Dérivées décos [marc sinx), pour x=zo. —Posons
M = cos(marcsin x),
on en déduit
du msin(marcsina:)
dx \/i—x'
d'u — mx . , . , m'cosf/narcsina:) — rr sin marcsm^ — ^ —
dx^ (, x')v/i— .r^
et l'on en conclut
, . d''u du
^ ' dx^ dx
En dift'érentiant/) fois cette équation, on obtient
,dP+'u dP+'ii , ,dPu dP+'u di'u dPu
^'-''^d^'-^P''d^--P^P-'^dFp-''d^'-Pd^p-^'" d^ = °'
ou, en faisant a; = o,
fdP+Ui\ , , ,, /dPu\
[d^')=^p-'"^[dFp):
du
'i D'ailleurs, pour a: = o, on a «=i, -7^=0. Par conséquent l'équation précédente montre que toutes les dérivées d'ordre impair sont nulles. Quant à celles d'ordre pair, on les déduira successivement les unes des autres, puisque l'une quelconque d'entre elles se trouve liée à celle qui précède de deux rangs. On aura ainsi
I/élude de la fonction précédente a donné lieu a de graves difficultés que nous préviendrons en donnant, dès à présent, quelques explications sur le résultat précédent.
La fonction cos (warcsina?) estune fonction mal définie, et, sous un mémo signe,
elle représente en réalité plusieurs fonctions différentes dont le nombre peut même devenir infini. L'arc dont le sinus est x n'est pas unique en effet, et l'on sait au contraire qu'il en existe un nombre infini; en multipliant ces arcs par m (qui est quelconque), les produits auront en général des cosinus différents, en nombre égal au double du dénominateur de m si m est commensurable, et en nombre infini si m est incommensurable.
Toutes ces fonctions différentes ont-elles les mêmes dérivées?
Le résultat que nous venons d'obtenir semble décider la question, au moins pour la valeur particulière a; = o, et puisque nous n'avons trouvé qu'une seule valeur, on peut se croire en droit de conclure qu'il n'en existe qu'une. Ce serait là pourtant commettre une erreur grave. Le calcul précédent est fondé sur deux suppositions qui particularisent la fonction à laquelle il se rapporte. En premier lieu, après avoir posé
M := ces m (arc sin x] , nous en avons conclu
du sin /n arc sin .r -j- = — m , — î
dx \J\—x'
admettant par conséquent que la dérivée de arc sin x est ■-• Or cela n'a
lieu (34) que si le cosinus de l'arc considéré est positif ; dans le cas contraire on a
d arc sin .r — i
dx ~ yli — x' '
et il aurait fallu écrire
du sin(marcsinir]
dx \Ji + x'
dUi m.r sin («iarc^sina;] ^ ces (m arc sin ar)
dx' (,^^)y/,^. {i — x']
d'où l'on aurait déduit
,. d'u du
dx^ dx
équation identique à celle que l'on a obtenue en adoptant l'autre hypotbèse, et qui conduirait de même à la relation
«?''+'« , , dPu
Mais, en second lieu, nous avons admis qu'en faisanta; = o, onau=i, j- = o.
Cela n'est vrai que si l'on admet, pour a; = o, arc sin a; = o, qui est la première valeur qui se présente, mais non pas la seule, car on a, pour £r = o, arcsin .t- = A:7i,
k étant un nombre entier quelconque, et par suite
M = CCS (marc sinx) =cosmA-7r.
De même si \-y-\ est nul, c'est en vertu de la même supposition, car en supposant arcsina? = An, on doit adopter, pour t-» l'une des valeurs suivantes,
du ,
-r- = — insinm/fn ,
du ,
-7— = m siii m/fit.
dx
Il faut bien remarquer que la première convient au cas où k est pair, parce qu'alors cos kn est positif, et la seconde au cas où k est impair.
, ,„^J se rapporte donc seulement à la fonction
cosm (arcsina;) dans laquelle on prend pour arcsina? l'arc qui s'annule pour x = o, et qui, devant varier d'une manière continue, est toujours le plus petit des arcs positifs ou négatifs, ayant a; pour sinus. Le cosinus de cet arc est toujours positif.
152. Si nous voulons maintenant rendre à la fonction m = cos (m arc si n a?) toute sa généralité, il est facile de calculer l'expression générale de ses dérivées pour a; = o. On a dans tous les cas
dp+'u ^^ dm
D'ailleurs, pour a; = 0, on a
u = ces (marc sino) = cos wA"ir,
-r- =: ± msin (marc sin o) = ±: m sin mkv ,
et par conséquent on trouvera
■ .^__ =(,).+. (,„.) (m'-4)(m.'-i6)...(m>-4n').cos//i(^),r.
^T^^STT = =F (-')" ('«'- • ) (m' — 9). ..[m'— (?.«— 1)'] m sin m(A-)ir,
■t le signe — correspondant au cas où k est pair.
153. Dérivées de sin [m arc sin ne), pour x = 0. — Le calcul des dérivées de la fonction sin (marc sin x) se fait de la même manière et donne lieu à une discussion
analogue. Posons
M = sin (/w arc sin x) , on en conclut
du m ros (w are sinar)
d' u inx cos (m arc sin x) w^sin (muTCshix)
dx' ~ ±[y — x')slT^' ('— ^') '
le signe + du radical devant être adopté lorsque arc sin a; a un cosinus positif, et le signe — dans le cas contraire. On déduit de ces formules l'équation
d^u , , du
qui convient à tous les cas. En différentiant/» fois cette équation qui ne difiere pas de celle qui a été trouvée plus haut, on trouvera encore, pour a; = o,
<//"+'« , , dPu
d^^^^iP'-"'')d^-
D'ailleurs, poura; = o, on a
// = sin f/warc sin o) = sinm^;r
et
-j- = ± m cos [m arc s\no)^± m cos m If Tz ,
le signe + correspondant au cas où (cos arc sin a;) est positif, et par conséquent au cas où k est pair. D'après cela on trouvera aisément
^^— ^=±(-i)''(m^— i)(m' — 5) -[m^-{2p-iY].nicosmkK,
k étant un nombre entier arbitraire, le signe + convenant dans la seconde formule, lorsque k est un nombre pair. Si l'on suppose arc sin 0 = 0, c'est-à-dire si arc sin a; est le plus petit arc, positif ou négatif, dont le sinus soit x, on aura k = o et par conséquent
J54. Dérivées de cos [m arc cosx), pour a; = o. — Posons
cos {/n arc cos ^) := «<,
UVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES, nous aurons
du dx
d'à dx'
m sin marc ces .r
on en conclut
v/i — x' mx'sXn (marccosx) m' ces (marc ces a?)
(i — JT») v'i — .r' ('—•'"')
, ,>rf'M du
ce qui est précisément l'équation déjà trouvée deux fois et dont on déduira de la même manière, pour a- = o,
dr^'u
dn
dxP-^' ^^ '" ' dxP D'ailleurs, pour a; = o, on a, en désignant par k un nombre entier quelconque,
M = ces m (arc coso) = cosm(2A ■ + i)->
du ^^ . , , , TT
-r- =± msm m iik-hi] - • dx ^ 9. '
le signe ■+■ convenant, comme on le voit facilement, lorsque k est un nombre impair et le signe — dans le cas contraire ; on aura alors
,^^^ = ( — i)»,m'(m' — 4) [ni" — 16) ... Jw' — 4«').C0S (2A + i) m - ,
= ±:( — i)".(w»— i) (m'— 5].. .[m'—{7.n— i)'] . m sin (9./,- 4-1) m " ,
dx"-*
[i: le signe -t- devant être adopté, dans la seconde formule, lorsque k est pair, et le h signe — dans le cas contraire.
Si l'on veut regarder l'arc dont le cosinus est nul, comme égal k -, il faut prendre k égal à zéro.
