Dérivées de sin [marc cosxj , pour a: = 0. — En posant

M = sin (marc cos x), lin vcritiera, comme dans les (-as précédents, l'équation

, d'u du

de laquelle on déduira, pour 3c = o,

dp+'u , .dPu

d^'==iP'-"'')d^p-

Or on a, pour a? = o,

M = sin ( m arc cos o ) = sin ( 2 A" -f- 1 ) m - >

-=- =;Zt=mcos/n (arc coso] = rn w cos (?./i+ i] m- ? dx ' ' 2

k étant un nombre entier arbitraire et le signe — de la seconde équation correspondant au cas où ce nombre est pair; au moyen de ces valeurs on trouvera

iu+l

( — i)"m'.(m2 — 4)('w' — 16).. .(m" — 4«') sin {■>.!( -\-\] m - -,

^^-^==p{— i)''m.(m'-i)(m'-9)...[m^— (2«— i)»]cos(2/r + i)w -•

156. Dérivéesde[i + x'^Y sin[m arc tang x), pour a; = o. — En posant

11 = [i-^x'']'' sin (marc langar),

et formant les dérivées -1- et -1-^» on trouve, par l'élimination de sin (marc tang a?),

et de cos ( m arc tang a;) entre les trois équations obtenues,

, d^u , . du

^'"^^^ dx'~''^^"'~'^'^d^'^ "~"'"^'''

On en déduit, en différentiant/9 fois,

.df^'u dP+'H , .dni , , dP+'u , , dPu

i-t-^M —, -\-ipx -, \- P { P — 1 1 -; 2 m — I) X -r — 2 [ni — i] p—, —

dP II dP u

et, en faisant a;= o,

dxf dxf

dP+' u dPu , . , ,

D'ailleurs, pour ,r = o (en supposant arc tang 0 = 0), on a

du " = °' ^ = "'' on en conclut,

^te^^"""' ;^^^:ST ^(-O"»» ('«-') ('«-2). •■('n-2«-f

Si on laisse à l'expression arc tang a; toute sa généralité, on a

arc tang o — lin,

LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES, et, pour X = o,

dx on aura alors

• j „^, =( — ')" m. [m — i). . .(m — 2/i) (m — ?.rt — i).5in wÂ-TT, -fî^i^ = (-')" '"•('" -i). ■ .(w- ?.«) cosmkn, ^- étant un nombre entier arbitraire.

1 57. Dérivées de [\ + x^ Y cos [m arc tang x), pour a; = o. — En posant

Il = [i-^-x^Y ces (marc tang ar) , on trouve, par un calcul identique au précédent,

, , d^u , . du ,

dx'

et l'on en déduit encore

<//>+'« dPu ,

et d'après les valeurs de u et de ^) pour x — o, on trouve en supposant arc tang o = o,

rfar"

dx'<

i".m./n— i)...m — in — i).