Dérivées de arc sin x, pour a; = o. — Si l'on pose

«« = arcsina7, on en déduit

du I

dx~ /,a;'' du

— X du I , d''u

^i — x^ dx dx

et en chassant le dénominateur

, ,\ d''H du

^ ' dx' dx

En différentiant n — i fois cette équation et taisant usage du théorème connu (139), il vient

et en supposant a; = o,

id"+'u\ l'd'-

Si {n-hi) est impair, en remarquant que (-7^) =1, on en déduit et si n + I est pair, on a

^dx"-^

148. Dénvéesde {arc sin x)'^, pour x = 0. — Posons (arc sin x'f = u, on en déduit du 2 arc sin x

dx y', j-i

d'u 2 2x arc sin x 2 x du-

dx^ ~ I ~x' "^ ; ~r~ ~ \—x' "*" I — x= dx '

par conséquent

, „y.d^u du

[i — x'] -j— — X -j— = 2; ^ ' dx' dx

En différentiant (n— i) fois cette équation, on a

, ,sd"+'u d."u . , .d-'-'u d"u , ,</"-'«

\'~^ ) zn^, ~2(n — i]x -J-— — In — i\{n —1) -, x n — 1 = o,

' dx^' ^ ' dx" ^ '^ ' dx"-' dx» ^ ' dx"-'

et en faisante; = o,

rf'+'M , , 'fd'-'u\

et cette relation permet de calculer les dérivées successives, on a, si «+ i est impair,

^ dx"+' j , et lorsque n -f- i est pair,

149. Dérivées de x cot x, pour x-=-o. — Posons x cota; = «, on a évidemment

(i) xcoiix = M sino:;

différentions « fois les deux membres de cette équation, on aura, en appliquant la règle relative à la dérivée d'un produit,

rf"C0sx f/"-'cos.r rf"sin.r du' rf"-'sinar n[n — i) </'« </"-'sin jc

dx" dx"-' dx" dx dx'-' i . ?. dx' dx"-"

■+- SU) X -r— •

dx-

fi" IL Si, dans cette équation, on suppose a; = o, le terme en -t-^ disparaîtra et l'on

aura l'expression de . ^, en fonction de toutes les dérivées précédentes; en faisant successivement « = i, n= a, « = 3 on trouve

du d'u 2 d^ u

"""'' lhc-°' ^=~3' rfi^^" • '

et ces premières valeurs étant connues, l'équation (a) permettra d'en déduire les dérivées successives.

On peut remarquer que toutes les dérivées d'ordre impair sont égales à zéro; la fonction x cot x est en effet une fonction paire, c'est-à-dire qu'elle ne change ni de signe ni de valeur quand on y remplace x par —x; en la désignant par f{x), on a donc

cl, rn prenant les dérivées successives de cette équation,

On en conclut, en faisant x — o^ que, pour toute valeur impaire de n ,

et par suite

On trouve, en faisant les calculs numériques,

\dx-'j , ' \dx' j „ 189'

(du\ /d'u\ __2 (d^\ (d*u\ ___8 fd'u\ /d^u\ 288

\dx)~''' \dx'l~ 3' [dx')~''' \dx')~~T5''

dUi\ (d'u\ 8064

dx^ J 0 ' \dx* /„ 945