à-diie n > a/? + 1 , et il est au contraire plus grand que l'unité lorsque l'on a n < 3/» -1- 1 .

Les coefficients vont donc en diminuant depuis le premier jusqu'au coefficient minimum, et ils augmentent ensuite depuis celui-là jusqu'au dernier. Les coefficients extrêmes, qui sont l'un et l'autre égaux à l'unité, sont par conséquent plus grands que tous les autres.

f^aleur numérique de queUjues dérivées lorsque l'on suppose la variable

nulle.

146. On a souvent besoin de calculer ce que devient une dérivée pour une valeur numérique attribuée à la variable, et particulièrement lorsque, après l'opération, on suppose celle-ci égale à zéro. Les questions de ce genre se résolvent quelquefois à l'aide d'artifices particuliers, dont nous allons donner quelques exemples.

Dérivées de arc tang x, pour a; =: o. — Il n'est pas nécessaire de recourir à l'expression générale de la dérivée pour déterminer la valeur qu'elle prend lorsqu'on y suppose x=^ o.

On a, en effet, et posant u = arc tang x ,

du I

dx i.-\- x'' d'u 2.x

dx' (H-^^)'

et par conséquent

, ,, d^u du

En différentiant celte équation {n—i} fois, et faisant pour cela usage du théorème connu (139^, on en déduit

('+^') ^t:::^ -+- ^ ("-') ^ jx:;: + («-•)(«- 3

et en supposant x = o,

on en déduit, si « + i est impair, et en remarquant que i-jz) = '»

Si n + I est pair, en remarquant que ( -p; ) = o. «« déduit de la même équation

[d^-'jr"-