Dérivées de — > pour ,r = o.— Posons = m, on en déduit

(i) x^^iie' — M,.

et en différentiant

du du

r =: e-' -; \- ue' = —

dx dx

En différentiant n fois de suite les deux membres de l'équation (i), on trouve

o=ze^ -, h n e' -j H ^ e' -, !-••• + ne' = — ,

dx" dx"~' 1 . 9. dx"-' dx"

et si l'on suppose x = 0,

' d"-'u dx" '

n[n — i) (d"-'u\ fdu\ , ,

Cette relation permetde calculer l'une des dérivéeslorsque l'on connaît toutes les précédentes; Mo est égal à l'unité. Le rapport — — 1 lorsque a; est infiniment petit, est, en effet, la dérivée de e^, qui pour x—o se réduit à l'unité, et il en est évidemment de même du rapport inverse ^ -• On a, en effectuant les calculs,

du\

dxjo'

d'^ir dx^

, ^^ , T /d'u\ I /d'u\ fd'u\ I fd'u\

h\ i (d^\ __ /d'uX i (d^\ __ ( <j^\ 5 id"u\

■'),- /i2'\dxl),~°' \dx'),- 3o' \dx' ),-''' \d^j.~ 66' [7^^)-°'

/d''u\ __ 6qi (d^\ (d^\ l \d^),~ 3.730' \dx"),~°' \â^/,~6' ^'•^•■•'

Toutes les dérivées d'ordre impair sont égales à zéro, à l'exception de la pre-

mière -t^- On peut en donner la raison à priori, et indépendamment des calculs précédents; la fonction

est en effet, comme on le vérifie aisément, une fonction paire de x, et, comme on l'a vu plus haut pour a; cota?, il en résulte que les dérivées d'ordre impair sont nulles pour x=^o; or ces dérivées, à l'exception de la première, sont les mêmes

que celles de —